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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 从力做的功到向量的数量积导学案 北师大版必修4


从力做功到向量的数量积
【学习目标】 (1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. (2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. (3) 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. (4) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的 垂直关系. 【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律. 【学习难点】运算律的理解 【知识衔接】 1.已知 a (x1, y1)

? ?

? b (x2, y2)

求 a + b , a ? b 的坐标;

? ?

? ?

2.已知 a (x, y)和实数 λ ,

求 λ a 的坐标;
? ??

?

3.已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,求 AB 的坐标; 4.向量 a 、b 共线的两种判定方法:a ∥ b ( b ? 0 )▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、 ▁▁▁▁▁。 【学习过程】 1.由力做的功:W = |F|?|s|cos?, ?是 F 与 s 的夹角;可以定义:平面向量数量积(内积) 的定义,a?b = |a||b|cos?, 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。?

?

?

?

?

2.向量夹角的概念:▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。范围 0?≤?≤180?。 由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别;要注意的几个问题: ①两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定。 ②两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 ab 是 两个数量的积,书写时要严格区分。 ③在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能 推出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0.这就得性质 2. ④已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c ? a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA| O a ?? c b A

b?c = |b||c|cos? = |b||OA|

1

?a?b=b?c 但 a ? c ⑤在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. 3.问题(1).射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指出应注意哪些问题. B O b ? B O b ? A B O b ? O (B ) 1 OO a A

A O a B1 B1 O a O O O O 定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的射影。 注意:①射影也是一个数量,不是向量。 ②当?为锐角时射影为正值; 当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为 0; 当? = 0?时射影为 |b|; 当? = 180?时射影为 ?|b|.

问题(2).如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积的几何意义你能得到两个 向量的数量积哪些的性质. 几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。 ①e?a = a?e =|a|cos? ②a?b ? a?b = 0 ③当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a| 或 | a |? a ? a
2

强调:▏a+b▕=▁▁▁▁▁▁▁▁▁; ④cos? =

a?b (|a||b|≠0) | a || b |

⑤ |a?b|≤|a||b| 4.向量数量积的运算满足:

2

1.交换律:a?b = b?a 2.数乘结合律:( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b) 3.分配律:(a + b) ?c = a?c + b?c

例 1.已知: a ? 2, b ? 3, a与b 的夹角为 1200 , 求(1)a ? b .(2) a ? b .

2

2

【巩固练习】

3.判断下列各题正确与否: ①若 a = 0,则对任一向量 b,有 a?b = 0. ②若 a ? 0,则对任一非零向量 b,有 a?b ? 0. ③若 a ? 0,a?b = 0,则 b = 0. ④若 a?b = 0,则 a 、b 至少有一个为零. ⑤ 若 a ? 0,a?b = a?c,则 b = c. ⑥若 a?b = a?c,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立. ⑦对任意向量 a、b、c,有(a?b) ?c ? a? (b?c). ⑧对任意向量 a,有 a = |a| .
2 2

( ( ( ( ( ( )

) ) )

) ) ( ) )

(

【学习反思】

【作业布置】

3


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