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四川省南充高中2013届高三上学期第六次月考数学试题(理)


四川省南充高中 2013 届高三上学期第六次月考

数 学 试 卷(理科)
命、审题人:李思健
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6?, 设集合P ? ?1, 2,3, 4?,集合Q ? ?3, 4, ,则P ? (CU Q) ? ( 5? A. ?1,2,3,4,6? B. ?1,2,3,4,5? C. ?1, 2,5? D. ?1, 2? ) )

郭登攀

2.命题“设 a, b, c ? R , 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

3.若复数 z ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? A. -7 B. ?

? ?

3? ? 5? ?

4? ?? ? ? i 是纯虚数,则 tan ? ? ? ? 的值为( 5? 4? ?
C. 7

1 7

D. ?7 或 ?

1 7

4.函数 y ? a x?3 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 则 3m ? n 的最小值为( A. 13 A. a ? b ? 2cd C. | a ? b |? 2cd ) C. 11? 6 2 B. a ? b ? 2cd D. | a ? b |? 2cd

x y ? ? ?1 上,且 m, n ? 0 , m n
D. 28. )

B. 16

5.设 a, b, c, d ? R ,若 a,1, b 成等比数列,且 c,1, d 成等差数列,则下列不等式恒成立的是(

6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为( A. C. ) B. D.

?4 ? ? ?
3

3

?4 ? ? ?
?8 ? ? ?
6

3
3

?8 ? ? ?
2

3

7 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 对 任 意 x 都 有 f ( x)? f ( ? x, 且 其 导 函 数 f ' (x )满 足 4 )

( x ? 2 )f ' x ?) ,则当 2 ? a ? 4 时,有( ( 0
A. f (2a ) ? f (2) ? f (log2 a) C. f (2) ? f (2a ) ? f (log2 a)

) B. f (2) ? f (log2 a) ? f (2a ) D. f (log2 a) ? f (2a ) ? f (2)

8.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S15 ? 0,
·1·

S16 ? 0 ,则 S1 , S2 ,? ,
a1 a2

S15 a15

中最大的项为(



S7 S S C. 8 D. 9 a7 a8 a9 9.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是(
A. B.

S6 a6



10.直线与函数 y ? sin x x ? ? 0, ? ? 的图象相切于点 A ,且 l // OP ,其中 O 为坐标原点,

A

?

?

B

C

D

P 为图象的极大值点,则点 A 的纵坐标是(
A.

) C.

2

2 f ( x) ? a x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , 11.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足 g ( x)

?

B.

1 2

?2 ?4

D.

?2 ?4 ?

? f ( n) ? 31 f (1) f (?1) 5 ? ? ,若有穷数列 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于( ) 32 g (1) g (?1) 2 ? g ( n) ?
A.4 12.已知函数 f ( x) ? B.5 C.6 D. 7

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c(a, b, c ? R) 在区间 ? 0,1? 内取得极大值,在区间 ?1, 2 ? 内 3 2

2 2 取得极小值,则 ( a ? 3) ? b 的取值范围为( )

A. ?

? 2 ? ? 2 ,2? ? ? ?

B. ?

?1 ? ,4? ?2 ?

C. (1,2)

D. (1,4)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 ,

2S2 , 3S3 成等差数列,则公比 q 等于



14.下图是棱长均为 2 的正四棱锥的侧面展开图,M 是 PA 的中点,则在正四棱锥中,PE 与 FM 所 成角的正切值为 . 15.已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 3 ? xy ,若对任意满足 P 2 E F 条件的 x, y 都有 ( x ? y) ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 . · M 16.已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数 ? x ? R? , D A
·2·

如: ??1.3? ? ?2,

定义 ?x? ? x ? ? x? .给出如下命题:

?0.8? ? 0, ?3.4? ? 3 .

① 使 [ ?] 3 x 1? 成立的 x 的取值范围是 4 ? x ? 5 ; ② 函数 y ? ?x? 的定义域为 R ,值域为 ?0,1? ;
2 3 ? 20122012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ③ ? ??? ??? ? ??? ? ? ? 1006; ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ?

④ 设函数 f ? x ? ? ?

?? x? x ? 0 1 1 ? ,则函数 y ? f ? x ? ? x ? 的不同零点有 3 个. 4 4 ? f ? x ? 1? x ? 0 ?

2

其中正确的命题的序号是 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.

17. (12 分)已知 A, B 是直线 y ? 0 与函数 f ( x) ? 2 cos 个相邻交点,且 | AB |? (1)求 ? 的值;

?x

?
2

? cos(? x ? ) ? 1 (? ? 0) 图像的两 2 3

?

