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§1.2.1 绝对值三角不等式


会泽一中导学案-XJ-4-5-1.2.1

使用时间:2014-12-04

编制人:刘云林

审核人:盛兴林

§1.2.1 绝对值三角不等式
(1 课时)

② a ? b ? 0 时,如图, 容易得: | a ? b |

| a| ?|b|.

班级: 【学习目标】 :
1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2.理解关于绝对值三角不等式并会简单应用
王新敞
奎屯 新疆

姓名:

③ a ? b ? 0 时,显然有: | a ? b | 综上,得 定理 1 如果 a, b ? R , 那么 | a ? b |

| a| ?|b|.

| a | ? | b | . 当且仅当

时, 等号成立.

【重点难点】 :

重点:掌握绝对值三角不等式定理及推论. 难点:应用绝对值三角不等式定理证明不等式 .

在上面不等式中,用向量 a, b 分别替换实数 a , b , 则当 a, b 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量 a, b , a ? b 构成三角形, 因此有 | a ? b | 它的几何意义就是:

【学习流程】 :
一、问题思考
1.回顾:定理 3 如果 a, b, c ? R ? , 那么 定理 3 的语言表述: 推论:对于 n 个正数 a1 , a2 , 即

| a | ?| b|

a?b?c 3 ? abc , 当且仅当 a ? b ? c 时, 等号成立. 3
. . 定理 2 如果 a, b, c ? R , 那么 小试牛刀 1.若|x-a|<m,|y-a|<n,则下列不等式一定成立的是( A.|x-y|<2m B. |x-y|<2n C. |x-y|<n-m ). ). D. |x-y|<n+m

| a ?c |

, an , 它们的
当且仅当 a ? b ? c 时, 等号成立.

| a ? b | ? | b ? c | . 当且仅当

时, 等号成立.

许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量,等等,它们都要通过非负数来表示.因此, 研究含有绝对值的不等式具有重要大的意义.

2.若|a+b|=|a|+|b|成立,a,b 为实数,则有( A.ab<0 B.ab>0 C.ab≥0

二、深入学习:
? ? 1.绝对值的代数意义: ?a ? R,| a |? ? ? ?
2. 绝对值的几何意义: ⑴实数 a 的绝对值 | a | ,表示数轴上坐标为 a 的点 A .

D.以上都不对

3.若关于 x 的不等式|x+2|+|x-1|≤a 的解集是 ? ,则实数 a 的取值范围是_________.

三、典例精析:
例 1: 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 4 . ?1? 解不等式 f ( x) ? 2 ; ? 2 ? 求函数 y ? f ( x) 的最值.

⑵ ? 两个实数 a , b ,它们在数轴上对应的点分别为 A, B , 那么 | a ? b | 的几何意义是 2. 绝对值三角不等式:探究 | a | , | b | , | a ? b | 之间的关系. ① a ? b ? 0 时,如下图, 容易得: | a ? b | .

c c x ? a ? , y ? b ? . 例 2:⑴已知 2 2 求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c.
⑵已知 ? ? 0, x ? a ? ? , y ? b ? ? ,求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? 5? 。

| a| ?|b|.

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高二数学导学案

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会泽一中导学案-XX-4-5-1.2.1

使用时间:2014-12-04

编制人:程必赛

审核人:盛兴林

【限时训练】 :
1.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是 2.(1)已知 x ? .

a a , y ? . 求证: 2x ? 3 y ? a 。 4 6 c c (2)已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6 s s s (3)已知 A ? a ? , B ? b ? , C ? c ? . 求证: ( A ? B ? C) ? (a ? b ? c) ? s 3 3 3

9 . (1)已知 x ?

a a , y ? . 求证: 2x ? 3 y ? a . 4 6

【课外作业】 :
1. 当 a、b ? R时,不等式
a?b a?b
2

? 1 成立的充要条件是(
2

).

A. ab ? 0 B. a ? b ? 0 C. ab ? 0 D. ab ? 0 2. 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ;

⑵已知 A ? a ?

3. 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是
x |? 2? x

. . . .

s s s , B ? b ? , C ? c ? . 求证: ( A ? B ? C) ? (a ? b ? c) ? s . 3 3 3

4. 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是
5 . 方程
x?2 x2 ?3 x

x?2 ? x2 的解集为 ?3 x

,不等式 2? x

|

x

的解集是

6 . 已知方程 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 1 |? a ? 1 有实数解,则 a 的取值范围为

7. 画出不等式 x ? y ? 1的图形,并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式

10 . 求函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值.

x ?1 ? x ?1 ? 1;

【课时小结】 :

8 . 解不等式:⑴ 2 x ? 1 ? x ? 1 ;



x?2 ? 1; x ?1

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数学导练案

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