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数学4-1导学案


嫩江一中高二数学导学案
设计(主备人) 王杰 学生姓名 审核人 学号 马金香

选修 4—1 学案
授课时间 课前批改 编号 课后批改 1

随堂练习 练习 1. 如下图(4-82),已知: △ABC 中, AE=EB, EF//BC,则 练习 2. 如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,E 是 CD 的中点. 求证 EA=EB。

1.1 平行线等分线段定理
[引标]:在初中,我们已经讨论过平行线的一些性质和判定的问题,现在我们继 续研究平行线的性质。一组平行线被另一组平行或者非平行的直线所截,所得到 的图形具有哪些性质呢? [示标]:掌握平行线等分线段定理及其推论,能应用其定理及推论解决有关几何 计算问题和证明问题。 [学标]: 一:知识链接 问题 1:平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 , 那么在其他直线上截得的 线段 。 问题 2:平行线等分线段定理推论: 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 。 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 。 问题 3:三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于 ,并且等于 。 二:试一试 探究 1 M, N 分别为平行四边形 ABCD 的边 AB, CD 的中点, CM 交 BD 于 E, AN 交 BD 于 F,求证: BE=EF=FD.

三:学习小结:
A

[诊标]: 1.如 图 则 BD=

EF∥BC .



FD∥AB


E B D F C

AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm.

2.如图 1, l1 // l 2 // l3 ,AM=3,BM=5,CM=4.5, EF=16,则 DM= EK= FK= , , .
F C

A M
A 第 (9)

E

l1 l2

D

题 的延长线交 AC 3、如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 的中点,BM 图② 1 于 N,求证:AN= CN。 D 2

B

l3

探究 2 如下图,AB⊥L 于 B. CD⊥L 于 C,E 为 AD 中点.求证:△EBC 是等腰三角 形.

P O C B A
图①

P 4.如下图,梯形 ABCD 中,AD//BC,∠B=60°,AB=BC,E 为 AB 的中点,求证 : O △ECD 为等边三角形。 C B A B O A C

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探究 2 如下图:在 Δ ABC 中,作直线 DN 平行于中线 AM,设这条直线交边 AB 与点 D,交边 CA 的延长线于点 E,交边 BC 于点 N.求证:AD∶AB=AE∶AC.
E A

1.2 平行线分线段成比例定理
[引标]:如果一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,可以得出怎样的结论? [示标]: 掌握平行线分线段成比例定理及推论,能应用其定理及推论解决和证明 与平行线有关的问题。 [学习重难点]: 平行线分线段成比例定理及其推论。 平行线分线段平行线等分线段定理及其推论的应用。 [学标]: 一:新知 问题 1:平行线分线段成比例定理:
___________________________________________________________________________ D

B

N

M

C

探究 3 如图△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD.

求证:AD 是 AB 和 AF 的比例中项 A F D B
E C

问题 2:平行线等分线段定理推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 结论 1:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与 原三角形的三边 结论 2:三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边 。 结论 3:若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例,则此直线与 三角形的第三边

三:学习小结 [诊标]: 1 . 如图,已知: AC ⊥ AB , BD ⊥ AB , AO=78cm , BO=42cm , CD=159cm , 则 CO= cm, DO=
C

cm.
A

二:试一试 如图 1-12,△ABC 中,DE∥BC,DF∥AC,AE=4,EC=2,BC=8,求 BF 和 CF 的长

(2 题图)
┐ A O 1 题图 └B
D

B

C

E

D

2.如右上图:BC∥DE,AB=15,AC=9,BD=4,求:AE
1 3. 如下图,Δ ABC 中,点 D 为 BC 中点,点 E 在 CA 上,且 CE= EA,AD,BE 交 2 A 于点 F,则 AF:FD= .

