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辽宁省葫芦岛市普通高中2014届高三第一次模拟考试 数学理试题 (高清扫描,word答案)


2014 年葫芦岛市高三第一次模拟考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一.选择题每小题 5 分,总计 60 分 题 1 2 3 4 号 答 A C B B 案 二.填空题每小题 5 分,总计 20 分. 13. 15. 24 2 5 B 6 C 7 C 8 D 9 0 D A 1 1 A 1 2 D 1

14.

>1+ln2 2

16. 2

三.解答题 17.解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 S3+S4=S5,a7=5a2+2 得: 2a1-d=0,4a1-d-2=0 解得 a1=1,d=2 * 因此 an=2n-1(n∈N ) 1 n-1 (Ⅱ)令 cn=anbn=(2n-1)( ) .则 Tn=c1+c2+?+cn 2 ∴ Tn ? 1?1 ? 3 ?

???????????4 分

1 ?1? ?1? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2?
2 3

2

n ?1


n

1 1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ② ---------------------6 分 2 2 ?2? ?2? ? 2?
①—②,得
n ?1 n ? 1 ? 1 ?2 1 ?1? ? ?1? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ? ?2? ? ?2 ? 2 ? ?

n ? ? 1 ?n ?1 ? ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?(2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ?

? 3?

2n ? 3 2n

---------------10 分

所以 Tn ? 6 ?

2n ? 3 2n ?1

--------12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD . ?????? 1 分 因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,且四边形 BDEF 是矩形, 所以 ED ? 平面 ABCD , ?????? 2 分

又因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 ED ? AC . 因为 ED ? BD ? D ,

?????? 3 分

所以 AC ? 平面 BDEF . ?????? 4 分 (Ⅱ)解:设 AC ? BD ? O ,取 EF 的中点 N ,连接 ON , 因为四边形 BDEF 是矩形, O, N 分别为 BD, EF 的中点, 所以 ON //ED , 又因为 ED ? 平面 ABCD ,所以 ON ? 平面 ABCD , 由 AC ? BD ,得 OB, OC , ON 两两垂直. 所以以 O 为原点, OB, OC , ON 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间 直角坐标系. ?????? 5 分

因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , BF ? 3 , 所以 A(0, ? 3,0) , B(1,0,0) , D(?1, 0, 0) , E (?1,0,3) , z E N F D O A B x H C y

F (1, 0,3) , C(0, 3,0) , H ( 1 , 3 , 3 ) . 2 2 2
因为 AC ? 平面 BDEF ,

??????6 分

所以平面 BDEF 的法向量 AC ? (0,2 3,0) . ????7 分 设直线 DH 与平面 BDEF 所成角为 ? ,

??? ?

???? ? 3 3 3 , ), 由 DH ? ( , 2 2 2


3 3 3 ???? ? ???? ?0? ?2 3 ? ?0 ???? ? ???? DH ? AC 7 2 2 sin ? ?| cos ? DH , AC ?|? ???? ? ? ???? ? 2 , 7 21 DH AC ?2 3 2
所以直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,得 BH ? (? ,

7 . 7

??????9 分

????

??? ? 1 3 3 , ) , DB ? (2,0,0) . 2 2 2

设平面 BDH 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

???? ?n ? BH ? 0, ? 所以 ? ? ??? n ? DB ? 0, ? ?

??????10 分

即?

?? x1 ? 3 y1 ? 3z1 ? 0, ? ? ?2 x1 ? 0,
??????11 分

令 z1 ? 1,得 n ? (0, ? 3,1) .

由 ED ? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为 ED ? (0,0, ?3) ,

??? ?

??? ? ??? ? n ? ED 0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? (?3) 1 ?? . ??? ? ? 则 cos ? n, ED ?? 2?3 2 n ED
由图可知二面角 H ? BD ? C 为锐角, 所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60? . 19. (本题满分 12 分)

????13 分

??????14 分

解: (Ⅰ)记“从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A ,
1 2

???????????1 分 C3·C7 21 = ???????????????4 分 3 C10 40

P(A)=

(Ⅱ)依据条件,X 服从超几何分布:其中 N=10,M=3,n=3,X 的可能值为 0,1,2,3,其分 布列为:P(X=k)= C3·C 7 (k=0,1,2,3)??????????6 分 3 C10 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120 ????????8 分 7 (Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P= , 10 一年中空气质量达到一级或二级的天数为 Y,则 Y~B(366,0.7) ???????10 分 ∴EY=366×0.7≈256 ∴一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级 ?????????12 分
k 3-k

20. (本题满分 12 分) 2b 解: (1)当 l 过椭圆的焦点且与 x 轴垂直时,截得的弦为椭圆的通径,∴ =3 a 又∵c=1 ∴b =3 a =4 x y ∴椭圆 C 的方程为: + =1?????????????????????4 分 4 3
2 2 2 2 2

(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 即为 y 轴,此时 A(0,- 3)、B(0, 3) |PA|=3- 3,|PB|=3+ 3 ∴C(0, 3-3) (2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线的方程为 y=kx-3. x y 2 2 与椭圆方程 + =1 联立并消元整理得: (4k +3)x -24kx+24=0 ??????① 4 3 Δ =(24k) -4(4k +3)×24=96(2k -3)>0
2 2 2 2 3 ∴k > 2 2 2

2 1 1 由题意: 2= 2+ 2 |PC| |PA| |PB|

解得:|PC|= 3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两个解,由韦达定理得: 24k 24 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 4k +3 4k +3 |PA| =x1 +(y1+3) =x1 +(kx1-3+3) =(1+k )x1 |PB| =x2 +(y2+3) =x2 +(kx2-3+3) =(1+k )x2 |PC| =x +(y+3) =x +(kx-3+3) =(1+k )x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 1 1 由题意: 2= 2+ 2 |PC| |PA| |PB| ∴ 2 1 1 2 2 = 2 2 + 2 2 (1+k )x (1+k )x1 (1+k )x2 2 1 1 (x1+x2) -2x1x2 (24k) -2×24(4k +3) 8k -3 = = 2 = 2 + 2 = 2 2 2 x x1 x2 x1 x2 24 12
2 2 2 2 2



