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新华中学2011—2012学年上学期高二第一次月考(理数)


新华中学 2011—2012 学年上学期高二第一次月考 数学科(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.在正整数 100 至 500 之间能被

11 整除的个数为 A.34 B.35 C.36 D.37

2.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是 A.24 B.27 C.30 D.33

3.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 B.97

2 f (n) ? n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为 2

C.105

D.192

4.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大 A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项

5.在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于 A.1 B. ? 1 C. 2 3
1 2

D. ? 2 3
a3 ? a 4 等于 a 4 ? a5

6.等比数列{an},an>0,q≠1,且 a2、 a3、a1 成等差数列,则
5 ?1 2 5 ?1 2 1? 5 2

A.

B.

C.

D.

5 ?1 2

7.数列{an}前 n 项和是 Sn,如果 Sn=3+2an(n∈N*) ,则这个数列是 A.等比数列 C.除去第一项为等比数列
1

B.等差数列 D.除去第一项为等差数列

8.在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240, an?4 =30,则 n 的值为 A.14 B.15 C.16
A ,则 ?ABC 是 2

D.17

9.在 ?ABC 中,若 sin B sin C ? cos 2 A.等腰三角形 三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角

10.数列{an}满足 a1=1, a2=

2 1 1 2 ,且 (n≥2),则 an 等于 ? ? 3 an?1 an?1 an

A.

2 n ?1

B.(

2 3

)n-1

C.(

2 n ) 3

D.

2 n?2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷的相 应位置上.) 11. 已 知 ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 a ? c ? 6 ? 2 且
?A ? 75o ,

则 b ? _____________.
Sn 2n = ,则 Tn 3n ? 1

12 . 等 差 数 列 {an} , {bn} 的 前 n 项 和 分 别 为 Sn 、 Tn , 若
a11 =_____________. b11

?2an 13. 数列 {an } 满足 an?1 ? ? ?an ?1

(0 ? an ? 1), (an ? 1).

且 a1 ?

6 ,则 a2010 ? _____________. 7

2

14.数列{an}中,an+1=

an ,a1=2,则 a4=_____________. 1 ? 3a n

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)已知{an}是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

16.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, 且an ? an?1 ? 2n . (Ⅰ)求 a2 ,???a3,a4 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项 an .

17.(本小题满分 14 分)在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

5 3 , cos B ? . 13 5

3

18.(本小题满分 14 分)等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,

{bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 .
(Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)求和:
1 1 1 ? ??? . S1 S2 Sn

19.(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

n , a ? N* . 3

20.(本小题满分 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式.

4

参考答案
一、选择题: (本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 A 10 A

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 2 12.
21 32

13.

3 7

14.

2 19

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 15. 解: (方法一) :

?a ? d ? 1, (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件 ? 1 ?a1 ? 4d ? ?5,
解得 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) Sn ? na1 ? 所以
n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2) 2 . 2

………………2 分 ………………5 分 ………………8 分 ………………11 分 ………………12 分

当 n ? 2 时, Sn 取得最大值 4 .

(方法二) :

?a2 ? a1 ? d ? 1, ?a ? 3, (Ⅰ)设 an ? a1 ? (n ?1)d ,则 ? ?? 1 ?a5 ? a1 ? 4d ? ?5, ?d ? ?2.
an ? 3 ? (n ?1) ? (?2) , ∴ an ? 5 ? 2n .
(Ⅱ) an ? 5 ? 2n ? 0 ,
n? 5 . 2

n ? 2.

要使 Sn 最大,只有使 an 的各项非负. 所以 当 n ? 2 时, (Sn )max ? S2 ? a1 ? a2 ? 3 ? 1 ? 4 .
5

16. 解: (1)? a2 ? a1 ? 2 ? 2,?a2 ? 4 ? 1 ? 5;同理,a3 ? 11 a4 ? 19 ………6 分 ,
(2) ? a2 ? a1 ? 2 ? 2 a3 ? a2 ? 2 ? 3 a4 ? a3 ? 2 ? 4 ?????? an ? an ?1 ? 2 ? n 以上等式相加得: an ? 1 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 1? 2?
2

? n ? 1?? n ? 2 ?
2

? n ? n ?1

………………9 分 ………………12 分
5 12 ,得 sin A ? , 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? .··························· 分 ··························3 ·························· 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . ············ 分 ············ ···········6 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . ··············· 分 (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ··············· ··············9 ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? . ·····12 分 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? ····· ····· 2 2 3 65 3

17. 解: (Ⅰ)由 cos A ? ?

18. 解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1 .

………………2 分 ………………4 分

? S b ? (6 ? d )q ? 64 依题意有 ? 2 2 2 ?S3b3 ? (9 ? 3d )q ? 960

6

6 ? ?d ? ? 5 ?d ? 2 ? 解得 ? (舍去) ,或? ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ?

………………6 分

故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1,???bn ? 8n?1

………………8 分

(2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2

………………10 分

3 2n ? 3 1 1 1 1 (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

………………14 分

n 19. 解:(I) a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ?1 an ? , 3 n ?1 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 n n ?1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). 3 3 3 1 an ? n (n ? 2). 3 1 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N * ). 3

………………4 分 ………………6 分 ………………7 分 ………………8 分

(II) bn ? n ? 3n , . Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n ..①

3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1

.. ..② ………………11 分

①-②得: ?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1 即 ?2Sn ?
Sn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4

………………14 分

20. 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,

7

a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② .. ①-②得 an?1 ? 4an ? 4an?1,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 )

………………2 分

………………5 分

又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为 2 的等比数列.…7 分

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,
?

………………9 分

an ?1 an 3 a 1 3 ? n ? ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等差数列.……12 分 n ?1 n 2 4 2 2 4 2 a 1 3 3 1 ………………14 分 ? n ? ? (n ? 1 )? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 n 2 2 4 4 4

8


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