E

D

探究 1
A

如下图:DE∥BC,AB=15,AC=7,AD=2,求 EC。
E C

B

C

F B D

嫩江一中高二数学导学案选修 4—1 学案
设计(主备人) 王杰 学生姓名 审核人 学号 马金香 授课时间 课前批改 编号 课后批改 1

课题:相似三角形的判定和性质(1) 学习目标: 1.掌握两个三角形相似的判定条件(三个角对应相等,三条边的比对应相等,则 两个三角形相似)——相似三角形的定义,和三角形相似的预备定理(平行于三 角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似) . 2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单 的问题. 3.掌握两个直角三角形相似的判定条件,并能解决简单的问题. 4.掌握相似三角形的性质定理,并能解决简单的问题. 知识要点: 一. (1)相似三角形的判定 定义:对应角________,对应边_________的两个三角形叫做相似三角形.相 似三角形对应边的比值叫做_________. 预备定理:_____于三角形一边的直线和_________(或两边的_________)相 交,所构成的三角形与原三角形相似.

基础过关: 1.如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对. 3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3 5 ,则BM=______. 4.Δ ABC的三边长为 2 , 10 ,2,Δ A'B'C'的两边为1和 5 ,若Δ ABC∽Δ A'B'C', 则Δ A'B'C'的笫三边长为________.

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周 长为_____. 6.如图4,RtΔ ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC 的面积为__________. 7.如图,已知在△ABC 中,CD⊥AB 于 D 点,BC2=BD·AB,则∠ACB=______.

8.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AC=6,DB=5,则 AD 的 长 为________. 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所的的线段 ______________那么这条直线平行于__________. 判定定理 1: 如果一个三角形的__________与另一个三角形的两个角__________, 那么这两个三角形相似. (简叙为:______________________________) . 判定定理 2:如果一个三角形的__________与另一个三角形的两边__________, 并且__________,那么这两个三角形相似. (简叙为:___________________________________) . 判定定理 3: 如果一个三角形的__________与另一个三角形的三条边__________, 那么这两个三角形相似. (简叙为:______________________________) .

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2.已知:如图 10,在 Rt△ABC 中∠ACB=90°,CD⊥AB,E 为 AC 的中点,ED、CB 延长线交于一点 F。 求证:AC·DF=BC·CF

课题:相似三角形的判定和性质(2) 学习目标: 1.掌握两个三角形相似的判定条件(三个角对应相等,三条边的比对应相等,则 两个三角形相似)——相似三角形的定义,和三角形相似的预备定理(平行于三 角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似) . 2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单 的问题. 3.掌握两个直角三角形相似的判定条件,并能解决简单的问题. 4.掌握相似三角形的性质定理,并能解决简单的问题. 知识要点:直角三角形相似的判定 定理 1:①如果两个直角三角形_____________________,那么它们相似. ②如果两个直角三角形_____________________,那么它们相似. 定理 2:①如果一个直角三角形的________________与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边__________,那么这两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 ①相似三角形的对应 线的比, 对应 线的比和对应 线的 比都等于相似比; ②相似三角形的 的比等于相似比; ③相似三角形的 的比等于相似比的 . ④相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 ,外接圆的面积比等 于 . (3)直角三角形相似的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的 ,两直角边分别 是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 练习题: 1.如图,△ ABC 是钝角三角形, AD 、 BE 、 CF 分别是△ ABC 的三条高。 求证: AD ? BC ? BE ? AC 。

3. 已知: AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线, ∠C=90°, EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M,EF、BC 的延长 线交于一点 N。求证:(1)△AME ∽△NMD (2)ND2=NC·NB

4.已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 上一点, CF⊥BE 于 F。求证:EB·DF=AE·DB

规律小结 相似三角形的基本图形 Ⅰ.平行线型:即 A 型和 型、双 A 型.

Ⅱ.相交线型: A.具有一个公共角, 在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角,且 BC⊥AC,DE⊥AB. B.具有一条公共边和一个公共角 在△ABC 与△DBA 中 AB 是它们的公共边, 且∠BAD=∠C,B 是它们的公共角. C.具有对顶角 在△ABC 中 AD⊥BC,BE⊥AC 则使△AME 与△BMD 中∠1 与∠2 是对顶角.

