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4. 高一数学( 函数单调性)


高中数学学科教师辅导教案

学员编号: 学员姓名 授课类型 星级 教学目标 授课日期及时段

年 级:高一 辅导科目:数学 T 同步:函数的单调性 ★★★

课 时 数: 3 学科教师:尹桂花 C 专题:典例精讲 ★★★ C 专题:巩固练习 ★★★

1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性 2014/6/21 19:40-21:40 教学内容

【教学目标】 知识目标——1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性 能力目标——通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力 和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力。 情感目标—— 通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,锻炼克服困难的意志,激励学习数学的自信心。 【教学重点】领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念。 【教学难点】利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。 【知识点】 1、函数增减性的定义 对于函数 f ( x ) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1, x 2. (1)若当 x 1< x 2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f ( x ) 在这个区间上是增函数; (2)若当 x 1< x 2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f ( x ) 在这个区间上是减函数. 说明:理解函数增减性的定义时,应突出 x 1, x 2 是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件, 就不能保证函数是增函数(或减函数). 函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间 上不是增函数.当然也有些函数在整个定义域上是增函数或减函数. 2、 函数的单调性与单调区间 若函数 y = f ( x ) 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y = f ( x ) 在这一区间具有(严格的)单调性,这 一区间叫做函数 y = f ( x ) 的单调区间.此时也说函数在这一区间上是单调函数. (1)函数的单调区间是其定义域的子集; (2)函数单调性的内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况;函数单调性的外延: ①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减. ②几何特征:在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象则是下降的.
1

3、求函数单调区间的方法: (1)定义法:利用函数单调性的定义; (2)图象法:先作出函数的图象,再利用图象的直观性求出函数的单调区间; (3)直接法:运用一次、二次函数、反比例函数的单调性 当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

k k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数,当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x x b b ] 是减函数,在 [ ? , ??) 是增函数, 当 a ? 0 , y ? ax2 ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a b b ] 是增函数,在 [ ? , ??) 是减函数。 当 a ? 0 , y ? ax2 ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a
当k ? 0, y ? (4)复合函数法:设函数 y = f ( u ) , u ∈[ m , n ]及 u =g( x ), x ∈[ a , b ]都具有单调性 ①若 y = f ( u )是[ m , n ]上的增函数,则 y = f [g( x )]的增减性与 u =g( x )的增减性相同; ②若 y = f ( u )是[ m , n ]上的减函数,则 y = f [g( x )]的增减性与 u =g( x )的增减性相反. 4、 函数单调性的应用主要有: (1)根据自变量值的大小关系比较函数值的大小; (2)根据函数值的大小关系比较自变量值的大小; (3)求函数的值域、最值; (4)利用单调性作函数的图象. 5、要熟练掌握基本函数的单调性: (1)一次函数 y ? kx :当 k ? 0 时为增函数,当 k ? 0 时为减函数; (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在 ? ? ?,?
2

? ?

b? ? b ? ,?? ? 上为增函数. 上为减函数,在 ?? ? 2a ? ? 2a ?

6、对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单调,因此,在考虑它的单调区间时, 包括不包括端点都可以.但要注意,对于在某些点上不连续的函数,单调区间不包括不连续点,如函数 y ? 调区间是 (??,0) 、 (0,??) ,但不能写成 (??, ? ?) .

1 的单 x

典例精讲 题型一定义法:运用函数单调性的定义来判断
例 1 证明:函数 f ( x) ? x ? x 在 R 上单调递增.
3

思路剖析 利用函数单调性的定义证明. 解题示范 设 x1 , x2 ? R ,且 x1 < x2 ,则有 x1 - x2 <0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 =( x1 - x2 ) ( x1 ? x1 x2 ? x2 ? 1)
3 3
2 2

2

=( x1 - x2 ) [(x1 ?

x2 2 3 2 ) ? x 2 ? 1] <0. 2 4

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x) ? x 3 ? x 在 R 上单调递增. 回顾反思 证明函数的单调性,严格地说必须利用定义来证,其步骤是: (1)取值:在指定区间内任取两个值

x1 , x2 ,且 x1 < x2 ; ( 2)作差变形:作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,并通过分解因式、配方等方法,向有利于判断差式
(3)定号:确定差式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号,当符号不确定时,要进行分类讨论; (4) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的方向变形; 判断:根据定义作出结论.

