当前位置:首页 >> 数学 >>

2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)3-第三节 导数与函数的极值、最值


第三节

导数与函数的极值、最值
A 组 基础题组

1.设函数 f(x)在定义域 R 上可导,其导函数为 f'(x),若函数 y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论 中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 2.设函数 f(x)= +lnx,则(
2

) B.x=2为 f(x)的极小值点
1

A.x=2为 f(x)的极大值点

1

C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 3.函数 f(x)=2x -lnx 的最小值为(
2

1

)

A.2 C.0

1

B.1 D.不存在
3 2

4.已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( A.37 B.73 C.-10
3 2

)

D.-37 )

5.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分别为( A.-27,0
4

B.0,-27C.27,0

4

4

D.0,27

4

1

6.(2016 湖北黄冈模拟)若函数 f(x)=2x -lnx 在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数 k 的取
2

值范围为( A.[1,+∞) C.[1,2)

) B. 1,
3 3 2

D. 2 ,2
π 6

7.函数 f(x)=xsinx+cosx 在

,π 上的最大值为

.
1

8.已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax > 2 ,当 x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值 为 .
1+ln

9.已知函数 f(x)=

(k≠0).求函数 f(x)的极值.

10.(2016 吉林长春模拟)已知函数 f(x)=ax- -3lnx,其中 a 为常数.


2

(1)当函数 f(x)的图象在点

2 3

,f

2 3

处的切线的斜率为 1 时,求函数 f(x)在 2 ,3 上的最小值;

3

(2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围.

B组
3 2 11.已知函数 f(x)= - + ,x < 1, ln, ≥ 1.

提升题组

(1)求 f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值; (2)求 f(x)在[-1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值.
2

12.(2016 云南昆明模拟)已知常数 a≠0,f(x)=alnx+2x. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的极值; (2)当 f(x)的最小值不小于-a 时,求实数 a 的取值范围.

13.已知函数 f(x)=

2 +bx +c e

(a>0)的导函数 y=f'(x)的两个零点为-3 和 0.

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-e ,求 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
3

3

答案全解全析 A 组 基础题组
1.D 由题图可知,当 x<-2 时,f'(x)>0; 当 x=-2 时,f'(x)=0; 当-2<x<1 时,f'(x)<0; 当 1<x<2 时,f'(x)<0; 当 x=2 时,f'(x)=0; 当 x>2 时,f'(x)>0. 由此可得函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值.故选 D. 2.D 因为 f(x)=x +lnx,所以 f'(x)=-x 2 +x = x 2 ,当 x>2 时,f'(x)>0,此时 f(x)为增函数;当 0<x<2 时,f'(x)<0,此时 f(x)为减函数,据此知 x=2 为 f(x)的极小值点. 3.A f'(x)=x-x =
1 x 2 -1 x 2 2 1 x-2

,且 x>0.

令 f'(x)>0,得 x>1;令 f'(x)<0,得 0<x<1. ∴f(x)在 x=1 处取得极小值,即最小值,且 f(1)=2-ln1=2. 4.D 由题意知,f'(x)=6x -12x,令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=2,当 x<0 或 x>2 时,f'(x)>0,当 0<x<2
2

1

1

时,f'(x)<0, ∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减,由条件知 f(0)=m=3,∴f(2)=-5,f(-2)=-37,∴所求最 小值为-37. 5.C 由题意知,f'(x)=3x -2px-q,由 f'(1)=0,f(1)=0 得
2 2

3-2p-q = 0, 3 2 解得 p=2,q=-1,∴f(x)=x -2x +x,由 1-p-q = 0,
4 27

f'(x)=3x -4x+1=0,得 x= 或 x=1,易得当 x= 时,f(x)取得极大值 ,当 x=1 时,f(x)取得极小值 0.
3 3

1

1

6.B 由 f'(x)=4x-x =

1 (2x-1)(2x+1) x

=0,

4

得 x=

1 2

x = - 舍去 .当 x∈ 0,
2 1 2

1

1 2

时,f'(x)<0;当 x∈
1

1 2

, + ∞ 时,f'(x)>0,即函数 f(x)在区间 0,

1 2

上单

调递减,在区间

, + ∞ 上单调递增,所以 x=2为函数 f(x)的极值点.函数在区间(k-1,k+1)上有定义且不
1 3

是单调函数,即在区间(k-1,k+1)内有极值点,所以 0≤k-1<2<k+1,解得 1≤k<2. 7. 答案
2

解析 因为 f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 所以 f'(x)=0 在 x∈ 又f
6 6

, 上的解为 x=2 .
6



= + ,f
12 2



3

2

= ,f(π )=-1,所以函数 f(x)=xsinx+cosx 在
2

, 上的最大值为 .
2



8. 答案 1 解析 因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x)在(0,2)上的最大值为-1, 当 x∈(0,2)时,f'(x)= -a,
x 1

令 f'(x)=0,得 x= ,因为 a> ,所以 0< <2.
a 2 a

1

1

1

令 f'(x)>0,得 x< ,所以 f(x)在 0,
a

1

1 a

上单调递增;
1 a

令 f'(x)<0,得 x> ,所以 f(x)在
a

1

1 a

,2 上单调递减,所以当 x∈(0,2)时,f(x)max=f

=ln -a· =-1,所以
a a

1

1

lna =0,所以 a=1. 9. 解析 f(x)= f'(x)= x k 2 1+ x kx

1

的定义域为(0,+∞),

.

令 f'(x)=0,得 x=1, 当 k>0 时,若 0<x<1,则 f'(x)>0; 若 x>1,则 f'(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取得极大值k .
5
1

当 k<0 时,若 0<x<1,则 f'(x)<0; 若 x>1,则 f'(x)>0, ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 .
k 1

10. 解析 (1)f'(x)=a+x 2 -x , 由题意可知 f'
2 x 2 3

2 3 2

=1,即 a+
3 2

2 2 3

- 2 =1,解得 a=1.
3

3

由 f(x)=x- -3lnx,x∈ ,3 得 f'(x)=
(x-1)(x-2) x2

.

