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安徽省六校教育研究会2013届高三测试 理科数学试卷 WORD 含 答案


安徽省六校教育研究会 2013 届高三联考 数学(理科)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、 写在答题卷上,在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给的四个选项中,只一 个是符合题目要求的 1.复数 (1 ? ) 的虚部是(
2

1 i

)

A. 0 B. 2 C. ?2 D. ? 2i 2.命题 p:若 a,b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件. 命题 q:函数

y?

x ? 1 ? 2 的定义域是 ?? ?,?1? ? ?3,??? ,则

(

)

A.“p 或 q”为假 B. 且 q”为真 “p C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 3.在极坐标系中,以 A(0,2)为圆心,2 为半径的圆的极坐标方程是( ) A.ρ =4sinθ B.ρ =2 C.ρ =4cosθ D. ρ =2sinθ +2cosθ

4.已知集合 M ? a a ? (1,2) ? ? (3,4), ? ? R , N ? a a ? (?2,?2) ? ? (4,5), ? ? R , 则 M ? N 等于( A.{(1,1)} C.{(-2,-2)} 5.右图给出的是计算 ) B.{(1,1),(-2,-2)} D. ?

?

?

?

?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图, 其中判 2 4 6 20
.( ) D.i≥11

断框内应填入关于 i 的条件是 A.i=10 B.i≥9 C.i≤10
2

? y2 ? 1 的一条渐近线的倾斜角 ? ?(0, ),则 m 的取 6.若双曲线 x ? 3 m
值范围是( A. ?- 3,0? ) B. - 3,0

?

?

C. ?0,3?

( D. -

3 ,0) 3

7.四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥三视图如右 图所示, E 、 F 分别是棱 AB 、 CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的 线段长为 2 2 ,则该球表面积为( A. 9? B. 3? ) D. 12?

C. 2 2?
第 1 页 共 8 页

8. 角 ? 的 顶 点 在 坐 标 原 点 O, 始 边 在 y 轴 的 正 半 轴 上 , 终 边 在 第 三 象 限 过 点 P , 且

3 ; ? 的顶点在坐标原点 O,始边在 x 轴的正半轴上, 角 终边在第二象限经过点 Q , 4 且 tan ? ? ?2 ,则 cos?POQ 的值为( ) tan ? ? ?
A.

5 5

B. ?

5 5

C.

11 5 25

D. ?

11 5 25

9.在四棱柱的所有棱、 面对角线及体对角线所在直线中任取两条, 这两条直线异面的概率是 ( ) A.

1 . 3

B.

2 3

C.

29 63

D.

22 63

10.设 0 ? b ? 1 ? a, 若关于 x 的不等式 (ax) 2 ? ( x ? b) 2 的解中恰有四个整数, a 的取值范 则 围是( ) A. ? 3 ? a ? ?1 C. 2 ? a ? 3 B. 1 ? a ? 2 D. 3 ? a ? 6

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

?x ? y ?1 ? 0 ? 11.已知不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域为 D, 若直线 y=kx +1 将区域 D 分成面积相 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
等的两部分,则实数 k 的值是 .
0

12.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x( C ) 之间的关系,统计了某 4 天的用电量与当 天气温,数据如下表: 气温(0C) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38

?1
64

? 由表中数据可得线性回归方程 y ? bx ? a 中的 b ? ?2 ,预测当气温为 ?10?C 时,该单位用
电量的度数约为_______度. 13.高三某班级有 6 名同学参加自主招生,准备报考 3 所院校,每人只报考一所,每所院校 至少报 1 人,则不同的报考方法为__________。 (用数字作答)

?(a ? 2) x( x ? 2) ? 14.设函数 f ( x) ? ? 1 1 , a n ? f (n) ,若数列 {an } 是单调递减数 ( ? ?1 1 ? x 2 dx) x ? 1( x ? 2) ?? ?
列,则实数 a 的取值范围为 . 15.函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x ) 满足: (1) f ( x ) 在

[a, b] 内是单调函数; (2) f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [2a, 2b] , 则称区间 [ a, b] 为 y ? f ( x) 的
“和谐区间” .下列函数中存在“和谐区间”的有__________(只需填符合题意的条件序号)
第 2 页 共 8 页

① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ?R) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

1 8

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? 1 (A ? 0,? ? 0, 个对称中心之间的距离为

? ?