变式练习:6. 已知函数 y ? x ?

1 的图像如图. x

求(1)试指出函数的单调区间; (2)给出函数在区间[1,+ ? )上单调性证明

题型二图象法:运用一次、二次函数、反比例函数的单调性
例 2 已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
2

思路剖析 二次函数的单调性从图象上不难发现与两个量有关: 开口方向、 对称轴的位置.由于本题中二次函数 图象的开口已定,故可从满足条件的对称轴与给定区间的相对位置入手. 解题示范 ∵ f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 = [ x ? (a ? 1)] ? (a ? 1) ? 2
2 2 2

∴二次函数图象的对称轴为 x ? 1 ? a ,∴ f ( x ) 的单调减区间为 ?? ?,1 ? a? . ∵ f ( x ) 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,∴对称轴 x ? 1 ? a 必须在直线 x ? 4 的右侧或与其重合, ∴1 ? a ? 4 , ∴ a ? ?3 .

题型三复合函数法
例 3 已知函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,g( x )在[ a , b ]上是减函数,求证: f [g( x )]在[ a , b ]上是减函数. 思路剖析 利用函数单调性的定义证明. 解题示范 设 x 1, x 2∈[ a , b ],且 x 1< x 2,∵g( x )在[ a , b ]上单调递减,∴g( x 1) >g( x 2), 又 f ( x ) 在 R 上递增,而 g( x 1)∈R,g( x 2)∈R,∴ f [g( x 1)]> f [g( x 2)], ∴ f [g( x )]在[ a , b ]上是减函数.
3

回顾反思

1、此题给出了复合函数单调性的判断方法,称作为复合函数法.一般地:

设 y = f ( u ), u ∈[ m , n ]及 u =g( x ), x ∈[ a , b ]都是单调函数, 则复合函数 y = f [g( x )]在[ a , b ] 上也是单调函 数. (1)若 y = f ( u )是[ m , n ]上的增函数,则 y = f [g( x )]的增减性与 u =g( x )的增减性相同; (2)若 y = f ( u )是[ m , n ]上的减函数,则 y = f [g( x )]的增减性与 u =g( x )的增减性相反. 复合函数法可简记为“同增异减” ,即内层函数 u =g( x )与外层函数 y = f ( u )的单调性相同时递增,相异时递 减.详细情况见下表: y = f (u )

增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数

减函数 减函数 增函数

u =g( x )
y = f [g( x )]

2、在运用复合函数法判断函数的单调性时,要特别注意内层函数 u =g( x )的值域应是外层函数 y = f ( u )的 定义域的子集.

例4

已知 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 8 , g ( x) ? f (2 ? x ) ,试求 g ( x) 的单调区间及值域.
2 2

思路剖析 利用复合函数的单调性求解. 解题示范 令 f (u) ? ?u ? 2u ? 8 , u( x) ? 2 ? x .
2 2 2 由 f (u) ? ?u ? 2u ? 8 可知, u ? 1 时 f (u ) 单调递增; u ? 1 时 f (u ) 单调递减; 2 由 u( x) ? 2 ? x 可知, x ? 0 时 u ( x) 单调递增; x ? 0 时 u ( x) 单调递减.
2 2 ∴当 x ? 0 且 u ? 1 或 x ? 0 且 u ? 1 , 即 x ? 0且2 ? x ?1或 x ? 0且2 ? x ?1, 也即 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 时

g ( x) 单调递减;
2 2 当 x ? 0 且 u ? 1 或 x ? 0 且 u ? 1 ,即 x ? 0 且 2 ? x ? 1 或 x ? 0 且 2 ? x ? 1 ,

也即 0 ? x ? 1 或 x ? ?1 时 g ( x) 单调递增. ∴当 x ? ?1 时 g ( x) 取得最大值 9. ∴ g ( x) 的递减区间为[-1,0]、 ?1,??? ,递增区间为 ?? ?,?1? 、[0,1],值域为 ?? ?,9?.

