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递推数列通项公式的常用求法


递推数列通项公式的常用求法
【知识归纳】 一、识别类型,分别处理。--------------已知递推公式求通项公式主要有以下几个类型:

(一)已知 a1 ? m 和通项之间关系 an?1 ? f (an ) ,求 an 。
【类型一】叠加法: 已知 a1 ? m , an?1 ? an ? f (n) ,其中 f ( n) 为可求和数列

。 关键词:------此法要求: an 与 an ?1 系数同,且 f ( n) 为可求和数列。 如: an?1 ? an ? 2 ; an?1 ? an ? n ; an?1 ? an ? n2 ? n ? 1 ; an?1 ? an ? 2n 等等。 【类型二】叠乘法:已知 a1 ? m , an?1 ? an ?f (n) ,其中 f ( n) 为可求积数列。 关键词:------此法要求:递推式中没有常数项,且 f ( n) 为可求积数列。 如: an?1 ? 2an ; an ?1 ? an

n ; (n ? 1)an?1 ? nan 等等。 n ?1

【类型三】转化为以 p 为公比的等比数列 已知 a1 ? m , an?1 ? pan ? q (其中 p, q 为常数,且 p ? 0,1 ) 。 方法 1:设 an?1 ? pan ? q ①,则 an ? pan?1 ? q ②;①-②得:

an?1 ? an ?p an ? an?1

? {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 为首项,p 为公比的等比数列,? an ? an?1 ? (a2 ? a1 ) pn?2
从而转化为【类型一】来处理。 方法 2:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ? ? ?

q 转化为等比数列来处理 p ?1

【类型四】转化为以 p 为公比的等比数列 已知 a1 ? m , an?1 ? pan ? bn ? c (其中 p, b, c 为常数,且 p ? 0,1 ) 。 如: an?1 ? 2an ? 2n ? 1 ①,设存在常数 k , ? 满足 an?1 ? k (n ? 1) ? ? ? 2(an ? kn ? ? ) ②; 则数列 {an ? kn ? ?}是以 2 为公比的等比数列。 对②式化简整理得:an?1 ? 2an ? kn ? (? ? k ) , 对比①式 k ? 2, ? ? 1 ;则数列 {an ? 2n ? 1} 是以 2 为公比的等比数列,然后再处理之。 【类型五】转化为以 p 为公比的等比数列 已知 a1 ? m , an?1 ? pan ? cqn?1 (其中 p, c, q 为常数,且 p ? 0,1 ) 。 法 1: (待定系数法)设有 ? 满足 an?1 ? ?q ? p(an ? ?q
n n?1

) ,对比原式求出 ? ,余下问题

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类似【类型四】 法 2:对原式 an?1 ? pan ? cqn?1 两边同时除以 pn?1 得: 然后用叠加法处理之。 【类型六】取倒数法-----已知 a1 ? m , an ?1 ?

an ?1 an c q ? n ? 2 ?( )n ?1 , n ?1 p p p p

pan ,取倒数后转化为【类型三】处理。 qan ? r

【类型七】特征根法: a1 ? m, a2 ? h , an?2 ? pan?1 ? qan ( p ? 0,1 ) 用待定系数法将 an?2 ? pan?1 ? qan 设为 an?2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an ) 得:

an?2 ? (? ? ? )an?1 ? ? ?? an ;从而 ? ? ? ? p, ? ?? ? q ,解出 ? , ? 值。 ? {an?1 ? ? an } 是以 β 为公比的等比数列,再处理之。

,n ?1 ?a (二)已知 Sn ? f (an ) , Sn ? f (an ) 关系求通项,-----用 an ? ? 1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
例题 1:数列 {an } 分别满足下列关系,求下列数列的通项公式 an 。 ①已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ,求通项公式 an ;



②已知 a1 ? 1 , (n ? 1)an?1 ? nan 求 an ;

若 a1 ?

1 2n ? 3 an ?1 (n ? 2) 求通项公式 an , an ? 2n ? 1 3

第 2 页

③已知 a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2(n ? 2) ,求通项公式 an

④ a1 ? 1, an ?1 ?

1 an ? 2n ? 1 ,求通项公式 an 。 2

⑤已知 an?1 ? 3an ? 2n , a1 ? 1 ,计算 a2 , a3 , a4 的值;并求通项公式 an ,证明你的结论。

⑥若 a1 ? a(a ? 0), an ?

2an ?1 (n ? 2, n ? N ? ) 1 ? an?1

Ⅰ)用 a 表示 a1 , a2 , a3 ;Ⅱ)求通项公式 an

⑦已知 a1 ? ?

1 , a2 ? 2, an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an ,求通项公式 an 。 2

第 3 页

题 2(06.福建.文.22)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

题 3 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式:

an ? 2an ? 4Sn 成立,求 ?an ?的通项 an .
2

题 4 (福建文 21)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ?N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

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求通项公式的常用方法作业
练习:1、已知数列的前 n 项和为 Sn=an-1(a 为不为零的实数) ,则此数列 ( ) A、一定是等差数列 B、一定是等比数列 C、或是等差数列或是等比数列 D、既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 2、已知 a1 ? 1 an ? n(an?1 ? an) ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ( , A. 2n ? 1 B.( )

3、 在数列 {a n } 中, 3a n ?1 A. 5 B. 7

n ? 1 n ?1 ) C. n 2 D. n n ? 3a n ? 2 (n ? N), 且 a 2 ?a 4 ? a 7 ? a 9 ? 20, 则 a 10 为
C. 8 D. 10

( )

4、若数列 {an } 的前 n 项的和 S n ? A. an ? 2 ? 3n?1

3 a n ? 3 ,那么这个数列的通项公式为( ) 2 B. an ? 3? 2 n C. an ? 3n ? 3 D. an ? 2? 3n

5、已知数列 {an } 满足 a1 =1, an?1 ? 2an ? 2n ,则 an =_______________. 6、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 2an?1 ? 2an ? 1,则 an =_________________. 7、已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且

an n ?1 ,则 an =________________. ? a n ?1 n ? 1
1 n ?1 ? n
(n ? 2) ,则 an =_______________.