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5.如下图所示,在△ABC 内任取一点 D,连接 AD 和 BD,点 E 在△ABC 外, ∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证:△DBE∽△ABC

高二数学 选修 4—1 学案
课题:相似三角形的判定和性质习题 学习目标: 1.掌握两个三角形相似的判定条件(三个角对应相等,三条边的比对应相等,则 两个三角形相似)——相似三角形的定义,和三角形相似的预备定理(平行于三 角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似) . 2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单 的问题. 3.掌握两个直角三角形相似的判定条件,并能解决简单的问题. 4.掌握相似三角形的性质定理,并能解决简单的问题. 巩固提高: 1.如图,已知在梯形 ABCD 中,上底长为 2,下底长为 6, 高为 4,对角线 AC 和 BD 相交于点 P, (1)若 AP 长为 4,则 PC=________; (2)△ABP 和△CDP 的高的比为______. 2.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,

6. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,底 边 BC 上的高 AD=10 cm,腰 AC 上 的高 BE=12 cm.(1)求证:

AB 5 = ;(2)求△ABC 的周长.? BD 3

a CD= ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF=________.
2 7. 如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 延长线交
2

3.如图,在直角梯形 ABCD 中,上底 AD= 3,下底 BC=3 3,与 两底垂直的腰 AB=6, 在 AB 上选取一点 P, 使△PAD 和△PBC 相似, 这样的点 P 有____个
4. 如图, 平行四边形 ABCD 中, AE∶ EB=1∶2, △AEF 的面积为 6, 则△ADF 的面积为________.

AC,CF 于 E,F,求证:PB =PE·PF.[来源:Z&xx&k.Com]

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选修 4—1 学案
授课时间 课前批改 编号 课后批改 1

2.如图,BC 为⊙O 的直径,AD ? BC ,垂足为 D ,AB = AF , BF 和 AD 相交于 E , 求证:

AE ? BE
A F B E D O C

第二讲
2.1 圆周角定理

圆与直线的位置关系

【学习目标】 掌握圆周角和圆心角的定义;掌握圆周角定理及其证明; 掌握圆心角定理及圆周角定理的两个推论; 能用定理和推论解决相关的几何问题。 A 【学习过程】 一、知识回顾 1、圆周角,圆心角的定义:
B

O

三、师生互动 1.如图所示,已知 AD 是 ?ABC 的高, AE 是 ?ABC 的外接圆直径. 求证: (1) AB ? AC ? AE ? AD (2) ?BAE ? ?DAC

A

C

B

D

C

2、圆心角 ?BOC 和圆周角 ?BAC 之间有什么关系? 二、新课导学 1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 2.圆心角定理:圆心角的度数 它所对弧的度数。 3.圆周角定理的推论 推论①:同弧或等弧所对的圆周角 ; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧 。 推论②:半圆(或直径)所对的圆周角是 ;

【课时作业】 (大小题均写解题过程) E 1.下列说法中:①直径相等的两个圆是等圆;②长度相同的两条弧是等弧;③圆中最长的弦 是过圆心的弦; ④一条弦把圆分成两条弧, 这两条弧不可能是等弧, 正确的序号是 . 2.如图所示,已知 A 、 B 、 C 、 D 、 E 均在⊙O 上,且 AC 为 ⊙O 的直径, B 则 ?A ? ?B ? ?C = .
A E C D

O

90 0 的圆周角所对的弦是



3. 在 半 径 为 7cm 的 圆 内 有 长 为 7 3cm 的 弦 , 则 此 弦 所 对 圆 周 角 的 度 数 为 . 4.已知:如图, AB 是弦 ?O 的一条弦, ?ACB 的平分线交 AB 于点 E ,交⊙O 于点 D . 求证:

三自主探究 1.如图所示,OA 是⊙O 的半径, 以 OA 为直径的 ?C 与⊙O 的弦 AB 相交于 D , 求证:D 是 AB 的中点. B

D A C O

AC DC . ? CE CB
A

C B O

E

D

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预习探究自我评价
1. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,若∠BOD=140°,则∠BCD = ( A.140° B.110° C.70° D.20° )

