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广东省广州市五校联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)


广东省广州市五校联考 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项正 确) 1. (5 分)设集合 M={x|﹣ <x< },N={x|x ≤x},则 M∩N=() A. 2. (5 分)2cos A.
2 2

C. ﹣1=() B.

﹣ C.
n+2 *

D.﹣

3. (5 分)已知等比 数列{an}的通项公式为 an=3 A. B. 9

(n∈N ) ,则该数列的公比是() D.3

C.

4. (5 分)“a<b”是“log2a<log2b”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则此几何体的表面积是()

A.
2 2

B.21cm

2

C.
2 2

D.24cm

2

6. (5 分)圆 x +y ﹣8x﹣4y+11=0 与圆 x +y +2y﹣3=0 的位置关系为() A.相交 B.外切 C.内切 D.外离

7. (5 分)下列有关命题的叙述错误的是() A.对于命题 P:?x∈R,x +x﹣1<0,则¬P 为:?x∈R,x +x﹣1≥0 B. 若“P 且 Q”为假命题,则 P,Q 均为假命题 2 C. “x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 2 2 D.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”
2 2

8. (5 分)若实数 x,y 满足不等式组

,则 y﹣x 的最大值为()

A.1

B. 0

C.﹣1

D.﹣3

9. (5 分)如图,在铁路建设中,需要确定隧道两端的距离(单位:百米) ,已测得隧道两 端点 A,B 到某一点 C 的距离分别为 5 和 8,∠ACB=60°,则 A,B 之间的距离为()

A.7

B.10

C. 6

D.8

10. (5 分)阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为()

A.0

B.

C.

D.

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷相应位置.) 11. (5 分) 如图所示, 向量 , , 在由单位长度为 1 的正方形组成的网格中, 则 ? ( =. )

12. (5 分)双曲线

的两条渐近线方程为.

13. (5 分)设 sin2α=﹣sinα,α∈(

,π) ,则 tan2α 的值是.

14. (5 分)已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5.若存在两项 am,an 使得 + 的最小值为.

=2a1,则

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤). 15. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB= (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 b,c 的值. 16. (13 分)对某校 2015 届高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生 作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表 如下,频率分布直方图如图: 分组 频数 频率

17. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2an,cn= ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,求 Tn.

18. (14 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, BC=2AD=2AB=2 △ ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图 2. (Ⅰ)求证:CD⊥AB; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离;

, ∠ABC=90°, 如图 1. 把

(Ⅲ) 在线段 BC 上是否存在点 N, 使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°?若存在, 求出 值;若不存在,说明理由.



19. (14 分)设动点 P(x,y) (y≥0)到定点 F(0,1)的距离比它到 x 轴的距离大 1,记 点 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设圆 M 过 A(0,2) ,且圆心 M 在曲线 C 上,EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦,试探 究当 M 运动时,弦长|EG|是否为定值?为什么?

20. (14 分)设函数 f(x)=x|2x﹣a|,g(x)=

,a>0

(1)当 a=8 时,求 f(x)在区间上的值域; (2)若?t∈,?xi∈(i=1,2)且 x1≠x2,使 f(xi)=g(t) ,求实数 a 的取值范围.

广东省广州市五校联考 2014-2015 学年高二上学期期末 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项正 确)

1. (5 分)设集合 M={x|﹣ <x< },N={x|x ≤x},则 M∩N=() A. C.

2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解一元二次不等式求得 N,再根据两个集合的交集的定义求得 M∩N. 解答: 解:集合 M={x|﹣ <x< },N={x|x ≤x}={x|0≤x≤1}, 则 M∩N={x|0≤x< }, 故选:A. 点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法, 两个集合的交集的定义和求法, 属于基础题.
2 2

2. (5 分)2cos A.

﹣1=() B. ﹣ C. D.﹣

考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用二倍角的余弦公式计算求得结果. 解答: 解:2cos
2

﹣1=cos(2×

)=



故选:C. 点评: 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. 3. (5 分)已知等比数列{an}的通项公式为 an=3 A. B. 9
n+2

(n∈N ) ,则该数列的公比是() D.3

*

C.

