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立体几何中垂直的证明练习


立体几何中垂直的证明
证明直线与直线垂直的方法 (1)定义(即两直线成直角) (2)线面垂直的性质: a ? ? , b ? ? ? a ? b (3)若两直线共面,可用勾股定理或等腰三角形的三线合一 (4) a // b, a ? c ? b ? c 证明直线与平面垂直的方法 (1)定义(直线 a 与平面α内的任意直线都垂直) (2)判定定理: a ? ? , b ?

? , a ? b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ? . (3)面与面垂直的性质: ? ? ? , ? ? ? ? b, a ? ? , a ? b ? a ? ? (4) a // b, a ? ? , ? b ? ? (5) ? // ? , a ? ? ? a ? ? 证明平面与平面垂直的方法 (1)定义:两平面成直二面角 (2)判定定理: a ? ? , a ? ? ? ? ? ?

典型例题剖析
通过“平移”证明垂直根据若 a // b, 且b ? 平面? , 则a ? 平面? 例 1、在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD, AB=
1 DC, E为PD中点.求证:AE⊥平面 PDC. 2
A E B P D

C

同步练习一
I

(1)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的中点,则 异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是____________。

D1 A1 D A B1

C1 N C B

M

(2)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,∠PDA=45 度,点 E 为棱 AB 的中点。 求证:平面 PCE⊥平面 PCD
P

F

E B

A C

D

例 2、如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD , AB / /CD , PD ? AD , E 是 PB 的中点, F 是 CD 上的点,且 DF ? (1)证明: PH ? 平面ABCD ;
1 AB , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高。 2

,AD ? 2,FC ? 1, (2)若 PH ? 1 求三棱锥 E ? BCF 的体积;

II

(3)证明: EF ? 平面PAB .

同步练习二 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 底 面 是 直 角 梯 形

BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD。
证明: BE ? 平面PDC ;

利用等腰三角形底边上的中线的性质 例 3、在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB 。 (Ⅰ )求证: PC ? AB ;
P

III

A

B

同步练习三 (1) 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? AD ? 3cm ,
AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为

cm3.

(2)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 4 , AC ? BC ? 3 , D 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求异面直线 CC1 和 AB 的距离。

IV

利用勾股定理 例 4、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长 为 1 的正方形, PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2. 求证: PA ? 平面 ABCD
P _

A _

D _

B _

C _

同步练习四 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上 的一点。 (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。

V

如图 1, 在直角梯形 ABCD 中,AB // CD ,AB ? AD , 且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使 平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC (2)求证: BC ? 平面 BDE
E
E M

D

C

F

M D C B

F

A

B

A

1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ ACB=90° ,AC=BC= AA1, 2 D 是棱 AA1 的中点 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体 积的比.
A1 C1

B1

D
VI

C A

B

例 5、如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(1)求证: AO ? 平面 BCD;
A

D O B E C

同步练习五 (1)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? BC 形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. 证明: SD ? 平面SAB ; , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角

VII

利用定义证明 例 6、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD⊥PD, BC=1, PC=2 3 , PD=CD=2. (I) 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD;

同步练习六
PD ? AD , 如图 5 所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? 平面 PAD ,AB // CD ,
E 是 PB 的中点, F 是 CD 上的点且 DF ?

1 AB , PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明: PH ? 平面 ABCD ; (2)若 PH ? 1, AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .
VIII

直 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 中 , AB=A A1
?CAB =



? 2

(Ⅰ)证明 CB1 ? BA1 ; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 的体积

例 7、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
E 分别是棱 BC , AB CC1 上的点 1 1 ? AC 1 1 ,D, F 为 B1C1 的中点. (点 D 不同于点 C ) ,且 AD ? DE ,

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平面 ADE .

IX

同步练习七 如图, 已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F, 求证:A1C⊥平面 BDE;

如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ⊥底面 ABC ,D 是 PC 的中点, 已知∠ BAC =

? , AB ? 2 , AC ? 2 3 , PA ? 2 ,求: (1)三棱锥 P ? ABC 的体积 2

X

如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 。

?DAB ? 60 , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD ,证明: PA ? BD

XI


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