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1抽象函数专题讲解


抽象函数
抽象函数题通常只给出函数记号及相关的一些运算性质,但不直接给出其解析式.解决抽象函数问题的常用 方法是赋值、换元、迭代、解方程或不等式等 1(1)已知 f ( x) 定义域是 ?1,2? ,则函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为 此类型的本质就是解不等式 (2)已知 f (3 ? 2 x) 定义域是 ?1,2? ,则函数 f ( x) 的定义域为 此类型的

本质就是求函数的值域 (3)已知已知 f (3 ? 2 x) 定义域是 ?1,2? ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 该问题就是(1)和(2)的合并 2 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则 函数 g ( x ) ? A. [0,1] 1 已 知 B. [0,1) C. [0,1) R , 若

f (2 x) 的定义域是 x ?1
(1,4]
D. (0,1) 0 , 且 对 任 意 x1 , x 2 , 有

f ?x ? 的 定 义 域 是

f ?x ? 恒 不 为

f ?x 1 ? x 2 ? ? f ?x 1 ? x 2 ? ? 2f ?x 1 ? ? f ?x 2 ?,判断 f ?x ? 的奇偶性。
2 已知函数 f ?x ? 对一切 x、y ? R ,都有 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ,求证 f ?x ? 是奇函数。 3 已知 f ?x ? 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 a, b ? R 满足 f ?ab? ? af ?b? ? bf ?a ? 。 (1) 求 f ?0?, f ?1? 的值。 (2)判断 f ?x ? 的奇偶性。 4 已知函数 f ?x ? 不是常函数, ?x ? R ,有 f ?x ? 8? ? f ?8 ? x ? ,且 f ?4 ? x ? ? f ?4 ? x ? ,判断 f ?x ? 的 奇偶性。 5 已知函数 f ( x ) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,

?1? 求证:

f ( x) 是偶函数; ? 2 ? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数;

[来源:Z,xx,k.Com]

? 3? 解不等式 f (2x2 ?1) ? 2 .
6、若非零函数 f ( x) 对任意实数 a , b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (1)求证: f ( x) ? 0 (3)当 f ( 4) ? (2)求证: f ( x) 为减函数

1 1 2 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x ) ? 16 4

7 、 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 x ? R x ? 0 , 且 满 足 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 , 都 有

?

?

f( x f( 1x)? 1? x 2) ?

x ? 1 时, f ( x) ? 0, f (2) ? 1 . f( 2,x 且当 )
1

(1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2)求证: f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 . 答 案 : 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 x ? R x ? 0 , 且 满 足 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 , 都 有

?

?

f(x x)? 1? x 2 ) ? f( 1

,) 且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0, f (2) ? 1 . (1) 求证: f ( x ) 是偶函数; (2) 求证: f ( x ) f( 2x

在 ? 0, ?? ? 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 . (3) f (2 x2 ? 1) ? 2 可化为

? 10 2? 2 2 f ( 2 x 2 ? 1) ? f (4), 且2 x 2 ? 1 ? 0 解得 x ? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? (? 2 , 2 ) ? ?

? 2 10 ? ? ? 2 , 2 ? ?) ? ?

周期性
基础内容: 1 设函数 f ?x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ?x ? 关于直线 x ? a 对称. 2 设函数 f ?x ? 满足 f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? ,则 f ?x ? 周期是 2 a . 推广: 1 设函数 f ?x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则 f ?x ? 关于直线 x ? a 对称. 2 设函数 f ?x ? 满足 f ?x ? a ? ? f ?x ? b? ,则 f ?x ? 周期是 a ? b . 2 设奇函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? ? f ?x ? a ? ,则 f ?x ? 对称轴是 或者 设函数 f ?x ? 满足 f ? x ? ? ? 周期是

b ,则 f ?x ? 周期是 f ?x ? a ? 1 ,若 f ?1? ? ?5 ,则 f ? f ?5?? ? f ?x ?

1、 函数 f ?x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

2、设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? ( ) 3、已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ?R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立.若 f (1) ? 2 ,则

f (2005) 等于(



4 、已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时,
2

,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 f ( x) ? log2 ( x ?1 ) A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

5 、 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数

x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2

D.

5 2
x

6、 (1) 已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 为奇函数, 且满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? , 当 x ??0 , 1 ? 时 f ? x ? ? 2 ?1 , 则 f ? log 1 24 ? ?

? ?

? ?

答案: ?

2

1 2

(2) 已知函数 f ? x ? 满足: 当 x ? 4 时, f ? x ? ? ? ? , 当 x ? 4 时, f ? x ? ? f ? x ?1? , 则 f ? 2 ?l o g 32

?1? ?2?

x

??

单调性,奇偶性,抽象不等式综合问题
1、若 f ( x) 是奇函数,且在区间( ? ? , 0 )上是单调增函数,又 f (2) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集为 2、设奇函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x
)

3、在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,则 f ( x) ( A.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [ ?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 D.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 4、 设 f ( x) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时 f ( x) 是单调函数, 则满足 f ( x) ? f ? A. ? 3 B. 3 C. ? 8 D. 8

? x?3? ( ) ? 的所有 x 之和为 ? x?4?

5、已知定义域为 R 的函数 f(x)在 (8,??) 上为减函数,且函数 y=f(x+8)函数为偶函数,则( ) A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

6、已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ?

?1? ? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是 ?x?
( ) D. ?? ?,?1? ? ?1,???

A. ?? 1,1? 答案 C

B. ?0,1?

C. ?? 1,0? ? ?0,1?

7、已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是
3

1 3

(A) (

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

8、 (2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是

9 、 已 知 函 数 f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , 当 x2 ? x1 ? 1 时 , [ f ( x2 ) ? f ( x1 )](x2 ? x1 ) ? 0 恒 成 立 , 设

1 a ? f (? ), b ? f (2), c ? f (3) ,则 a,b,c 的大小关系为 2
A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. a ? b ? c





10 、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在区间 [?1,0] 上为递增,则( A. f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) 选做题: B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3)



设函数 f ( x) 的定义域为 ?0,??? ,当 x ? ?0,???时,恒有 f ( f ( x)) ? 2 x 成立,且过 f ( x) 图像上任意两点
的直线的斜率都大于 1,求证: (1)

f ( x) 在 ?0,??? 上递增;

(2) f ( x) ? x ; (3) 3 ?

4

f ( x) 3 ? 。 x 2

4


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