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 利用等比数列的通项公式求解. n+2 * 解:∵等比数列{an}的通项公式为 an=3 (n∈N ) , = =3.

∴该数列的公比 q=

故选:D. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题. 4. (5 分)“a<b”是“log2a<log2b”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:∵log2a<log2b, ∴0<a<b, ∴“a<b”是“log2a<log2b”的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用对数的基本运算性质是解决本题的 关键,比较基础. 5. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则此几何体的表面积是()

A.

B.21cm

2

C.

D.24cm

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的组合体是下部是正方体,上部是四棱锥,根据三视图数据,求出表面 积即可. 解答: 解:三视图复原的组合体是下部是棱长为 2 的正方体,上部是底面边长问 的正方 形,高为 1 的四棱锥, 组合体的表面积为: =

故选 A. 点评: 本题考查由三视图求表面积,考查计算能力,空间想象能力,是基础题. 6. (5 分)圆 x +y ﹣8x﹣4y+11=0 与圆 x +y +2y﹣3=0 的位置关系为() A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆.
2 2 2 2

分析: 把圆的方程化为一般形式, 求出圆心和半径, 再根据两圆的圆心距等于两圆的半径 之和,可得两圆相外切. 解答: 解:圆 x +y ﹣8x﹣4y+11=0 即 (x﹣4) +(y﹣2) =9,表示以 A(4,2)为圆 心、半径等于 3 的圆; 2 2 2 2 圆 x +y +2y﹣3=0,即 x +(y+1) =4,表示以 B(0,﹣1)为圆心、半径等于 2 的圆. 由于圆心距 AB= =5,正好等于半径之和,故两圆相外切, 故选:B. 点评: 本题主要考查圆的一般方程,两圆的位置关系的判定方法,属于基础题. 7. (5 分)下列有关命题的叙述错误的是() 2 2 A.对于命题 P:?x∈R,x +x﹣1<0,则¬P 为:?x∈R,x +x﹣1≥0 B. 若“P 且 Q”为假命题,则 P,Q 均为假命题 C. “x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 2 2 D.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 通过命题的否定判断 A 的正误;利用复合命题的真假判断 B 的正误;利用充要条 件判断 C 的正误;四种命题的逆否关系判断 D 的正误. 解答: 解:对于 A,满足全称命题与特称命题的否定关系,所以 A 正确; 对于 B,若“P 且 Q”为假命题,则 P,Q 一个是假命题就是假命题.不一定均为假命题,所 以 B 不正确; 对于 C,“x>2”可得“x ﹣3x+2>0”,所以“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件,是 C 正确; 对于 D,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”,满足逆否命 题的关系. 故选 B. 点评: 本题考查命题的真假的判断与应用, 考查全称命题与特称命题的否定关系, 复合命 题的真假充要条件的判断,四种命题的逆否关系,基本知识的考查.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

8. (5 分)若实数 x,y 满足不等式组

,则 y﹣x 的最大值为()

A.1

B. 0

C.﹣1

D.﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,

再利用目标函数的几何意义,分析后易得目标函数 z=y﹣x 的最大值.

解答: 解:约束条件

的可行域如下图示:



,可得

,A(1,1) ,要求目标函数 z=y﹣x 的最大值,就是 z=y﹣x

经过 A(1,1)时目标函数的截距最大,最大值为:0. 故选:B.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可 行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优 解. 9. (5 分)如图,在铁路建设中,需要确定隧道两端的距离(单位:百米) ,已测得隧道两 端点 A,B 到某一点 C 的距离分别为 5 和 8,∠ACB=60°,则 A,B 之间的距离为()

A.7

B.10

C. 6

D.8

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: 由余弦定理和已知边和角求得 AB 的长度. 解答: 解:由余弦定理知 AB= = =7,

所以 A,B 之间的距离为 7 百米. 故选:A. 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.已知两边和一个角,求边常用余弦定理来解决. 10. (5 分)阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为()

A.0

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 首先判断框图为“当型”循环结构,然后判 断循环体并进行循环运算.判断出规律, 最后判断出最后的输出结果. 解答: 解:本框图为“当型”循环结构, 当满足 n≤2010 时, 执行循环体:s=s+sin 根据 s=0,n=1 第 1 次循环:s=0+sin 第 2 次循环:s= 第 3 次循环:s= 第 4 次循环:s= 第 5 次循环:s= + +0= +(﹣ +2(﹣ )= )=0 = =

第 6 次循环:s=0+0=0 第 7 次循环:s= … 当 n 为 6 的倍数时,s 的值为 0 n=2014 时,除 6 余 4,故此时 s= n=2015 时,s=0, n=2016 时,退出循环, 故选:A.