? 1 ? ,且经过点 (? , ) . 2 12 2

? ) 的最大值为 2,其图像相邻两 2

(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)若 f (? ) ?

7 ? ? ?? ? ? ,且 ? ? ? , ? ,求 f ( ? ) 的值. 5 2 6 ?12 4 ?

17.(本小题满分 12 分)美国 NBA 总决赛采用七局四胜制,赛前预计 2012 年参加决赛的两 队实力相当,且每场比赛组织者可获得 200 万美元,问: (1)比赛只打 4 场的概率是多少? (2)组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元的概率是多少? (3)组织者在本次比赛中获利的期望是多少?

18.本小题满分 12 分) ( 如图, 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? , 且 FA ? FC . (1)求证: AC ? 平面 BDEF ; (2)求证: FC ∥平面 EAD ; (3)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
D A B C E F

19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,定点 2 a b 3

M (2, 0),椭圆短轴的端点是 B1 , B2 ,且 MB1 ? MB2 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 M 且斜率不为 0 的任意直线交椭圆 C 于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定点

P ,使 PM 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

第 3 页 共 8 页

20.(本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? a ln x ? bx (a ? 0) 。 f ' ( x)、g ' ( x) 分 别是 f ( x)、g ( x) 的导函数。 (1)若 f (1) ? g (1) , f ' (1) ? g ' (1) ,是否存在实常数 k 和 m ,使得 f ( x) ? kx ? m 和

g ( x) ? kx ? m ?若存在,求出 k 和 m 的值.若不存在,说明理由;
' (2)设 G( x) ? f ( x) ? 2 ? g ( x) 有两个零点 x1 和 x2 ,且 x1 、 x0 、 x2 成等差数列,G'( x) 是

' G (x) 的导函数,试探究 G'( x0 ) 值的符号.

21. 本小题满分 14 分) ( 已知曲线 C : xy ? 1 , C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率 kn ? ? 过 的直线交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ,其中 x1 ? (1)求 xn 与 xn ?1 之间的关系式; (2)求证:数列 {

1 xn ? 2

11 7

1 1 ? } 是等比数列; xn ? 2 3

(3)求证: (?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ? ?(?1)n xn ? 1(n ?N*)

安徽省六校教育研究会 2013 年高三素质测试
数学试题(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.

1 3

12.80

13.540

14. (?? , )

7 4

15.①③④

三 解答题: 16. 解: (1)由已知: A ? 3, ? ? 2, ? ?

, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? 1 ……….3 分 3 3 ? ? ? 5 ? (k ? Z ) 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? 得 k? ? ? ? x ? k? ? 2 3 2 12 12 5 ? 所以 f ( x ) 单调递增区间是 [k? ? ? , k? ? ](k ? Z ) ; ……….6 分 12 12 7 ? 4 (2)由 f (? ) ? ,得 sin(2? ? ) ? , 5 3 5
第 4 页 共 8 页

?

?

? ? ? 3 ? ? ? [ , ] 所以 cos(2? ? ) ? ? 12 4 3 5
2? ? f ( ? ) ? 3sin(? ? ) ? 1 ? 3cos(? ? ) ? 1 = 3 2 6 3 6
=

?

?

1 ? cos(2? ? ) 3 ?1 2
………12 分

?