. 3 2

(2)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? ? ,

c ? 3, ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a 的值.
A1 A

18. (12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点, A A ? AB ? 2 , 1

D B1

BC ? 3 .
(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ; (2)求四棱锥 B ? AAC1D 的体积. 1
C1

B

C

19. (12 分)已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60 ,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 ?
*

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

20. (12 分)今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重大节假日,10 月 3 日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重庆游玩.该车队是由 31 辆车
·3·

身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该 隧道的车速不能超过 25m/s) .匀速通过该隧道,设车队的速度为 x m/s .根据安全和车流的需 要,当 0 ? x ? 12 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当 12 ? x ? 25 时,相邻两车之间保持

1 1 ( x 2 ? x ) m 的距离. 自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y (s) . 6 3 (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.

??? ? ???? ? ? 2 ?n ? 21 .( 12 分 ) 向 量 OA ? ? ? , 5 , OBn ? ? n ? ? ? ? ?3? ? ??? ????? 2 ? ??? ???? ? ? an ? OA ? OBn , bm ? OA ? OCm , ? ? 0 .
(1)当 ? ? 1 时,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (2)对任意的 n, m ? N ? ,总有 bm ? an ?

? , ?0 ? N ? ? ? n ? ?

????? OCm ? ? m ?0 m ? N ? ? , , ?,

1 成立,求 ? 的取值范围. 9

22. (14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x 1 (1)若函数 f ( x ) 在区间 ( a, a ? )( a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; 3 k (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
(3)求证: ?(n ? 1)!? ? (n ? 1)e
2 n ? 2? 2 n ?1

. n ? N , e 为自然对数的底数) (

?

高三上第六次月考数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

题号 答案

1 D

2 B

3 A

4 B

5 D

6 D

7 B

8 C

9 C

10 D

11 B

12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

13.

1 3

14. 2

37 15. ? ? ?, ? ? ? ? 6?

16.①③④

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.解: (1) f ( x) ? cos wx ?

1 3 3 3 ? cos wx ? sin wx ? cos wx ? sin wx ? ? 3 sin(wx ? ) 2 2 2 2 3

·4·

2? ? ? 2 ? ,解得 w ? 2 ……5 分 2 w 2 ? 3 ? 3 (2)? f ( A) ? ? 3 sin(2 A ? ) ? ? , ?sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2 又?? ABC 是锐角三角形, ? ? 2? ? ? ? ? ? 2A ? ? , 2 A ? ? ,即A= ? ……………8 分 3 3 3 3 3 3 1 3b 3 由 S? ABC ? bc sin A ? ? ? 3 3,得b=4 2 2 2
由函数的图象及 AB ?

?

,得到函数的周期 T ?

由余弦定理得

1 ? 13,即a ? 13 …………12 分 2 18.(1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. A1 ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 42 ? 32 ? 2 ? 4 ? 3 ?
∴ OD / / AB1 . ∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴ AB1 / / 平面 BC1D . ∴ 平面 ABC ? 平面 AAC1C , 1 且平面 ABC ? 平面 AAC1C ? AC . 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AAC1C , 1 ∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 , 在 Rt△ ABC 中, AC ?
C1 D

A

E

……… 6 分
B1 B

(2) ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC1C , 1

O C

AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 ? , AC 13

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 1

19.解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ), 则?

1 1 1 3 6 ? 3 ………12 分 V ? ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE ? ? 13 ? 2 ? 3 2 6 2 13

?6a1 ? 15d ? 60, ? 2 ?a1 ? a1 ? 20d ? ? ? a1 ? 5d ? , ?

解得 ?

(2)由 bn?1 ? bn ? an ,

* ∴ bn ? bn?1 ? an?1 n ? 2, n ? N ,

?

?d ? 2, ?a1 ? 5,

∴ an ? 2n ? 3 .……………5 分

?

bn ? ?bn ? bn?1 ? ? ?bn?1 ? bn?2 ? ??? ?b2 ? b1 ? ? b1
? an?1 ? an?2 ? ? ? a1 ? b1 ? ? n ?1?? n ?1? 4? ? 3 ? n ? n ? 2? .
* ∴ bn ? n ? n ? 2? n ? N .

?

?

……………………8 分



1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?
·5·

1? 1 1 1 1 1 ? 1?3 1 1 ? 3n2 ? 5n .12 分 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? (31 ? 1) 3480 ? 20.(1)解:当 0 ? x ? 12 时, y ? x x 当 12 ? x ? 25 时, 1 1 2725 ? 5 ? 31 ? ( x 2 ? x) ? (31 ? 1) 5 x 2 ? 10 x ? 2880 2880 6 3 ? ? 5x ? ? 10 y? x x x 3480 ? (0 ? x ? 12) ? x 所以, y ? ? ………6 分 2880 ?5 x ? ? 10 (12 ? x ? 25) x ? 3480 ? 290 ( s ) (2)当 0 ? x ? 12 时,在 x ? 12 (m/s)时, ymin ? 12 2880 2880 当 12 ? x ? 25 时, y ? 5 x ? ? 10 ? 2 5x ? ? 10 ? 250( s) x x 2880 当且仅当 5 x ? ,即 x ? 24 (m/s)时取等号。 x 因为 x ? 24 ? (12,25] ,所以 当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s) 因为 290 ? 250 ,所以当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s) 答:该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s. ……………12 分 n ??? ???? ? ? ?2? 21.解 ⑴当 ? ? 1 时, an ? OA ? OBn ? n ? ? , ? n ? N ? ? 。则 ?3?