圆内接四边形的性质与判定定理
【学习目标】 1. 掌握圆内接多边形和多边形的外接圆的定义; 2. 掌握圆内接四边形的性质定理及其证明; 3. 掌握圆内接四边形的判定定理及其推论并会证明定理; 4. 能用定理和推论解决相关的几何问题。 【学习过程】 新课导学 1.圆内接四边形性质定理 1:圆内接四边形的对角 。 性质定理 2:圆内接四边形的外角等于 。 2.圆内接四边形判定定理: 如果一个四边形的对角 , 那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.判定定理的推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的 ,那么这个四边形的四个 顶点共圆。 三、典型例题 例 1.如图,四边形 ABCD 中, ?1 ? ?2 ,求证: A、B、C、D 四点共圆.(用圆内接四边 D 形判定定理的证明方法证明) C 1 2

2. 如图,四边形 ABCD 内接于 ? O ,它的对角线把四个内角分成八个角,其中相等的角有 ( ) A.2 对 B.4 对 C.6 对 D.8 对

T1

T2

3. 如图,已知 PA、PB 是圆 O 的切线,A、B 分别是切点,C 为圆 O 上不与 A、B 重合的另一点, 若∠ACB=120°,则∠APB=_________. 4. 如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B,C 两点,圆心 O 在∠ PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点.∠OAM+∠APM=________.
P

A

A

B
P

C

O

A B

O M

例 2.如图,已知四边形 ABCD 内接于圆, ,延长 AB 和 DC 相交于 E , EG 平分 ?E ,且与

C

B

BC、AD 分别相交于 G、F. 求证: ?CFG ? ?DGF .

A B G D F C
A O

T3
?

T4 .

8.如图,AB 为半圆 O 的直径,C、D 为半圆上的两点, ?BAC ? 20 ,则 ?ADC ?

E

D C

B

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2.3(1)圆的切线的判定和性质
学习目标:理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题. 重(难)点预见重点:切线的判定定理;切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目: 学习流程 一 自学探究 探究任务一 1、 直线与圆的位置关系有几种?分别是那些关系?直线与圆的位置关系的判断方 法有哪几种?

由此可以得出: 二 切线的性质定理 圆的切线 ( ) 过切点的半径。 小结: 一条直线若满足①过圆心,②过切点,③垂直于切线这三点中的( 必然满足第三点。由此得到 推轮 1 经过圆心且垂直于切线的直线经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线经过圆心

)两点,就

探究任务三 师生互动 例 1、 (教材 13 页例 3)如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,求证直线 AB 是 ⊙O 的切线。

o

A
2.直线与圆相切有哪几种判断方法? 探究任务二 1、思考作图:已知:点 A 为⊙o 上的一点,如和过点 A 作⊙o 的切线呢? 交流总结:根据直线要想与圆相切必须 d=r,所以连接 OA 过 A 点作 OA 的垂线 从作图中可以得出: 一 切线的判定定理 经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考:如图所示,它的数学语言该怎样表示呢? 3、思考探索;如图,直线 l 与⊙O 相切于点 A,OA 是过切点的半径, 直线 l 与半径 OA 是否一定垂直?你能说明理由吗?

C

B

例 2.如图,点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点,过 D 作 DE⊥OB 于 E,以 DE 为半径作⊙D, 判断⊙D 与 OA 的位置关系, 并证明你的结论。 (无点作垂线证半径)
A

方法小结:如何证明一条直线是圆的切线
D

C

D A

切线长定理:过圆外一点做圆的两条切线,这两条切线长相等 四、当堂检测 E O B 1、下列说法正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线. B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线 2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点 C,点 B 在圆上,且 AB=BC, ∠A=30. 求证:直线 AB 是⊙O 的切线.

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A

D C

O

B

高二数学 选修 4—1 学案
2.3(2)圆的切线的性质及判定定理
学习目标 1,是学生深刻理解切线的性质及判定定理,并能初步运用它解决有关问题 2.,通过判定定理和切线判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力 3,通过学生自己实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性 学习重难点 重点是切线的判定定理和切线判定的方法 难点是切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外 端;二是直线垂直于这条半径;学生开始时掌握不好并极容易忽视 课前预习 一:知识链接 复习 1:圆与直线的位置关系: 复习 2:设⊙O 的半径为 r,直线 l 与圆心 O 的距离为 d 则他们与圆与直线的位置关系是什么? 二:问题导学 问题 1:圆的切线的性质? 问题 2:圆的切线的判定理? 三:试一试 1:如图,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过 BC 的中点 D, DE⊥AC.求证:DE 是⊙O 是切线.
C