∴x =

24 2 8k -3 y+3 k= x 代入上式并化简得:8(y+3) -3x =24
2 2

又∵点 C 在直线上,∴y=kx-3 (y+3) x 即 - =1 3 8
2 3 ∵k > 2 2 8 ∴0<x < 3 2 2

2 6 2 6 即 x∈(,0)∪(0, ) 3 3
2 2

(y+3) x 2 6 2 6 又 C(0, 3-3)满足 - =1,故 x∈(, ). 3 8 3 3 由题意,C(x,y)在椭圆 C 内部,所以- 3≤y≤ 3, 2 2 2 又由 8(y+3) =24+3x 有(y+3) ∈(3,4) 且- 3≤y≤ 3 2 2 (y+3) x 所以点 C 的轨迹方程是 - =1, 3 8 ∴y∈( 3-3,-1)

2 6 2 6 其中,x∈(, ),y∈( 3-3,-1)???12 分 3 3 (如考生未考虑 l 与 x 轴垂直,扣 1 分;求轨迹方程后没有求得 x,y 取值范围的扣 1 分)

21. (本题满分 12 分) (1) f?(x)=ln(1+x)+1 1 令 f?(x)=0 得: x= -1 e 1 1 ∴当 x∈(-1, -1)时, f?(x)<0,f(x)在(-1, e e

1 1 1 -1)上单调递减,同理,(x)在( -1,+∞)上单调递增;∴当 x= -1 时,f 极小=- ;又 x∈(-1, e e e 1 -1)时,f(x)<0 ∴f(x)的图象如右: e

1 ①当 a<- 时,方程无解; e 1 ②当 a=- 或 a≥0 时,方程有一解; e 1 ③当- <a<0 时,方程有两解; e (2)令?(x)=f(x)-g(x)=(1+x)ln(1+x)-kx -x
2

则??(x)=ln(1+x)-2kx ∵x≥0 1 ∴ ∈(0,1] 1+x

令 h(x)= ln(1+x)-2kx

1 则 h?(x)= -2k 1+x

1 ①当 k≥ 时,2k≥1 2 ∴h(x)≤h(0)=0 ∴?(x)≤?(0)=0

1 h?(x)= -2k≤0 1+x 即??(x)≤0 ∴f(x)≤g(x)

∴h(x)在[0,+∞)上单调递减

∴?(x)在[0,+∞)上单调递减 1 ∴当 k≥ 时满足题意; 2

1 ②当 k≤0 时,h?(x)= -2k>0 1+x ∴h(x)≥h(0)=0 ∴?(x)≥?(0)=0 即??(x)≥0

∴h(x)在[0,+∞)上单调递增 ∴?(x)在[0,+∞)上单调递增 ∴当 k≤0 时不合题意;

∴f(x)≥g(x)

1 1 1-2k 1-2k ③当 0<k< 时,由 h?(x)= -2k=0 得:x= >0,当 x∈(0, )时,h(x)单调递增, 2 1+x 2k 2k ∴h(x)>0 即??(x)>0 1-2k ∴?(x)在(0, )上单调递增 2k ∴?(x)>0

即 f(x)>g(x)

∴不合题意

1 综上,k 的取值范围是[ ,+∞) 2 1 1 2 (3)由(2)知(取 k= )(1+x)ln(1+x)≤ x +x; 2 2 x +2x (1+x) -1 1 1 变形得:ln(1+x)≤ = = ((1+x)- ) 2(1+x) 2(1+x) 2 1+x
2 2

1 1 1 取 x=n-1 得 lnn≤ (n- ) 即: +2lnn≤n 2 n n 1 ∴ +2ln1≤1 1 1 +2ln2≤2 2 1 +2ln3≤3 3 ? 1 +2lnn≤n n 1 1 1 1 以上各式相加得: ( + + +?+ )+2(ln1+ln2+ln3+?+lnn)≤1+2+?+n 1 2 3 n n(n+1) 即:Sn+2lnn!≥ 2 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解 (1)连结 BN ,则 AN ? BN ,又 CD ? AB ,

则 ?BEF ? ?BNF ? 90? ,即 ?BEF ? ?BNF ? 180? , 则 B 、 E 、 F 、 N 四点共圆. ?????5 分 (2)由直角三角形的射影原理可知 AC ? AE ? AB ,
2

由 Rt ?BEF 与 Rt ?BMA 相似可知:

BF BE , ? BA BM

BF ? BM ? BA ? BE ? BA ? ( BA ? EA) , BF ? BM ? AB 2 ? AB ? AE ,
则 BF ? BM ? AB ? AC ,即 AC ? BF ? BM ? AB .????????10 分
2 2 2 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t ? 12t ? 5 ? 0
2

设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ?

12 5 , t1t 2 ? ? . 7 7

??3 分

所以 AB ? (?3) ? (?4) t1 ? t 2 ? 5 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ?
2 2 2

10 71 . ??5 分 7

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中 点 M 对应的参数为

t1 ? t 2 6 ? . 2 7

??8 分

所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

PM ? (?3) 2 ? (?4) 2 ?

6 30 ? . 7 7

??10 分

24. 解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? ???3 分 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
解,得

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2
???5 分 ????8 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2}

(Ⅱ)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3) |? 4

?| a ? 1 |? 4

? a ? ?3或a ? 5 。

?????10 分


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