2 ? Sn ? ? 2 ? ? 3 ?


2? 2 ? 2 ? ?? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? ? 3? ? 3 ? ? 3 ?
2 3 4

2

3

n? 1

2 ? ? ? n? ? 3 ? ?
n n ?1

n

2 Sn ? 3

?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? n ? ? ?3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
n ?1 n ?1

两式相减得

2 ?2? ?? ? 2 3 n n ?1 1 2 ?2? ?2? 3 ?3? ?2? ?2? Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 3 3 ?3? ?3? ?3? ?3? 1? 3

?2? ? n? ? ?3?

? 2? ? 2 ? ?3 ? n? ? ? ? 3?

n ?1

所 以

?2? ……………………6 分 Sn ? 6 ? ? 9 n3 ? ? 。 ? ? ?3? ??? ????? 2 ? 2 2 ? ⑵ bm ? OA ? OCm ? ? ? ? m ? 5? , ? ? ? 0, m ? N ? ,
当 m ? 5时, m ?min ? ? ,…………8 分 ?b
2
n ??? ???? ? ? ?2? an ? OA ? OBn ? ? n ? ? , ? ? ? 0, n ? N ? ? ?3?

n ?1

·6·

?2? ? ? n ? 1? ? ? a ?3? 由 n ?1 ? n an ?2? ?n ? ? ?3?

n ?1

?

2 ? n ? 1? ? 1 ? n ? 2 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?? 3n
………………10 分

故有 ? an ?max ? a2 ? a3 ?

8? , ? ? ? 0? 9

1 成立, 9 1 8 1 1 2 则 ? bm ?min ? ? an ?max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或? ? 1 9 9 9 9 因为 ? ? 0 ,所以 ? 的取值范围为 ?1 +? ? 。……………………12 分 ,
对任意的 n, m ? N ? ,总有 bm ? an ?

1 ? x ? ?1 ? ln x ? ?1 ln x 22、 (1)函数 f ( x ) 定义域为 ? 0,??? , f ' ? x ? ? x ?? 2 , 2 x x 由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? 1,当 0 ? x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ,
则 f ( x ) 在 ? 0,1? 上单增,在 ?1, ?? ? 上单减,函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得唯一的极值。

?a ? 0 2 ? ?2 ? 由题意得 ? 1 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ? ,1? ………4 分 3 ?3 ? ?a ? 1 ? a ? 3 ? ? x ? 1??1 ? ln x ? . k 1 ? ln x k ? ? ?k? (2) 当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? x ?1 x x ?1 x ? x ? 1??1 ? ln x ? , x ? 1 ,由题意, k ? g ( x) 在 令 g ( x) ? ? ? ?1, ??? 恒成立。 x

?? x ? 1??1 ? ln x ?? ? x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? ? x' x ? ln x ? g ( x) ? ? ? x2 x2 1 ' 令 h ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,则 h ? x ? ? 1 ? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号。 x 所以 h ? x ? ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0
' '

x ? ln x h ? x ? ? 2 ? 0 ,则 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g ? x ?min ? g ?1? ? 2 x2 x 所以 k ? 2 ,即实数 k 的取值范围为 ? ??,2? ………………………8 分
因此 g ( x) ?
'

(3)由(2)知,当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 2x 2 2 ? ? ln x ? ?1 ? 1? ? 1? , 即 …………………10 分 x x ?1 x ?1 x ?1 x 2 1 ? ?1 ? 令 x ? k ? k ? 1? , k ? N ,则有 ln ? k ? k ? 1?? ? 1 ? ? 1? 2? ? ?. ? ? k ? k ? 1? ? k k ?1 ?
分别令 k ? 1, 2,3,?, n , n ? N
?

·7·

1? ?1 1? ? , ln ? 2 ? 3? ? 1 ? 2 ? ? ? 2? ? 2 3? 1 ? ?1 ,?, ln ? n ? n ? 1?? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? n n ?1 ? 将这 n 个不等式左右两边分别相加,则得 1 ? 2 ? ln ?1? 22 ? 32 ??? n2 ? n ? 1?? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n?2? ? ? n ?1 ? n ?1 ?
则有 ln ?1? 2 ? ? 1 ? 2 ?1 ?

? ?

故 1? 22 ? 32 ??? n2 ? n ? 1? ? e

n ? 2?

2 n ?1

,从而

?(n ?1)!? ? (n ?1)e
2

n ? 2?

2 n ?1

. n ? N ………14 分

?

·8·


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