8、 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

9.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

第 5 页

10.设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

11. 数列 ?an ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an .

12.已知数列 ?an ? 满足 an ?

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1

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求通项公式的常用方法
②答案: an ?

1 4n ? 1
2

③答案: an ? 2? n?1 ?1 ④答案: an ? 3

3 2n ?1

? 4n ? 6

⑤答案: an ? 3n ? 2n ⑥ an ?

1 1 1 1 ? ( ? 1)( )n?1 a 2

⑥解:∵ an ? 1 ?

4an?1 ? 4 ,两边取倒数得 3an?1 ? 1

1 1 3 1 1 3 3n ? 1 可化为等差数列关系式. ? ? . ? ? (n ? 1) ? an ? 1 a1 ? 1 4 4 an ? 1 an?1 ? 1 4 3n ? 5 ∴ an ? 3n ? 1 2 2 题 3 解: an ? 2an ? 4S n ? an?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ,

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,∵ an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 . 即 ?an ?是以 2 为公差的
2 等差数列,且 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 .

2 2 ∴ an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4(Sn ? Sn?1 ) ? 4an

∴ an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n 题 4 解: (Ⅰ)? an?1 ? 2Sn ,? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?

Sn ?1 ? 3. Sn

又? S1 ? a1 ? 1 ,? 数列 ?Sn ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ?N* ) . 当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2? n?2 (n ≥ 2) ,? an ? ? 3

?1,
n?2

n ? 1,

3 ? ?? ,n ≥ 2.

(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? 0 ? 6? 1 ? ? ? 2n? n?2 ,…………① 3 3 3

3Tn ? 3 ? 4? 1 ? 6? 2 ? ?? 2n? n?1 ,………………………② 3 3 3
① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ?? 3n?2 ) ? 2n? n?1 3

3(1 ? 3n ? 2 ) 1 ? 1? ? 2 ? 2? ? 2n? n ?1 ? ?1 ? (1 ? 2n)? n?1 .?Tn ? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 3 3 1? 3 2 ? 2?
又?T1 ? a1 ? 1也满足上式,?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?
6、

1-4CDCD

5、 an ? n ? 2n?1
n

n?3 2

7、

4 n(n ? 1)

8、 n ? 1 ? 2 ? 1

9 解:将 an ? 3n ? 2an?1 两边同除 3 ,得

an 2a an 2 a n ?1 ? 1 ? n ?1 ? n ? 1 ? n n 3 3n ?1 3 3 3

第 7 页

设 bn ?

an 2 2 2 1 ,则 bn ? 1 ? bn ?1 .令 bn ? t ? (bn ?1 ? t ) ? bn ? bn ?1 ? t n 3 3 3 3 3 a1 2 8 ? 3 ? ? 为首项, 条件可化成 bn ? 3 ? (bn ?1 ? 3) , 数列 ? n ? 3? 是以 b1 ? 3 ? b ?t ? 3. 3 3 3 an 2 8 2 n ?1 为公比的等比数列. bn ? 3 ? ? ? ( ) .因 bn ? n , 3 3 3 3 8 2 ? a n ? bn 3n ? 3n (? ? ( ) n ?1 ? 3) ? an ? 3n?1 ? 2n?2 3 3

10 解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 a n , a n ?1 代入递推式,得

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ?1) ? B? ? 2n ?1
? A ? 3A ? 2 ? ? ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1) ,? ? ? B ? 3B ? 3 A ? 1 ?

?A ? 1 ? ?B ? 1

? 取bn ? an ? n ? 1 …(1)则 bn ? 3bn?1 ,又 b1 ? 6 ,故 bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n
代入(1)得 an ? 2 ? 3n ? n ? 1 说明: 若 f (n) 为 n 的二次式, (1) 则可设 bn ? an ? An2 ? Bn ? C ;(2) 本题也可由 an ? 3an?1 ? 2n ? 1 , an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1( n ? 3 ) 两式相减得 an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2 转化为 bn ? pbn?1 ? q 求. 11 解 : ∵

a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1



n



2





a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? an ? ?2(n ? 1) ? a n?1 ? ? ?a n ? 2 ? a n?1 ? a n ? ? an ? 2 ? 1 (a n ?1 ? 2) 2

1 a n?1 ? 1 2

令 bn ? an ? 2 ,则 bn ?

1 bn ?1 ,且 b1 ? 1 ? 2 ? ?1 2 ?bn ? 是以 1 为公比的等比数列, bn ? ?1? ( 1 ) n?1 ? ?( 1 ) n?1 ,∴ an ? 2 ? ( 1 ) n?1 . 2 2 2 2

12 解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?

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