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2015-2016学年江苏省泰兴中学高一上学期期中考试数学试题


江苏省泰兴中学 2015~2016 学年度第一学期期中考试 高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.设集合 A ? ?3, m? , B ? ?3m,3? ,且 A ? B ,则实数 m 的值是 2. 已知函数 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ,则 f (1) ?

3. 函数 . . .

f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 的减区间为 (??, 4] ,则 a ?

4.函数 f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域为_________. 5.函数 f ? x ? = x ? 1 ? 2 x 的值域为
x

. .

6.将指数函数 y ? 2 的图像向右平移 2 个单位长度后,得到函数 y ? f ?x ? 的图像,则 f ?x ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 7.函数 f ?x ? ? ? 1 ,且 f (1) ? f (a) ? ?2 ,则 a 的取值集合为 , x ? 0 ? ?x
8.计算: lg 4 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 5) ?
2





9. 已知函数 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的函数, f ? 2? ? 0 ,且当 0 ? x1 ? x2 时有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则不等式 f ? x ? ? 0 的解集是 x1 ? x2

. . . .

10.若函数 y ? log2 x 在区间 ?0, a ? 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 11.若函数

y ? x2 ? 4 x

的定义域为

[?4, a],

值域为

[?4,32],

则实数 的取值范围为

a

12.已知函数 f ( x) ? a log2 x ? b log3 x ? 2 ,若 f (

1 ) ? 4 ,则 f (2016) 的值为 2016

?x+4,x<a, 13.已知函数 f (x)=? 2 ,若函数 f (x)的值域为 R,则实数 a 的取值范围 ?x -2x,x≥a





2 14.函数 f ( x) ? ax ? 2014x ? 2015 ? a ? 0? ,在区间 ?t ?1, t ? 1? ? t ? R ? 上函数 f ( x) 的

最大值为 M ,最小值为 N .当 t 取任意实数时, M ? N 的最小值为 1,则 a ? _________.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 ....... 或演算步骤.
页 1第

15.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {1,3, x 2} , B ? {1,2 ? x} ,且 B ? A . (1)求实数 x 的值; (2)若 B ∪ C ? A ,且集合 C 中有两个元素,求集合 C .

16.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围. ...

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1. (1) 请在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象; (2) 根据函数 y ? f ( x ) 的图象回答下列问题: ① 求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; ② 求函数 y ? f ( x ) 的值域;



2第

③ 求关于 x 的方程 f ( x ) ? 2 在区间 [0,2] 上解的个数. (回答上述 3 个小题都只需直接写出结果 ,不需给出演算步骤) ...... y

1 O 1 x

18.(本题满分 16 分) 某厂生产某种产品 x (百台),总成本为 C ? x ? (万元),其中固定成本为 2 万元, 每生产 1 百台,成本

1 2 1 ? ?4 x ? x ? , 0 ? x ? 4, 增加 1 万元,销售收入 R ? x ? ? ? (万元),假定该产品产销平衡. 2 2 ? x ? 4. ?7.5,
(1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内? (2)该厂年产多少台时,可使利润最大? (3)求该厂利润最大时产品的售价.

19.(本小题满分 16 分) 设函数

f ?x ? ?

? 2x ? a ?a ? 0, b ? 0? . 2 x ?1 ? b
时,证明:函数

(1)当

a?b?2

f ?x ?
b

不是奇函数;

(2)设函数

f ?x ?

是奇函数,求 与 的值;

a

(3)在(2)的条件下,判断并用定义证明函数 f ? x ? 的单调性,再求不等式 f ? x ? ? ?

1 的解集. 6



3第

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a , g ( x) ? ax,(a ? R) . (1)若 a ? 1 ,求方程 f ( x) ? g ( x) 的解; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有两解,求出实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 0 ,记 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,试求函数 y ? F ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值.



4第

江苏省泰兴中学 2015~2016 学年度第一学期期中考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.0 5. 2.4 6. 2
x ?2

3. ?3 7.

4. (0, 6] 8.2 12. 0

? 2, ???

?? 1,1?

9. (0, 2) 13.-5≤a≤4.

10. ?0,1? 14.1

11.

? 2,8?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 ....... 或演算步骤.
2 15.解:(1) ? B ? A ? 2 ? x ? 3 或 2 ? x ? x ………………………2 分

则 x ? ?1 或 x ? 1 或 x ? ?2, 又当 x ? ?1 或 x ? 1 时, x ? 1 ? x ? ?2 …………………7 分
2

(2)由(1)知 A ? {1,3, 4}, B ? {1, 4} ,………………………9 分 ∵ B ∪C ? A , ∴3? C 又集合 C 中有两个元素则 C ? {1,3} 或 C ? {3, 4} ……………14 分

16.解(1)由已知,设 f ( x) ? a( x ?1)2 ? 1 ,由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 , 故 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 3 ………………………………………………………7 分 (2)要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1 ,则 0 ? a ?

1 ……………………14 分. 2

17.解:(1)作图要规范:每条线上必须标明至少两个点的坐标,不在 坐标轴上的点要用虚线标明对应的坐标值 (有一条直线没有标明点的 坐标扣 分 ,两条都没标扣 分 ) …5 分 .1 . . .2 . .