4

回顾反思

通过观察图象,对函数是否具有某种性质,作出一种猜想,然后通过推理的办法,证明这种猜想

的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法.求函数单调区间时,要根据给出函数的特点,灵活选用方法.

题型四逆向思维法、
例5 设 f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且对任意 x ? 0, y ? 0 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 总成立. (1) 求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; (2) 如果 f (3) ? 1 ,解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 . 思路剖析 利用函数的单调性求解. 解题示范 (1)令 x ? y ? 1 得, f (1) ? f (1) ? f (1) ∴ f (1) ? 0

∵ f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且 x ? 1 ,∴ f ( x ) > f (1) ? 0 ,即 f ( x ) >0.∴当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . (2) ∵ f (3) ? 1 , ∴ f (9) ? f (3) ? f (3) ? 2 .

于是由 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ,得 f ( x) ? f (9 x ? 9) ,

?x ? 0 9 ? 又∵ f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,∴ ? x ? 1 ? 0 ,解得 1 ? x ? . 8 ?x ? 9x ? 9 ?

点评:

1、本题解函数单调性的逆向问题的方法,是应用函数单调性求解数学问题的一个实例.函数单调性的 应用主要有: (1)根据自变量值的大小关系比较函数值的大小; (2)根据函数值的大小关系比较自 变量值的大小; (3)求函数的值域、最值; (4)利用单调性作函数的图象. 2、等式 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 称作为函数方程.对于函数方程问题常需对自变量赋值,如本题( 1)中 令 x ? y ? 1 ,这种方法称为赋值法.

3、 在研究函数问题时,要优先考虑函数的定义域,如本题(2)中,不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 中的 x 首先要满足 x ? 0, x ? 1 ? 0 ,否则此不等式无意义. 题型五、构造法 例 6:设 a, b, c ? R, 且a ? b ? c, 求证: 证明:设函数 f ( x ) ?

a b c ? ? 1? b 1? a 1? c

x , x ? R ,取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 1? x x x2 x1 ? x2 ?0 ? f ( x)在R?内单调递增 = ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

5

? a ? b ? c, ? f (a ? b) ? f (c),即 ? a b c ? ? 1? a 1? b 1? c a?b c ? 1? a ? b 1? c
(*)

点评:这里根据待证式的特征,构造适当的函数,然后根据函数的单调性来证明,本例得出(*)式后,进一 步运用放缩法得出待证的结果

课堂检测
1.函数 y ? x2 ? 6 x 的减区间是( D ). A . (??, 2] B. [2, ??) C. [3, ??) 2.在区间(0,2)上是增函数的是( B ). A. y=-x+1 B.

D. (??,3]
2

y= x

C. y= x -4x+5

D. y=

3.已知 f ( x) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? 3 ,则 F ( x) 是 R 上的( B A.增函数 B.减函数 C.先减后增 D.先增后减 2 4.二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b 在区间( ? ∞,4)上是减函数,你能确定的是( B ). A. a ? 2 B. b ? 2 C. a ? ?4 D. b ? ?4 5.函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,且对其内任意实数 x1 , x2 均有: ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f ( x) 在 (a, b) 上 是 (填“增函数”或“减函数”或“非单调函数” )增函数

2 x ).

7.已知函数 f (x)= x2-2x+2,那么 f (1),f (-1),f ( 3 )之间的大小关系为.

答案: f (1) ? f ( 3) ? f (?1)

8.指出下列函数的单调区间及单调性: (1) f ( x) ?

x?3 ; (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3 | x ?1

【能力训练】
一、选择题
1、函数 f ( x) ?