3 5 ?1 . 5
1 2 1 8

17. (本小题满分 12 分) (1)依题意,某队以 4:0 获胜。其概率为 P=2× ( )4 ? . ????4 分

(2)组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元,则至少打 6 场,分两种情况: (1)只打 6 场,则比赛结果应是某队以 4:2 获得胜利,其概率为

1 1 5 1 P1 ? C 2 ? C 52 ? ( ) 5 ? ? ,(2)打 7 场· ,则比赛结果应是某队以 4:3 获得胜利,其概率为 2 2 16
3 P2= C1C6 ? ( )7 ? 2

1 2

5 5 , 由于两种情况互斥,∴P=P1+P2= ,∴获利不低于 1200 万美元的概率为 8 16

5 . 8

?????8 分

(3 设组织者在本次比赛中获利ξ 万美元,则ξ 的分布列为: ξ P Eξ =800 ? 800 1000 1200 1400

1 4 1 1 5 5 ? 1000 ? ? 1200 ? ? 1400 ? ? 1162 .5 (万美元) 8 4 16 16
?????12 分

18.(本小题满分 12 分) (1)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O ,连 结 FO . 因为 四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 且 O 为 AC 中点. 又 FA ? FC ,所以 AC ? FO . 因为 FO ? BD ? O , 所以 AC ? 平面 BDEF . (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF , 所以 平面 FBC //平面 EAD . 又 FC ? 平面 FBC ,所以 FC // 平面 EAD . ??6 分 ????3 分

(Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60? ,所以△ DBF 为等边三角形.

第 5 页 共 8 页

因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD ,故 FO ? 平面 ABCD . 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AB ? 2 .因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,则 BD ? 2 , 所以 OB ? 1 , OA ? OF ? 3 . 所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) . 所以 CF ? ( 3,0, 3) , CB ? ( 3,1,0) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? CF ? 0, ? 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ? n ? CB ? 0. ?
所以 ?

? 3 x ? 3 z ? 0, ? 3 x ? y ? 0.

取 x ? 1 ,得 n ? (1,? 3,?1) .

????10 分

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) . 由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得 cos? n, v ? ?

n?v n v

?

15 . 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

15 . ????12 分 5

(本小题也可以作出二面角的平面角,直接计算出该角的余弦值) 19.(本小题满分 12 分) (1)解:由

b 2 5 a 2 ? b2 b2 ? e2 ? ? 1? 2 , 得 ? . 2 a 3 9 a a

依题意△ MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b ? 2 ,故 a ? 3 . 所 以椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 9 4

????5 分

(2)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 x 得 (4m ? 9) y ? 16my ? 20 ? 0 .
2 2

所以 y1 ? y2 ?

?16m ?20 , y1 y2 ? . 2 4m ? 9 4m 2 ? 9

若 PM 平分 ?APB ,则直线 PA , PB 的倾斜角互补,所以 k PA ? k PB ? 0 .

第 6 页 共 8 页

设 P (a, 0) ,则有

y1 y ? 2 ? 0 .将 x1 ? my1 ? 2 , x2 ? my2 ? 2 代入上式, x1 ? a x2 ? a

整理得

2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 ,所以 2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 . (my1 ? 2 ? a)(my2 ? 2 ? a)

?16m ?20 , y1 y2 ? 代入上式,整理得 (?2a ? 9) ? m ? 0 . 2 4m ? 9 4m 2 ? 9 9 由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a ? . 2 9 综上,存在定点 P ( , 0) ,使 PM 平分 ?APB . ????12 分 2
将 y1 ? y2 ? 20.(本小题满分 13 分) (1)由 f(1)=g(1),f′ (1)=g′ (1),得 b=1, a+b=2,解得 a=b=1 则 g( x )=lnx+x……2 分 因 f ( x ) 与 g ( x) 有一个公共点(1,1),而函数 f ( x ) = x 在点(1,1)的切线方程为 y=2x ? 1.下面
2

验证 f(x)≥2x ? 1 ,g(x)≤2x ? 1 都成立即可. 由 x ? 2 x ? 1≥0,得 x ≥2x ? 1,知 f( x) ≥2x ? 1 恒成立.
2