5第

(2)①函数 f ( x) 的单调递增区间为 [1, ??) ;…7 分 函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,1] ;……9 分 ②函数 f ( x) 的值域为 [0, ??) …………11 分 …………14 分

③方程 f ( x) ? 2 在区间 [0, 2] 上解的个数为 1 个

18.解:由题意得,成本函数为 C ? x ? ? 2 ? x , 从而利润函数

?3 x ? 0.5 x 2 ? 2.5, 0 ? x ? 4, L ? x? ? R ? x? ? C ? x? ? ? ……………………2 分 x ? 4. ?5.5 ? x,
(1)要使不亏本,只要 L ? x ? ? 0 ,
2 当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 3x ? 0.5x ? 2.5 ? 0 ?1 ? x ? 4 ,

当 x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 5.5 ? x ? 0 ? 4 ? x ? 5.5 ,

综上, 1 ? x ? 5.5 ,

答:若要该厂不亏本,产量 x 应控制在 100 台到 550 台之间…………6 分 (2)当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? ?0.5 ? x ? 3? ? 2 ,
2

故当 x ? 2 时, L ? x ?max ? 2 (万元)

当 x ? 4 时, L ? x ? ? 1.5 ? 2 ,

综上,当年产 300 台时,可使利润最大…………………12 分 (3)由(2)知 x ? 3 ,时,利润最大,此时的售价为

P?

R ? 3? ? 2 . 3 (万元 3 /百台)=233 元/台…………16 分 3

19.解:(1)当 a ? b ? 2 时, f ? x ? ? 所以 f ?? 1? ?

? 2x ? 2 2 x ?1 ? 2

1 , f ?1? ? 0 ,所以 f ?? 1? ? ? f ?1? , 2

所以函数 f ? x ? 不是奇函数. ………………………………………………………………5 分 (2)由函数 f ? x ? 是奇函数,得 f ?? x ? ? ? f ? x ? ,




? 2?x ? a ? 2x ? a 对定义域内任意实数 x 都成立,化简整理得 ? ? 2 ? x ?1 ? b 2 x ?1 ? b
6第

?2a ? b ? ? 2 2 x ? ?2ab ? 4? ? 2 x ? ?2a ? b ? ? 0 对定义域内任意实数 x 都成立
所以 ?

?2 a ? b ? 0 ?a ? ?1 ?a ? 1 ,所以 ? 或? ?2ab ? 4 ? 0 ?b ? ?2 ?b ? 2

经检验 ?

?a ? 1 符合题意. ……10 分 ?b ? 2

(3)由(2)可知 f ? x ? ?

? 2x ?1 1 ? 2 ? ? ??1? x ? x ?1 2 ?2 2? 2 ?1?

易判断 f ? x ? 为 R 上的减函数,证明略(定义法) 由 f ?1? ? ?

1 1 ,不等式 f ? x ? ? ? 即为 f ? x ? ? f ?1? ,由 f ? x ? 在 R 上的减函数可得 x ? 1 . 6 6

另解:由 f ? x ? ? ?

1? 2 ? 1 1 得,即 ? ? 1 ? x ? ? ? ,解得 2 x ? 2 ,所以 x ? 1 . 2? 6 2 ?1? 6

(注:若没有证明 f ? x ? 的单调性,直接解不等式,正确的给 3 分)………………16 分

20.解:(1)

1 ………………………………………………………………3 分 2

(2) x ? a ? ax 有两解, 即 x ? a ? ax 和 a ? x ? ax 各有一解分别为 x ? 若 a ? 0 ,则

a a ,和 x ? , 1? a 1? a

a a ?0且 ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ; 1? a 1? a a a 若 a ? 0 ,则 ?0且 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 ; 1? a 1? a
若 a ? 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) .………………………8 分 (3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ①当 0 ? a ≤ 1 时,则 F ( x) ? a( x2 ? ax) , 对称轴 x ?

a ? 1? ? ? 0, ? ,函数在 ?1,2? 上是增函数, 2 ? 2?

所以此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 4a ? 2a 2 .
a( x 2 ? ax),1 ? x ≤ a ,对称轴 a ?1 ? ②当 1 ? a ≤ 2 时, F ( x) ? ?? x ? ? ,1 , ?
2 ? a( x ? ax), a ? x ≤ 2

? ? 2 ?2 ?

所以函数 y ? F ( x) 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a, 2? 上是增函数,

F (1) ? a 2 ? a , F (2) ? 4a ? 2a2 ,
页 7第

1)若 F (1) ? F (2) ,即 1 ? a ?

5 ,此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 4a ? 2a 2 ; 3

2)若 F (1) ≥ F (2) ,即 ≤ a ≤ 2 ,此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 a 2 ? a . ③当 2 ? a ≤ 4 时, F ( x) ? ?a( x 2 ? ax) 对称轴 x ?

5 3

a ? ?1,2? , 2

a a3 此时 F ( x) max ? F ( ) ? , 2 4
④当 a ? 4 时,对称轴 x ?

a ? ? 2, ?? ? ,此时 F ( x)max ? F (2) ? 2a2 ? 4a 2

综上可知,函数 y ? F ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值
5 ? 2 ? 4a ? 2a , 0 ? a ? 3 , ? ? a 2 ? a, 5 ≤ a ≤ 2, ………………………………………………………………16 ? 3 ?? ? a3 2 ? a ≤ 4, ? , ?4 2 ? ? 2a ? 4a, a ? 4.



[ F ( x)]max



8第



9第


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