3 在下列区间上不是减函数的是 ( C ) x A、 (0,+ ? ) B、 (- ? ,0 )C、 (- ? ,0) ? (0,+ ? )
) D、 a ?

D、 (1,+ ? )

2、设函数 y ? (2a ? 1) x 在 R 上是减函数,则有 ( D A、 a ?

1 2

B、 a ?

1 2

C、 a ?

1 2

1 2

3、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是

( B )
6

A、 y ? 3 ? x

B、 y ? x 2 ? 1

C、 y ?

1 x

D、 y ? ? | x |

4 、 若 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ m, n ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ n, k ] 上 也 是 增 函 数 , 则 函 数 f ( x ) 在 区 间 (m, k ) 上 ( D ) A、必是增函数

B、是增函数或减函数 C、必是减函数

D、未必是增函数或减函数

5、函数 f ( x ) 在区间(-2,3)上是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是( B ) A、 (3,8) B、 (-7,-2) C、 (-3,-2) D、 (0,5)

二、填空题
6、函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 1 在 (??,?2] 上递减,在 [?2,??) 上递增,则实数 m = 7、设 f ( x) 为定义在 R 上的减函数,且 f ( x) ? 0 ,则下列函数: 1 y ? 3 ? 2 f ( x) ;○ 2 y ?1? ○ 其中为 R 上的增函数的序号是 .

1 ;○ 3 y ? f 2 ( x) ;○ 4 y ? 2 ? f ( x) f ( x)
.

2 8、函数 f ( x) 在 (0,??) 上是减函数,那么 f (a ? a ? 1) 与 f ( ) 的大小关系是

3 4

______________.

9、函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域为_____________.
2 在 (0,1] 上有最 x
值 .

10、函数 f ( x) ? x ?

三、解答题
11、求下列函数的单调区间: (1) y ? x ? 2 | x | ?1 ;
2

(2) y ?

4x ? x 2 .

12、判断函数 f ( x ) = x 2-2 a x +3 在(-2,2)内的单调性.

13、判断函数 f ( x ) ?

2x 的单调性,并证明之. 1? x

14、函数 f ( x )在 [0, ? ? ? 上单调递减,求 f ( 1 ? x 2 ) 的递减区间.

7

15、设 f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,满足 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 f (3) ? 1 . (1) 求 f (1) ; (2)若 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,求 x 的取值范围.

x y

课后作业:

函数的单调性问题
) D. y ? ? x 2 ? 4

1.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?

1 x

2.函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是________________。 3.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是

.

4.判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ?

k ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的单调性。 x

5.利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域;

6.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5? .
2

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

7.若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( C
2



A. ? ??, 40?

B. [40,64]
2

C. ? ??, 40? ? ?64, ???

D. ?64, ?? ? A )

8.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3
2

C. a ? 5

D. a ? 3

10.若函数 f ( x) ? (k ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。 11.已知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是(
2



A. a ? ?2

B. a ? ?2

C. a ? ?6

D. a ? ?6
8

12.若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ??0, ??? 上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是 13.若 f ( x ) ?



ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2 4 ( x ? [3, 6]) 的值域为____________。 14.函数 f ( x) ? x?2
15.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x 2 ? (2 ? 6a) x ? 3a 2 的最小值。



16.已知 f ( x) ? ?4 x2 ? 4ax ? 4a ? a2 在区间 ?0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值. 17.已知函数 f ( x) ? ax ? 答案: 函数的单调性问题 1. A 2.

3 2 1 1 1 1 x 的最大值不大于 ,又当 x ? [ , ]时, f ( x) ? ,求 a 的值。 2 6 4 2 8
1 在 (0, ??) 上递减, y ? ? x2 ? 4 在 (0, ??) 上递减, x

y ? 3 ? x 在 R 上递减, y ?