点评: 本题考查循环结构,通过进行运算找到循环体的规律,然后对程序进行运算,求输 出结果,本题为基础题. 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷相应位置.) 11. (5 分) 如图所示, 向量 , , 在由单位长度为 1 的正方形组成的网格中, 则 ? ( =3. )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用已知条件求出相关向量,然后求解数量积即可. 解答: 解:由题意可得:向量 =(1,3) , =(2,﹣2) , =(﹣2,3) . ∴ =(0,1) . )=0+3=3.

∴ ?(

故答案为:3. 点评: 本题考查平面向量的坐标运算,数量积的求解,考查计算能力.

12. (5 分)双曲线

的两条渐近线方程为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定双曲线的焦点所在坐标轴, 再确定双曲线的实轴长和虚轴长, 最后确定双曲 线的渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线 的 a=4,b=3,焦点在 x 轴上

而双曲线

的渐近线方程为 y=± x

∴双曲线 故答案为:

的渐近线方程为

点评: 本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程, 解题时要注意先定位,再定量的解题思想 13. (5 分)设 sin2α=﹣sinα,α∈(

,π) ,则 tan2α 的值是



考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正切. 专题: 压轴题;三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据 sinα 不为 0 求出 cosα 的值, 由 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,进而求出 tanα 的值,所求式 子利用二倍角的正切函数公式化简后,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵sin2α=2s inαcosα=﹣sinα,α∈( ∴cosα=﹣ ,sinα= ∴tanα=﹣ 则 tan2α= , = = . = , ,π) ,

故答案为: 点评: 此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练 掌握公式是解本题的关键. 14. (5 分)已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5.若存在两项 am,an 使得 + 的最小值为 4. =2a1,则

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可得 q=2,m+n=4, 从而 + = ( + ) (m+n)= (10+ + 由基本不等式可得. 解答: 解:设正项等比数列{an}的公比为 q,则 q>0 2 ∵a7=a6+2a5,∴a5q =a5q+2a5, 2 ∴q ﹣q﹣2=0,解得 q=2, ∵存在两项 am,an 使得 ∴a1q
m﹣1

) ,

=2a1,

?a1q

n﹣1

=4a1 ,代入 q=2 解得 m+n=4,

2

∴ + = ( + ) (m+n) = (10+ + )≥ (10+2 )=4,

当且仅当 =

即 m=1 且 n=3 时取等号,

故 + 的最小值为:4 故答案为:4 点评: 本题考 查等比数列的性质,设基本不等式求最值,属基础题. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤). 15. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB= (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 b,c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (Ⅰ)先求出 sinB= ,再利用正弦定理求 sinA 的值; (Ⅱ)由△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 c 的值,利用余弦定理求 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵cosB= ∴sinB= , ∵a=2,b=4, ∴sinA= = = ;

(Ⅱ)S△ ABC=4= ×2c× ,∴c=5, ∴b= = .

点评: 本题考查正弦定理、 余弦定理的运用, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 16. (13 分)对某校 2015 届高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生 作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表 如下,频率分布直方图如图: 分组 频数 频率 设在区间 分析: (Ⅰ)先证明 CD⊥BD,利用平面 ABD⊥平面 BCD,可得 CD⊥平面 ABD,利用 线面垂直的性质可得 CD⊥AB; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 ACD 的一个法向量为 求点 M 到平面 ACD 的距离; ,进而可