新课探究 探究 1 如图, 已知∠C=90°, 点 O 在 AC 上, CD 为圆 O 的直径, 圆 O 切 AB 于 E, 若 BC=5, AC=12,求圆 O 的半径。 B E

C D

A

探究 2 如图,△ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,圆O与腰AB相切于点D,求证: AC与圆O相切
A D

C B O

E D

※ 模仿练习 练 1. 已知:OA 和 OB 是⊙O 的半径,并且 OA⊥OB,P 是 OA 上任意一点,BP 的延长线交⊙O 于 Q.过 Q 作⊙O 的切线交 OA 的延长线于 R,.求证:RP=RQ
B
B

O

P

A R Q

2: 如图. AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过 C 点的切线互相垂直,垂足为 D.求证: AC 平分∠DAB

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审核人 学号

马金香

授课时间 课前批改

编号 课后批改

1

探究 1 如图,DE切圆O于A,AB,AC是圆O的弦, 若弧AB=弧 AC,求证:∠BAD =∠EAC

C B A

2.4 弦切角的性质
学习目标 1. 理解弦切角的概念; 2. 掌握弦切角定理及推论,并会运用它们解决有关问题; 3. 进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法; 学习重难点 弦切角定理及其应用是重点. 弦切角定理的证明是难点. 一:知识链接 复习 1:什么叫圆心角?复习 2:什么叫圆周角? 二:问题导学 问题 1:弦切角的定义? 问题 2:弦切角的性质? 三:试一试 试一试 1 下图中,PQ 是圆的切线,切点为点 A,则图中共有几个弦切角?

E

探究 2 如图 AB 为圆 O 的直径,弦 CD∥AB,AE 切圆 O 于 A,交 CD 的延长线于 E,求证: BC?=AB*DE E A D C

D

B

B P

C A Q

※ 模仿练习 练 1. 如图:点 D 是⊙O 的半径 OA 上一点,经过点 D 作弦 BC⊥AO,过 C 引⊙O 的切线 与 OA 的延长线交于点 E.求证:CA 平分∠BCE

B A O D C
B
2:如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,直线 CE 和⊙O 切于点 C,AD⊥CE,垂足 为 D,求证:AC 平分∠BAD

E

·
C

O

练 2. 已知:BC 与⊙O 相切于点 B,AF 为⊙O 的直径, CE⊥AF,垂足为 E,求证: CD=CB

A D
新课探究

E

A D C B

E O F

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选修 4—1 学案
授课时间 课前批改 编号 课后批改 1

例 1: 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为 12 厘米和 16 厘米两段,第二条弦的长为 32 厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长. 根据题意列出方程并求出相应的解.

2.5
教学目标:

和圆有关的比例线段
三.课堂练习一
练习 1: 如图,AP=2 厘米,PB=2.5 厘米,CP=1 厘米,求 CD.

理解相交弦定理及其推论; 掌握切割线定理及其推论, 并初步学会运用它们进行计算和证明; 教学重点:正确理解相交弦定理及其推论.切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到 的重要定理. 教学难点: 教学活动: 一.复习导入: 1.证明:已知:弦 AB 和 CD 交于⊙O 内一点 P. 求证:PA· PB=PC· PD. 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系

练习 2: 如图,CD 是⊙O 的直径,AB⊥CD,垂足为 P,AP=4 厘米,PD=2 厘米.求 PO 的长.

相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 2.从一般到特殊,发现结论. 对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直 考: (1)若 AB 是直径,并且 AB⊥CD 于 P.根据相交弦定理,能得到什么结论? 推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. (2) 若再连结 AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有: PC2=PA· PB ;AC2=AP· AB;CB2=BP· AB 思 练习 3 : 如图:在⊙O 中,P 是弦 AB 上一点,OP⊥PC,PC 交⊙O 于 C. 求证:PC2= PA· PB

二.范例讲解一

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例 2:如图 7-90,两个以 O 为圆心的同心圆, AB 切大圆于 B, AC 切小圆于 C,交大圆于 D、 E.AB=12,AO=15,AD=8.求:两圆的半径.