[?2, ??)

x ? ?1, y 是 x 的增函数,当 x ? ?1 时, ymin ? ?2

3. ? 2 ? 1, 3 ?

?

?

该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小; 自变量最大时,函数值最大

4.解:当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b ] 是减函数,在 [ ? , ??) 是增函数, 当 a ? 0 , y ? ax2 ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a b b ] 是增函数,在 [ ? , ??) 是减函数。 当 a ? 0 , y ? ax2 ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a 1 1 1 1 5.解: 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ,显然 y 是 x 的增函数, x ? ? , ymin ? ? , ? y ? [? , ??) 2 2 2 2
当k ? 0, y ? 6.解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
2

∴ f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 (2)对称轴 x ? ? a , 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x ) 在 ? ?5,5? 上单调∴ a ? 5 或 a ? ?5 。 7. 8. C 对称轴 x ?

k k k ,则 ? 5 ,或 ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64 8 8 8

A 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3

9.

B

y?

2 , x ? 1 , y 是 x 的减函数,当 x ? 1, y ? 2,0 ? y ? 2 x ?1 ? x ?1

10.

(1, 2)

k 2 ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2
9

11.

B 12. 13.

对称轴 x ? 2 ? a, 2 ? a ? 4, a ? ?2

a ? 0 且 b ? 0 画出图象,考虑开口向上向下和左右平移 1 ( , ??) 设 x1 ? x2 ? ?2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

学员编号: 年 级:高一 课 时 数: 3 ax1 ? 1 ax2 ? 1 2ax1 ? x2 ? 2ax2 ? x1 ( x1 ? x2 )(2a ? 1) ,则 2a ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? 0学科教师:尹桂花 学员姓名: 辅导科目:数学

x1 ? 2

x2 ? 2

( x1 ? 2)( x2 ? 2)

( x1 ? 2)( x2 ? 2)

授课类型 14. ?1, 4?

4 T 同步:函数的单调性 C 专题:典例精讲 C 专题:巩固练习 区间 [3, 6] 是函数 f ( x ) ? 的递减区间,把 3, 6 分别代入得最大、小值 x?2

15.解:对称轴 x ? 3a ? 1, 当 3a ? 1 ? 0 ,即 a ? 当 3a ? 1 ? 1 ,即 a ?

1 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递增区间, f ( x)min ? f (0) ? 3a2 ; 3

2 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递减区间, f ( x)min ? f (1) ? 3a2 ? 6a ? 3 ; 3 1 2 当 0 ? 3a ? 1 ? 1 ,即 ? a ? 时, f ( x)min ? f (3a ?1) ? ?6a2 ? 6a ?1 。 3 3 a a 16.解:对称轴 x ? ,当 ? 0, 即 a ? 0 时, ?0,1? 是 f ( x ) 的递减区间, 2 2
则 f ( x)max ? f (0) ? ?4a ? a2 ? ?5 ,得 a ? 1 或 a ? ?5 ,而 a ? 0 ,即 a ? ?5 ;

a ? 1, 即 a ? 2 时, ?0,1? 是 f ( x) 的递增区间,则 f ( x)max ? f (1) ? ?4 ? a2 ? ?5 , 2 a 得 a ? 1 或 a ? ?1 ,而 a ? 2 ,即 a 不存在;当 0 ? ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, 2 a 5 5 5 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ? ,即 a ? ;∴ a ? ?5 或 。 2 4 4 4 3 a 2 1 2 1 2 1 17.解: f ( x) ? ? ( x ? ) ? a , f ( x) ? a ? , 得 ? 1 ? a ? 1 , 2 3 6 6 6
当 对称轴 x ?

3 1 a ?1 1? ,当 ?1 ? a ? 时, ? , ? 是 f ( x ) 的递减区间,而 f ( x ) ? , 4 8 3 ?4 2?

