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新课标2007-2011年宁夏海南数学卷答案


2007-2011 年宁夏、海南新课标理科数学
(数列、三角函数、立体几何解答题答案)
1.(2007 宁夏) 【解析】在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?
BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s ? sin ? ? . sin ?CB

D sin(? ? ? )

在 Rt△ ABC 中,
AB ? BC tan ?ACB ? s ? tan ? sin ? . sin(? ? ? )

2.(2007 宁夏) 【解析】 (Ⅰ)证明: 由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,
2 所以 OA ? OB ? OC ? SA ,且 AO ? BC , 2
S

又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC , 且 SO ?
2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2
B

M

O
A

C

所以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一:

取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .
∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角.

由 AO ? BC,AO ? SO,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?
3 SA , 2

1

故 sin ?AMO ?

AO 2 6 . ? ? AM 3 3
3 . 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 解法二:

以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴, 建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .
, 0) , 0) 1 ,, 0, 设 B(1 0, ,则 C (?1 0,,A(0,0) S (0,1) .

? ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? ? 1 SC 的中点 M ? ? , ? , MO ? ? , ? ?, ? ? , ? ?, ? (?1 0, 1) . 0, 0, MA 1 , SC ,? 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ∴MO SC ? 0, · SC ? 0 . · MA

???? ??? ? ? 故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于
二面角 A ? SC ? B 的平面角. ???? ???? ? ???? ???? ? MO MA · 3 , cos ? MO MA ?? ???? ???? ? , ? 3 MO· MA

z
S

M

O

C
A

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 3.(2008 宁夏卷同海南)

3 . 3

x

B

y

? a1 ? d ? 1 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) Sn ? na1 ?
n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 4.(2008 宁夏卷同海南) 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .

??? ? ???? ? 则 DA ? (1 0, , CC? ? (0, . ,0) 01) ,
连结 BD , B ?D ? .
D? A?
D A B z H P

C?
B?
C y

2

在平面 BB?D?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . ???? ? 设 DH ? (m,m, m ? 0) , 1)(

???? ??? ? ? 由已知 ? DH, ?? 60? , DA
??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ??? ???? ? ? DH 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA, ?

可得 2m ? 2m2 ?1 . 解得 m ?
???? ? 2 2 ? ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , . ? 2 ? ?

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? 2 2 CC ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, ? ?? 2 , 2 1? 2

???? ???? ? ? 所以 ? DH, ? ?? 45? . CC
即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? .

???? (Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0,0) . 1,
2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? 1 2 DC ? , 因为 cos ? DH, ?? 2 2 1? 2

???? ???? ? DC 所以 ? DH, ?? 60? .
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30? . 5.(2009 海南卷同宁夏卷) 解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, 即 AB= ……5 分
AB AC ? , sin ?BCA sin ?ABC

ACsin60 ? 3 2? 6 ? , ? sin 15 20

3

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 6.(2009 海南卷同宁夏卷) (I)解法一: 取 CD 的中点 G,连接 MG,NG。 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2, 则 MG⊥CD,MG=2,NG=
2

……12 分

.

因为平面 ABCD⊥平面 DCED, 所以 MG⊥平面 DCEF, 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 平面 DCEF 所成角的正弦值 分 解法二: 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2,以 D 为坐标原点,分别以射线 DC,DF,DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则 M(1,0,2),N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2).
??? ? 又 DA =(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量,
6

,所以 sin∠MNG=

6 3

为 MN 与 ……6

???? ?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? MN ? DA 6 ? ? 可得 cos(MN , DA) ? ???? ??? ? ? 3 | MN || DA |
所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 cos
MN , DA ? 6 3

·

……6 分
……8 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF。

又 AB//CD,所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB//EN。

4

又 AB//CD//EF, 所以 EN//EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线. 7. ( 2010 年全国新课标卷) 解: (1)由已知得,当 n≥1 时, ……12 分

an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1
=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1, 而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n·22n-1 知

Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1
① 从而 22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1 ② ①-②得 1 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1.即 Sn= [(3n-1)22n+1+2]. 9 8. ( 2010 年全国新课标卷) 解:以 H 为原点,HA,HB,HP 所在直线分别为 x,y,z 轴,线段 HA 的长为单 位长,建立空间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0),B(0,1,0). (1)证明:设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0), 1 m 则 D(0,m,0),E( , ,0). 2 2

??? ? ??? ? 1 m 可得 PE =( , ,-n), BC =(m,-1,0). 2 2
? ??? ? ??? m m 因为 PE · BC = - +0=0,所以 PE⊥BC. 2 2
(2)由已知条件可得 m=- 3 ,n=1, 3

5

故 C(-

3 3 1 3 ,0,0),D(0,- ,0),E( ,- ,0),P(0,0,1). 3 3 2 6 即

???? ?n· HE =0, ? 设 n=(x,y,z)为平面 PEH 的法向量,则? ??? ? ? ?n· HP =0,

?1x- 3y=0, ?2 6 ?z=0.
因此可以取 n=(1, 3,0).
??? ? ??? ? 2 由 PA =(1,0,-1),可得|cos〈 PA ,n〉|= , 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 9.(2011 全国统一考试)

2 . 4

2 3 2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q 2 ?

1 。 9

1 由条件可知 a>0,故 q ? 。 3 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n 。 3

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

6

10. (2011 全国统一考试) 解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
uuv u uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)
AB r 设平面 PAB 的法向量为 n= (x,y,z) 则 {n??PB ?0, , n uuu ?0, uuu r

?

? ?

?



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)
uuu 设平面 PBC 的法向量为 m,则 {m??PBr ?0, m BC ? 0, uur u

可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?
2 7 7

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

7


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