(Ⅲ)假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°,设 ,可得 ,利用向量的夹角公式,建

立方程,即可求得结论. 解答: (Ⅰ)证明:由已知条件可得 BD=2,CD=2,CD⊥BD.…(2 分) ∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD. ∴CD⊥平面 ABD.…(3 分) 又∵AB?平面 ABD,∴CD⊥AB.…(4 分) (Ⅱ)解:以点 D 为原点,BD 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴,建立空间直角 坐标系,如图.由已知可得 A(1,0,1) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,D(0,0,0) ,M (1,1,0) . ∴ 设平面 ACD 的法向量为 令 x=1,得平面 ACD 的一个法向量为 ,则 , .…(6 分) ,∴

∴点 M 到平面 ACD 的距离

.…(8 分)

(Ⅲ)解:假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°.…(9 分) 设 ∴ 又∵平面 ACD 的法向量 ,则 N(2﹣2λ,2λ,0) , , 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60°,

∴ 可得 8λ +2λ﹣1=0, ∴ (舍去) .
2

,…(11 分)

综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60°,此时

.…(13 分)

点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查空间想象 能力、推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想. 19. (14 分)设动点 P(x,y) (y≥0)到定点 F(0,1)的距离比它到 x 轴的距离大 1,记 点 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设圆 M 过 A(0,2) ,且圆心 M 在曲线 C 上,EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦,试探 究当 M 运动时,弦长|EG|是否为定值?为什么?

考点: 直线和圆的方程的应用;轨迹方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)由题意知,P 的轨迹满足抛物线的定义,故可求出抛物线的焦点,继而求出 抛物线方程. (Ⅱ)待定系数法设出圆的方程,设出圆与 x 轴的两个焦点 E,G 的坐标,再根据圆心在抛 物线上,将圆心坐标代入抛物线,两个式子联立可求出 x1﹣x2 是否为定值. 解答: 解: (Ⅰ)依题意知,动点 P 到定点 F(0,1)的距离等于 P 到直线 y=﹣1 的距离, 曲线 C 是以原点为顶点,F(0,1)为焦点的抛物线 ∵ ∴p=2 ∴曲线 C 方程是 x =4y (Ⅱ)设圆的圆心为 M(a,b) , ∵圆 M 过 A(0,2) , 2 2 2 2 ∴圆的方程为 (x﹣a) +(y﹣b) =a +(b﹣2) 2 令 y=0 得:x ﹣2ax+4b﹣4=0 设圆与 x 轴的两交点分别为(x1,0) , (x2,0) 不妨设 x1>x2,由求根公式得 ,
2

∴ 又∵点 M(a,b)在抛物线 x =4y 上, 2 ∴a =4b,
2





即|EG|=4 ∴当 M 运动时,弦长|EG|为定值 4 点评: 本题考查圆与抛物线相交关系的应用,考查了圆的定义,抛物线的定义,以及点的 轨迹方程的求法,属于难题.

20. (14 分)设函数 f(x)=x|2x﹣a|,g(x)= (1)当 a=8 时,求 f(x)在区间上的值域;

,a>0

(2)若?t∈,?xi∈(i=1,2)且 x1≠x2,使 f(xi)=g(t) ,求实数 a 的取值范围. 考点: 分段函数的应用;函数的值域. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)写出分段函数,确定函数的单调性,即可求 f(x)在区间上的值域; (2)先确定 6<a<10 或 12<a<20,再分类讨论,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=8 时,f(x)=x|2x﹣a|= ∴函数 f(x)在上递减,在上递增, ∵f(3)=6,f(4)=0,f(5)=10, ∴f(x)在区间上的值域为; ,

(2)f(x)=x|2x﹣a|=

∵a>0, ∴f(x)在(﹣∞, ]上递增,在上递减,在上递减,在上递增,g(x)= 由题意得?t∈,关于 x 的方程 f(x)=g(t)在上至少有两个不同的解等价于 g(3) ,g(5)]?(f( ) ,min{f(3) ,f(5)}, 在上递增,





,解得



②12<a<20 时,g(3)=

<0,而 x∈,f(x)≥0,方程 f(x)=g(3)无解.

综上,实数 a 的取值范围为



点评: 本题考查分段函数,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析 解决问题的能力,难度大.


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