3 a 3 1 ? ? , a ? 1 与 ?1 ? a ? 矛盾,即不存在; 4 2 8 8 1 1 ? 3 a 1 a 1 1 a 3 1 1 4 2 3 当 ? a ? 1 时,对称轴 x ? ,而 ? ? ,且 ? ? 即 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ,而 4 3 4 3 3 2 2 8 8 3 2 8
即 f ( x) min ? f ( ) ?

1 2

3 ? a ? 1 ,即 a ? 1 ∴ a ? 1 4

高中数学学科教师辅导学案

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星级 教学目标 授课日期及时段 1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性 2014/6/19 15:00-17:00 教学内容 【知识点】 1、函数增减性的定义 对于函数 f ( x ) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1, x 2. (1)若当 x 1< x 2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f ( x ) 在这个区间上是增函数; (2)若当 x 1< x 2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f ( x ) 在这个区间上是减函数. 2、 函数的单调性与单调区间 若函数 y = f ( x ) 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y = f ( x ) 在这一区间具有(严格的)单调性,这 一区间叫做函数 y = f ( x ) 的单调区间.此时也说函数在这一区间上是单调函数.

3、求函数单调区间的方法: (1)定义法:利用函数单调性的定义; (2)图象法:先作出函数的图象,再利用图象的直观性求出函数的单调区间; (3)复合函数法:设函数 y = f ( u ) , u ∈[ m , n ]及 u =g( x ), x ∈[ a , b ]都具有单调性. ①若 y = f ( u )是[ m , n ]上的增函数,则 y = f [g( x )]的增减性与 u =g( x )的增减性相同; ②若 y = f ( u )是[ m , n ]上的减函数,则 y = f [g( x )]的增减性与 u =g( x )的增减性相反. 4、函数单调性的应用主要有: (1)根据自变量值的大小关系比较函数值的大小; (2)根据函数值的大小关系比较自变量值的大小; (3)求函数的值域、最值; (4)利用单调性作函数的图象. 5、要熟练掌握基本函数的单调性: (1)一次函数 y ? kx :当 k ? 0 时为增函数,当 k ? 0 时为减函数; (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在 ? ? ?,?
2

? ?

b? ? b ? ,?? ? 上为增函数. 上为减函数,在 ?? ? 2a ? ? 2a ?

二、典例精讲 题型一定义法:运用函数单调性的定义来判断
例 1 证明:函数 f ( x) ? x ? x 在 R 上单调递增.
3

11

6. 已知函数 y ? x ?

1 的图像如图. x

求(1)试指出函数的单调区间; (2)给出函数在区间[1,+ ? )上单调性证明

题型二图象法:运用一次、二次函数、反比例函数的单调性
例 2 已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
2

题型三直接法、已知函数单调性的运用
例 3 已知函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,g( x )在[ a , b ]上是减函数,求证: f [g( x )]在[ a , b ]上是减函数.

12

题型四复合函数(选讲)
例4 已知 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 8 , g ( x) ? f (2 ? x 2 ) ,试求 g ( x) 的单调区间及值域.

练习、函数 f ( x )在 [0, ? ? ? 上单调递减,求 f ( 1 ? x 2 ) 的递减区间.

题型五逆向思维法、
例 5.设 f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且对任意 x ? 0, y ? 0 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 总成立. (1) 求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; (2)如果 f (3) ? 1 ,解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 .

课堂检测
1.函数 y ? x2 ? 6 x 的减区间是( A . (??, 2] B. [2, ??) A. y=-x+1 B. ). C. [3, ??) ).
2

D. (??,3] D. y=
2 x ).
13

2.在区间(0,2)上是增函数的是(

y= x

C. y= x -4x+5

3.已知 f ( x) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? 3 ,则 F ( x) 是 R 上的(

A.增函数 B.减函数 C.先减后增 D.先增后减 2 4、二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b 在区间( ? ∞,4)上是减函数,你能确定的是( ). A. a ? 2 B. b ? 2 C. a ? ?4 D. b ? ?4 5、函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,且对其内任意实数 x1 , x2 均有: ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f ( x) 在 (a, b) 上 是 (填“增函数”或“减函数”或“非单调函数” ) 2 6.已知函数 f (x)= x -2x+2,那么 f (1),f (-1),f ( 3 )之间的大小关系为.
7.指出下列函数的单调区间及单调性: ( 1) f ( x) ?

x?3 ; (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3 | x ?1

【能力训练】
一、选择题
1、函数 f ( x) ?