2

设 h ( x ) =lnx+x ? (2 x ? 1) ,即 h( x) =lnx ? x+1,易知其在(0,1)上递增,在 (1, ??) 上递减,所 以 h ( x ) =lnx+x ? (2 x ? 1) 的最大值为 h(1) =0,所以 lnx+x≤2x ? 1 恒成立. 故存在这样的 k 和 m,且 k=2,m= ?1 ...………6 分 (2)G′(x0)的符号为正,理由为:∵ G(x)=x2+2-alnx-bx 有两个不同的零点 x1,x2,
?x12+2-alnx1-bx1=0 ? 则有? 2 ,两式相减得 x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0. ? ?x2 +2-alnx2-bx2=0

即 x1+x2-b=

a(ln x2 ? ln x1 ) a 2a ,于是 G′(x0)=2x0- -b=(x1+x2-b)- x0 x1+x2 x2 ? x1
2(

x2 ? 1) x1 a(ln x2 ? ln x1 ) 2a a x2 2( x2 ? x1 ) a x2 = - = [ln - ]= [ln - ], x1+x2 x2-x1 x1 x2-x1 x1 x2 x2 ? x1 x1 ? x2 1? x1
2(t ? 1) x2 a ① 0<x1<x2 时,令 =t,则 t>1,且 G′(x0)= 当 [lnt- ], x1 x2-x1 1? t
故 ? (t)=lnt-

2(t ? 1) 4 (t ? 1)2 1 (t>1), ? ′(t)= - = >0,则 ? (t)在[1,+∞)上为 增 t (1 ? t ) 2 1? t t (1 ? t )2 2(t ? 1) >0,又 a>0,x2-x1>0,∴ 0)>0, G′(x 1? t

函数,而 ? (1)=0,∴? (t)>0,即 lnt-

② 0<x2<x1 时,同理可得:G′(x0)>0,综上所述:G′(x0)值的符号为正.…….13 分 当
第 7 页 共 8 页

21.解: (1)直线方程为 y ? y n ? ?

1 ( x ? xn ),因为直线过点 n?1 ( xn?1 , y n?1 ) , A xn ? 2

? y n?1 ? y n ? ?

1 1 1 1 ( xn?1 ? xn ) ? ? ?? ( xn?1 ? xn ) ? xn xn?1 ? xn ? 2 . xn ? 2 xn?1 xn xn ? 2
……………………4 分

(2)设 a n ?

1 1 ? , 由(1)得 xn ? 2 3

a n ?1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?2( ? ) ? ?2a n x n?1 ? 2 3 x n ? 2 3 xn ? 2 3 ?2 xn

又 a1 ? ?2 ? 0, 故{

1 1 ? } 是等比数列; xn ? 2 3
n

……………………8 分

(3)由(2)得 a n ? ( ?2) ? x n ? 2 ?

1 ( ?2 ) n ? 1 3
……………………10 分

? (?1) n x n ? (?1) n ? 2 ?

1 1 2 ? ( ?1) ? 3
n n

当 n 为偶数时,则

(?1) n ?1 x n ?1 ? (?1) n x n ?

1 1 2 n ? 2 n ?1 2 n ? 2 n ?1 ? n n ?1 ? n ?1 ? n 1 1 2 2 2 ?2 2 n ? 2 n ?1 ? ? 2 n ?1 ? 3 9

? (?1) x1 ? (?1) 2 x2 ? (?1)3 x3 ? ... ? (?1) n xn ?
2 3

1 1 1 1 ? 2 ? ... ? n ? 1 ? n ? 1 ; ………12 分 2 2 2 2
n n

当 n 为奇数时,则 (?1) x1 ? (?1) x2 ? (?1) x3 ? ... ? (?1) xn ? 1 ? (?1) xn 而 xn ? 2 ?

1 2n ? 1 3

? 0, 所以1 ? (?1) n x n ? 1 ? x n ? 1

?(?1) x1 ? (?1) 2 x2 ? (?1) 3 x3 ? ... ? (?1) n xn ? 1
综上所述,当 n ? N * 时, (?1) x1 ? (?1) x2 ? (?1) x3 ? ?(?1) xn ? 1成立. ………14 分
2 3 n

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