2.5

和圆有关的比例线段

探究:1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点 P,那么该点到割 线与圆交点的四条线段 PA,PB,PC,PD 的长之间有什么关系?

五.课堂练习二
2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时,猜想:由圆外这点到割线与 圆的两交点的两条线段长和该点的切线长 PA,PB,PT 之间又有什么关系? 1、 P 为⊙O 外一点, OP 与⊙O 交于点 A, 割线 PBC 与⊙O 交于点 B、 C, 且 PB=BC. OA=7, PA=2,求 PC 的长.

3、用语言表达上述结论. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项. 推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等.(也叫做割线定理) 2、已知:如图 7-92,⊙O 和⊙O′都经过 A 和 B,PQ 切⊙O 于 P,交⊙O′于 Q、M,交 AB 的延长线于 N.求证:PN2=NM·NQ.

四.范例讲解二
例 1 : 已知:⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于点 A 和 B,PA=6 厘米,AB=8 厘米, PO=10.9 厘 米,求⊙O 的半径.

嫩江一中高二数学导学案
设计(主备人) 王杰 学生姓名 审核人 学号 马金香

选修 4—1 学案
授课时间 课前批改 编号 课后批改 1 【基本技能】 1、如图,已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3, AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为_____________.

课题:与圆有关的比例线段(1) 【知识梳理】 (1)相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的____相等. (2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的____相等. (3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的 两条线段长的_______. (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点 的连线平分两条切线的______. 【典型例题】 1、如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE∥AC,并交 CD 于 E,交圆于 F,过 A 点 的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (1)求 AC 的长;(2)求证:EF=BE.

2、如图,PC 切⊙O 于点 C,割线 PAB 经过圆心 O,弦 CD⊥AB 于点 E.已知⊙O 的半 径为 3,PA=2,则 PC=________,OE=________.

3、如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD= ∠OAP=30°,则 CP=________.

2a , 3

2、如图,在半径为 4 的⊙O 中,AB、CD 是两条直径,M 为 OB 的中点,CM 的延长 线交⊙O 于点 E,且 EM>MC.连接 DE,DE= 15,求 EM 的长.

4、如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB=1,

BC PD=3,则 的值为________. AD

嫩江一中高二数学导学案
设计(主备人) 王杰 学生姓名 审核人 学号 马金香

选修 4—1 学案
授课时间 课前批改 编号 课后批改 1

线于点 D,CM=MN=ND,则 AD 的长等于________cm. 8.(2010·广东卷)如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD 2a = ,∠OAP=30°,则 CP=______. 3 9.(2010·北京卷)如图,⊙O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A. 若 BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则 DE=______,CE=______.

课题: 直线与圆的位置关系单元练习
1.(2010·天津卷)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB =1,PD=3,则 的值为_______________

BC AD

10.如图,PC 切⊙O 于点 C,割线 PAB 经过圆心 O,弦 CD⊥AB 于点 E,已知⊙O 的半径为 3, PA=2,则 PC=________,OE=________.

2.(2010·湖南卷)如图所示,过⊙O 外一点 P 作一条直线与⊙O 交于 A,B 两点,已知 PA=2, 点 P 到⊙O 的切线长 PT=4,则弦 AB 的长为______. 3.如图所示,已知 PC、DA 为⊙O 的切线,C、A 分别为切点, CD 1 AB 为⊙O 的直径,若 DA=2, = ,则 AB=________. DP 2 4.(2010·陕西卷)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 =________.

11.如图,自圆 O 外一点 P 引切线与圆切于点 A,M 为 PA 的中点,过 M 引割线交圆于 B、C 两点.求证:∠MCP=∠MPB.

BD DA

13.(2010·江苏卷)如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC.

5.(2010·广东东莞)如图,已知 PA、PB 是圆 O 的切线,A、B 分别为切点,C 为圆 O 上不与 A、B 重合的另一点,若∠ACB=120°,则∠APB=________.

15.(2010·辽宁卷)如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S= AD·AE,求∠BAC 的大小. 2

6.(2010·广东佛山)如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD⊥AB 于 D 点,则 CD=________. 7.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 A,且 AC=2 2 cm,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延长


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