3 在下列区间上不是减函数的是 ( ) x A、 (0,+ ? ) B、 (- ? ,0) C、 (- ? ,0) ? (0,+ ? )
) D、 a ?

D、 (1,+ ? )

2、设函数 y ? (2a ? 1) x 在 R 上是减函数,则有 ( A、 a ?

1 2

B、 a ?

1 2
2

C、 a ?

1 2 1 x

1 2

3、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A、 y ? 3 ? x B、 y ? x ? 1 C、 y ?

( ) D、 y ? ? | x |

4 、 若 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ m, n ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ n, k ] 上 也 是 增 函 数 , 则 函 数 f ( x ) 在 区 间 (m, k ) 上 ( ) A、必是增函数

B、是增函数或减函数

C、必是减函数 )

D、未必是增函数或减函数

5、函数 f ( x ) 在区间(-2,3)上是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是( A、 (3,8) B、 (-7,-2) C、 (-3,-2) D、 (0,5)

二、填空题
6、函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 1 在 (??,?2] 上递减,在 [?2,??) 上递增,则实数 m =
2

.

7、 设 f ( x) 为定义在 R 上的减函数, 且 f ( x) ? 0 , 则下列函数: ○ 1 y ? 3 ? 2 f ( x) ; 2 y ?1? ○ 4 y ? 2 ? f ( x) 其中为 R 上的增函数的序号是 ○

1 2 ; 3 y ? f ( x) ; ○ f ( x)

.

2 8、函数 f ( x) 在 (0,??) 上是减函数,那么 f (a ? a ? 1) 与 f ( ) 的大小关系是

3 4

______________.

9、函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域为_____________.
14

10、函数 f ( x) ? x ?

2 在 (0,1] 上有最 x



.

三、解答题
11、求下列函数的单调区间: (1) y ? x 2 ? 2 | x | ?1 ; (2) y ?

4x ? x 2 .

12、判断函数 f ( x ) = x 2-2 a x +3 在(-2,2)内的单调性.

13、判断函数 f ( x ) ?

2x 的单调性,并证明之. 1? x

14 设 f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,满足 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 f (3) ? 1 . (1)求 f (1) ; (2)若 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,求 x 的取值范围.

x y

课后作业:

函数的单调性问题
) D. y ? ? x ? 4
2

1.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?

1 x

2.函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是________________。
15

3.已知 x ? [0,1] ,则函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? x 的值域是

.

4. 利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域;

5.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5? .
2

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

6.若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40?
2



B. [40,64]

C. ? ??, 40? ? ?64, ???

D. ?64, ?? ? )

7.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 8.函数 y ? A. ? ?, 2 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3 )

x ? 1 ? x ?1 的值域为(

?

?

B. 0, 2

?

?

C.

?

2 ,??

?

D. ?0,???

10.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。 11.已知 y ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是( A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6 。 )

12.若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 x ??0, ??? 上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 x?2 4 f ( x) ? ( x ? [3, 6]) x?2 14.函数 的值域为____________。
13.若 f ( x ) ? 15.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x ? (2 ? 6a) x ? 3a 的最小值。
2 2



16

16.已知 f ( x) ? ?4 x2 ? 4ax ? 4a ? a2 在区间 ?0,1? 内有一最大值 ?5 ,求 a 的值.

17.已知函数 f ( x) ? ax ?

3 2 1 1 1 1 x 的最大值不大于 ,又当 x ? [ , ]时, f ( x) ? ,求 a 的值。 2 6 4 2 8

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