令 f'(x)=0,得 x=2. f(x)与 f'(x)随 x 的变化情况如下表: x f'(x) f(x) ∴f(x)min=f(2)=1-3ln2. (2)f'(x)=a+ 2 - =
x x 2 3 ax 2 -3x+2 x2
2

3 ,2 2 ↘

2 0 1-3ln2

(2,3] + ↗

(x>0),
2

由题意可知方程 ax -3x+2=0 有两个不等的正实根,不妨设这两个根为 x1,x2,并令 h(x)=ax -3x+2, Δ = 9-8a > 0, 则 x1 + x2 = a > 0,解得 0 < a < 8 , x1 x2 = a > 0, 故 a 的取值范围为 0, 8 .
9 2 3 9

B 组 提升题组
11. 解析 (1)当 x<1 时,f'(x)=-3x +2x=-x(3x-2),
2

令 f'(x)=0,解得 x=0 或 x=3. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

2

6

x f'(x) f(x)

(-∞,0) ↘

0 0 极小值

0,

2 3

2 3 0 极大值
2

2 ,1 3 ↘

+ ↗

故当 x=0 时,函数 f(x)取得极小值,为 f(0)=0,函数 f(x)的极大值点为 x=3. (2)①当-1≤x<1 时,由(1)知,函数 f(x)在[-1,0]和 3 ,1 上单调递减,在 0, 3 上单调递增. 因为 f(-1)=2,f
2 3 2 2

= ,f(0)=0,
27

4

所以 f(x)在[-1,1)上的最大值为 2. ②当 1≤x≤e 时,f(x)=alnx,当 a≤0 时,f(x)≤0; 当 a>0 时,f(x)在[1,e]上单调递增,则 f(x)在[1,e]上的最大值为 f(e)=a. 综上所述,当 a≥2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 a; 当 a<2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 2. 12. 解析 (1)由已知得 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x +2= 当 a=-4 时,f'(x)=
2x-4 x a a+2x x

.

.

可知当 0<x<2 时,f'(x)<0,则 f(x)单调递减; 当 x>2 时,f'(x)>0,则 f(x)单调递增. ∴f(x)只有极小值,且在 x=2 时,f(x)取得极小值 f(2)=4-4ln2. ∴当 a=-4 时,f(x)只有极小值 4-4ln2. (2)∵f'(x)=
a+2x x

,

∴当 a>0,x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,即 f(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增,没有最小值,当 a<0 时,由 f'(x)>0, 得 x>-2,∴f(x)在 - 2 , + ∞ 上单调递增; 由 f'(x)<0,得 x<-2,∴f(x)在 0,- 2 上单调递减. ∴当 a<0 时,f(x)的最小值为 f - 2 =aln - 2 +2 - 2 .
a a a a a a

7

根据题意得 f - 2 =aln - 2 +2 - 2 ≥-a, 即 a[ln(-a)-ln2]≥0. ∵a<0,∴ln(-a)-ln2≤0,解得 a≥-2, ∴实数 a 的取值范围是[-2,0). 13. 解析 (1)f'(x)= (2ax + b) x -(a 2 + bx + c) x ( x )2 =
-a 2 +(2a-b)x+b-c x
2

a

a

a

.

令 g(x)=-ax +(2a-b)x+b-c, 因为 e >0,所以 y=f'(x)的零点就是 g(x)=-ax +(2a-b)x+b-c 的零点,且 f'(x)与 g(x)符号相同.
x 2

又因为 a>0,所以-3<x<0 时,g(x)>0, 即 f'(x)>0, 当 x<-3 或 x>0 时,g(x)<0,即 f'(x)<0,所以 f(x)的单调递增区间是(-3,0), 单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
9a-3b+c -3

= - 3 ,

(2)由(1)知,x=-3 是 f(x)的极小值点,所以有 g(0) = b-c = 0, g(-3) = -9a-3(2a-b) + b-c = 0, 解得 a=1,b=5,c=5,所以 f(x)=
2 +5x+5 x

.

因为 f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以 f(0)=5 为函数 f(x)的极大值, 故 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取 f(-5)和 f(0)中的最大者, 而 f(-5)= -5 =5e >5=f(0),
5

5



所以函数 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是 5e .
5

8


相关文章:
2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)2 ...
2018课标版数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)2 第二节 导数与函数的单调性夯基提能作业本_数学_高中教育_教育专区。第二节 导数与函数的单调性 A 组...
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1-...
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1-第一节 变化率与导数...16.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x...
【3年高考2年模拟】2018课标版文数一轮 第三章 导数及...
3年高考2年模拟】2018课标版文数一轮 第三章 导数及其应用 3.3 导数与函数的极值、最值 同步训练题目_高考_高中教育_教育专区。第三节 导数与函数的极值、...
2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)4 ...
2018课标版数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)4 第四节 导数的综合...[0,e) 1 3 3 + ln ,若 x=2 是函数 f(x)的唯一一个极值点, B.[0...
2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1 ...
2018课标版数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1 第一节 变化率与导数...10.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-lnx).若曲线 y=f(x)曲线 y=g...
...轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最...
2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值夯基提能作业本理_数学_高中教育_教育专区。第三节 导数与函数的极值、最值 A 组 基础题...
...及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 用导数解决...
...及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值...
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值理_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 用导数解决函数极值问题 命题...
...及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 用导数解决...
...轮复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最...
浙江专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3导数与函数的极值最值练习_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 第 3导数与函数的极值、...
更多相关标签: