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2012届高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何


2012 届高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何 届高三数学二轮专题复习教案―― ――平面解析几何

一、本章知识结构: 本章知识结构:

二、重点知识回顾 1.直线 . (1).直线的倾斜角和斜率 直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为 k,倾斜角为α,它们的关系为:k=tanα; ,倾斜角为α 它们的关系为: = α

/>,B(x 若A(x1,y1) A( ,B( 2,y2) 则 K AB = , (2) .直线的方程 直线的方程

y 2 ? y1 。 x 2 ? x1

a.点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) ; b.斜截式: y = kx + b ; c.两点式:

y ? y1 x ? x1 x y = ; d.截距式: + = 1 ; y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b

e.一般式: Ax + By + C = 0 ,其中 A、B 不同时为 0. (3).两直线的位置关系 两直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交。 若直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则

l1 ∥ l 2 ? k1 = k 2 , l1 ⊥ l 2 ? k1 · k 2 =-1。
(4)点、直线之间的距离 ) 点 A(x0,y0)到直线 Ax + By + C = 0 的距离为:d= 两点之间的距离:|AB|= (x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 )
2

| Ax0 + By 0 + C | A2 + B 2



2

2. 圆 (1)圆方程的三种形式 标准式: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ,其中点(a,b)为圆心,r>0,r 为半径,圆的标 准方程中有三个待定系数, 使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的 大小. 一般式: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其中 ? ? ?

D E? 1 , ? 为圆心 ? D 2 + E 2 ? 4F 为 2? 2 ? 2

半径, ,圆的一般方程中也有三个待定系数,即 D、E、F.若已知条件中没有直接给出圆心 的坐标(如题目为:已知一个圆经过三个点,求圆的方程) ,则往往使用圆的一般方程求圆 方程. 参数式:以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是 ?

? x = r cos θ , (其中θ为参数) . ? y = r sin θ ? x = a + r cos θ , 以(a,b)为圆心、r 为半径的圆的参数方程为 ? (θ为参数) ,θ的几 ? y = b + r sin θ

何意义是: 以垂直于 y 轴的直线与圆的右交点 A 与圆心 C 的连线为始边、 C 与动点 P 的连 以 线为终边的旋转角,如图所示. 三种形式的方程可以相互转化,其流程图为:

2.二元二次方程是圆方程的充要条件 “A=C≠0 且 B=0”是一个一般的二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表

示圆的必要条件. “A=C≠0、 B=0 二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件为 且 D 2 + E 2 ? 4 AF > 0 ” ,它可根据圆的一般方程推导而得. 3.参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类,其一是普通方程,它直接给出了曲线上点的横、纵 坐标之间的关系; 其二是参数方程, 它是通过参数建立了曲线上的点的横、 纵坐标之间的 (间 接)关系,参数方程中的参数,可以明显的物理、几何意义,也可以无明显意义. 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别, 前者是利用参数将横、 纵坐标间接地连结 起来, 3.圆锥曲线 圆锥曲线 (1).椭圆的标准方程及其性质 椭圆的标准方程及其性质

椭圆

? x = a cos ? x2 y2 + 2 =1的参数方程为: ? 的参数方程为: 为参数) ( ? 为参数) 。 2 a b ? y = b sin ?

(2)双曲线的标准方程及其性质 双曲线的标准方程及其性质

双曲线

? x = a sec ? x2 y2 ? 2 =1的参数方程为: ? 的参数方程为: 为参数) ( ? 为参数) 。 2 a b ? y = b tan ?

(3).抛物线的标准方程及其性质 抛物线的标准方程及其性质 平面内,到一个定点 F 和一条直线 l 的距离相等的点的轨迹,叫做抛物线。定点 F 叫做抛物线的焦点,直线 y 2 = 2 px 叫做抛物线的准线。 物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为: y 2 = ±2 px( p > 0 ) , 四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此抛

x 2 = ±2 py ( p > 0 ) ,其中:

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 参数 p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒 为正值; p 值越大,张口越大;

p 等于焦点到抛物线顶点的距离。 2

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。标准方程的特点:方程的左边是某变量的平方项,右边是另一变 量的一次项, 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同, 一次项系数的符号决定 抛物线的开口方向,即对称轴为 x 轴时,方程中的一次项变量就是 x , 若 x 的一次项前符 号为正,则开口向右,若 x 的一次项前符号为负,则开口向左;若对称轴为 y 轴时,方程中 的一次项变量就是 y , 当 y 的一次项前符号为正,则开口向上,若 y 的一次项前符号为负, 则开口向下。 抛物线的简单几何性质 方程 性质
2 设抛物线 y = 2 px ( p > 0 )

焦点

范围

对称性 关于 x 轴对称

顶点 原点

离心率

准线

通径

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?
2

x≥0

e =1

x=?

p 2

2p

? x = 2 pt 2 的参数方程为: 为参数) 抛物线 y = 2 px 的参数方程为: ? (t 为参数) 。 ? y = 2 pt
(4).圆锥曲线 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线 的统一定义 圆锥曲线 椭圆 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线, 定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0<e<1 时, 是椭圆,当 e>1 时,是双曲线,当 e=1 时,是抛物线. 4. 直线与圆锥曲线的位置关系: 在这里我们把圆包括进来) 直线与圆锥曲线的位置关系: 在这里我们把圆包括进来) (在这里我们把圆包括进来 ( (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的 个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程;;b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点 A 坐标,一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q,且中点为 A,求 P、Q 所 在的直线方程

(4).已知一直线方程, 某圆锥曲线上存在两点关于直线对称, 求某个值的取值范围 (或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次 曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想 方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式 新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析, 这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。 三、考点剖析 直线、 考点一 点、直线、圆的位置关系问题 【内容解读 内容解读】点与直线的位置关系有:点在直线上、直线外两种位置关系,点在直线外 内容解读 时,经常考查点到直线的距离问题;点与圆的位置关系有:点在圆外、圆上、圆外三种;直 线与圆的位置关系有:直线与圆相离、相切、相交三点,经常用圆心到直线之间的距离与圆 的半径比较来确定位置位置关系;圆与圆的位置关系有:两圆外离、外切、相交、内切、内 含五种,一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离,再与两圆的半径之和或差比较。 【命题规律 命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主,难度不大,属容易题。 命题规律 例1、(2008 全国Ⅱ卷文)原点到直线 x + 2 y ? 5 = 0 的距离为( (2008 全国Ⅱ卷文) A.1 B. 3 C.2 D. 5 )

解:原点为(0,0),由公式,得: d =

?5 1 + 22

= 5 ,故选(D) 故选(D) 。

点评:本题直接应用点到直线的公式可求解,属容易题。 点评 例2、 (2007湖南理)圆心为 (11) 且与直线 x + y = 4 相切的圆的方程是 , 解:圆与直线相切,圆心到直线的距离为半径,所以,R= .

|1+1- 4 | 1+1

= 2 ,所以,

所求方程为: ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 2

点评: 点评:直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容,对于相切问题,经常采用点到直线 的距离公式求解。 例3、(2008 重庆理)圆 O1:2+y2-2x=0 和圆 O2:2+y2-4y=0 的位置关系是 ( 重庆理) x x (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 2 2 2 2 (x 解:配方,得:圆 O1: -1) +y =1和圆 O2:x +(y-2) =4, 圆心为(1,0)(0,2) , ,半径为 r=1,R=2, 圆心之间距离为: ( - 0) + 0 - 2) = 5 ,因为2-1< 5 <2+1, 1 ( 所以,两圆相交.选(B) . 点评:两圆的位置关系有五种,通常是求两圆心之间的距离,再与两圆的半径之和或之 点评 差来比较,确定位置关系.
2 2

)

直线、 考点二 直线、圆的方程问题 【内容解读 内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形 内容解读 式,各有特点,根据具体问题,选择不同的解析式来方便求解。圆的方程有标准式一般式两 种;直线与圆的方程问题,经常与其它知识相结合,如直线与圆相切,直线与直线平行、垂 直等问题。 【命题规律 命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现,属容易题。 命题规律 例4、(2008 广东文)经过圆 x 2 + 2 x + y 2 = 0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线 (2008 广东文) 方程是( ) A. x ? y + 1 = 0 B. x ? y ? 1 = 0 C. x + y ? 1 = 0 D. x + y + 1 = 0 解 :易知点 C 为 (?1, 0) ,而直线与 x + y = 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y = x + b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b = 1 ,故待求的直线的方程为
x ? y + 1 = 0 ,因此,选(A.) 。
点评:两直线垂直,斜率之积为-1,利用待定系数法求直线方程,简单、方便。 点评 例5、(2008 山东文)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y = 0 和 x 山东文) 轴相切,则该圆的标准方程是( )

7? ? A. ( x ? 3) + ? y ? ? = 1 3? ?
2

2

B. ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 1
2

3? ? C. ( x ? 1) + ( y ? 3) = 1 D. ? x ? ? + ( y ? 1) 2 = 1 2? ? | 4a ? 3 | 1 = 1,∴ a = 2(舍 ? ). 故选 B. 解:设圆心为 ( a,1), 由已知得 d = 5 2
2 2

点评:圆与 x 轴相切,则圆心的纵坐标与半径的值相等,注意用数形结合,画出草图来 点评 帮助理解。 曲线(轨迹) 考点三 曲线(轨迹)方程的求法 【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点,常见的求轨迹方程的方法: 内容解读

(1)单动点的轨迹问题——直接法+ 待定系数法; (2)双动点的轨迹问题——代入法; (3)多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。 【命题规律 命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现,属中档题。 命题规律 例6、 (2008 深圳福田模拟)已知动圆过定点 (1, 0 ) ,且与直线 x = ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是 否 存 在 直 线 l , 使 l 过 点 ( 0 , 1 ) 并 与 轨 迹 C 交 于 P, Q 两 点 , 且 满 足 ,

uuu uuur r OP ? OQ = 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
(1)如图,设 M 为动圆圆心, F (1, 0 ) ,过点 M 作直线 x = ?1 的垂线,垂足为 解:

N ,由题意知: MF = MN 即动点 M 到定点 F 与到定直线 x = ?1 的距离相等, M 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F (1, 0 ) 为焦点, N A x = ?1 为准线, o 2 ∴动圆圆心的轨迹方程为 y = 4 x x = ?1 (2)由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y ? 1)( k ≠ 0) ? x = k ( y ? 1) 由? 2 得 y 2 ? 4ky + 4k = 0 y = 4x ? 2 △ = 16k ? 16k > 0 ,∴ k < 0或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 + y2 = 4k , y1 y2 = 4k uuu r uuur uuu uuur r 由 OP ? OQ = 0 ,即 OP = ( x1 , y1 ) , OQ = ( x2 , y2 ) ,于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,
即k
2

x

F (1, 0 )

( y1 ? 1)( y2 ? 1) + y1 y2 = 0 , (k 2 + 1) y1 y2 ? k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ,
∴ 直线 l 存在,其方程为 x + 4 y ? 4 = 0

4k (k 2 + 1) ? k 2 ? 4k + k 2 = 0 ,解得 k = ?4 或 k = 0 (舍去) ,
又 k = ?4 < 0 ,

点评: 用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常 点评 本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解, 采用的方法,要求充分掌握圆锥曲线的定义,灵活应用。 例7、 (2008 广州模拟) 已知曲线 Γ 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2 的距离之和为 4. (1)求曲线 Γ 的方程; (2)设过 ( 0, ?2 ) 的直线 l 与曲线 Γ 交于 C 、 D 两点,且 OC ? OD = 0 ( O 为坐标原 点) ,求直线 l 的方程. (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆, 解: 其中 a = 2 , c =

(

)

(

3, 0

)

uuur uuur

3 ,则 b = a 2 ? c 2 = 1 . 所以动点 M 的轨迹方程为

x2 + y2 = 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD = 0 ,∴ x1 x2 + y1 y2 = 0 .
2 2

uuur uuur

∵ y1 = kx1 ? 2 , y2 = kx2 ? 2 ,

∴ y1 y2 = k x1 ? x2 ? 2k ( x1 + x2 ) + 4 . ∴ (1 + k ) x1 x2 ? 2k ( x1 + x2 ) + 4 = 0 . ………… ①

? x2 2 ? + y = 1, 2 2 得 (1 + 4k ) x ? 16kx + 12 = 0 . 由方程组 ? 4 ? y = kx ? 2. ?
16k 12 , x1 ? x2 = , 2 1 + 4k 1 + 4k 2 12 16k 2 ? 2k ? +4=0. 代入①,得 (1 + k ) ? 2 1 + 4k 1 + 4k 2 2 即 k = 4 ,解得, k = 2 或 k = ?2 .所以,直线 l 的方程是 y = 2 x ? 2 或 y = ?2 x ? 2
则 x1 + x2 = 点评:本题考查椭圆的定义,椭圆与向量结合的综合题的解法。 点评 例8、 (2008 广东吴川模拟)已知点 P ( ?8, 0) 和圆 C: x + y ? 2 x + 10 y + 4 = 0 ,
2 2

(1)求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的直线 l 的方程; (2)过 P 点向圆 C 引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹。 (1)化圆的方程为: ( x ? 1) + ( y + 5) = 22 解:
2 2

圆心坐标: C (1, ?5)

由题意可得直线 l 经过圆 C 的圆心,由两点式方程得: 化简得: 5 x + 9 y + 40 = 0 直线 l 的方程是: 5 x + 9 y + 40 = 0 (2)解:设中点 M ( x, y ) ∵CM⊥PM ∴ ?PCM 是 Rt ? 有: PM 即:
2

y ?0 x +8 = ?5 ? 0 1 + 8
y

P A M C x B

+ MC = PC
2 2

2

( x + 8)

+ y 2 + ( x ? 1)2 + ( y + 5) 2 = 106

化简得: x 2 + 7 x + y 2 + 5 y ? 8 = 0 故中点 M 的轨迹是圆 x 2 + 7 x + y 2 + 5 y ? 8 = 0 在圆 C 内部的一段弧。 点评:合理应用平面几何知识,这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的 点评 知识,如勾股定理,垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。 考点四 有关圆锥曲线的定义的问题 【内容解读 内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容,除了在大题中考查 内容解读 轨迹时用到外,经常在选择题、填空题中也有出现。 【命题规律 命题规律】填空题、选择题中出现,属中等偏易题。 命题规律

上海文) 例 9、(2008 上海文)设 p 是椭圆 则 PF1 + PF2 等于( ) A.4 B.5 C.8

x2 y 2 + = 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点, 25 16
D.10

。 解:由椭圆的定义知: PF1 + PF2 = 2a = 10. 故选(D) 点评:本题很简单,直接利用椭圆的定义即可求解,属容易题。 点评 0) 则点 P 例10、 2008 北京理) ( 若点 P 到直线 x = ?1 的距离比它到点 (2, 的距离小 1, 北京理) 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解: 把 P 到直线 x = ?1 向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线的定义。 故选(D) 。 点评: 点评 本题考查抛物线的定义,将点 P 到 x=-1 的距离,转化为点 P 到 x=-2 的距离, 体现了数学上的转化与化归的思想。 2 12、 海南、宁夏理) 例 12、(2008 海南、宁夏理)已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点 P 的坐标为( ) A. (

1 1 ,-1) B. ( ,1) 4 4

C. (1,2) D. (1,-2)

解:点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图

PF + PQ = PS + PQ ,故最小值在 S , P, Q 三点共线时取得,
此时 P, Q 的纵坐标都是 ?1 ,点 P 坐标为 ( , ?1) ,所以选 A。 点评:点 P 到焦点的距离,利用抛物线的定义,转化为点 P 到准线之间的距离,体现 点评 数学上的转化与化归的思想,在数学问题中,经常考查这种数学思想方法。 考点五 圆锥曲线的几何性质 【内容解读 内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率,双曲线的对 内容解读 称性、顶点坐标、离心率和近近线,抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容, 离心率公式一样:e=

1 4

c ,范围不一样,椭圆的离心率在(0,1)之间,双曲线的离心 a

率在(1,+∞)之间,抛物线的离心率为 1, 【命题规律 命题规律】 命题规律 例 13、(2008 海南、宁夏文)双曲线 (2008 海南、宁夏文) A. 3 2 B. 4 2

x2 y 2 ? = 1 的焦距为( 10 2 C. 3 3 D. 4 3



。 解:因为 a= 10 ,b= 2 ,所以 c= 10 + 2 =2 3 ,2c=4 3 ,故选(D) 点评:本题考查双曲线中 a、b、c 之间的关系,焦距的定义,属容易题。 点评 例 14、(2008 福建文、理)双曲线 (2008 福建文、

x2 y2 + = 1(a > 0, b > 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,若 P a2 b2

为其上的一点,且 | PF1 |= 2 | PF2 | ,则双曲线离心率的取值范围为( A. (1,3) B. (1,3] C. (3, +∞) D. +∞) [3,



解:如图,设 PF2 = m , ∠F1 PF2 = θ (0 < θ ≤ π ) ,当 P 在右顶点 处θ = π , e =

m 2 + (2m) 2 ? 4m 2 cos θ 2c = = 5 ? 4 cos θ 2a m

∵ ?1 < cos θ ≤ 1 ,∴ e ∈ (1,3] 点评:本题考查离心率的公式及其意义,另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两 点评 边差小于第三边来求解,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 例 15、(2008 辽宁文) 已知双曲线 9 y 2 ? m 2 x 2 = 1( m > 0) 的一个顶点到它的一条渐近 (2008 辽宁文) 线的距离为 A.1

1 ,则 m = ( 5
B.2

) C.3 D.4

1 1 1 2 2 2 解: 9 y ? m x = 1( m > 0) ? a = , b = , 取顶点 (0, ) , 3 m 3 1 | ?3 × | 1 3 ? m 2 + 9 = 25 ∴ m = 4. 故选(D) 一条渐近线为 mx ? 3 y = 0, Q = 。 2 5 m +9
点评:本题主要考查双曲线的渐近线方程,点到直线的距离公式问题。 点评 考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题 【内容解读 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题; 内容解读】 能够把 内容解读 研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题; 会利用直线与圆锥曲线 方程所组成的方程组消去一个变量后, 将交点问题转化为一元二次方程根的问题, 结合根与 系数的关系及判别式解决问题; 能够利用数形结合法, 迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关 系,但要注意曲线上的点的纯粹性;涉及弦长问题时,利用弦长公式及韦达定理求解,涉及 弦的中点及中点弦的问题,利用点差法较为简便。 【命题规律 命题规律】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程,数形结合,分类讨论、化归等 命题规律 数学思想方法,因此这部分经常作为高考试题的压轴题,命题主要意图是考查运算能力,逻 辑揄能力。 例16、(2007 年重庆)已知以 F1 ( ?2, ,F2 (2, 为焦点的椭圆与直线 x + 3 y + 4 = 0 0) 0) 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( (A) 3 2 (B) 2 6 ) (D) 4 2

(C) 2 7

解:设椭圆方程为 mx + ny = 1( m ≠ n > 0). ,联立方程组:
2 2

?mx 2 + ny 2 = 1 ? , 消 x 得: (3m + n) y 2 + 8 3my + 16m -1=0, ? ?x + 3y + 4 = 0 ?
△=192m -4(16m-1)(3m+n)=0,整理,得: 3m + n = 16mn, 即:
2

3 1 + = 16. ,又 c=2,由焦点在 x 轴上信,所以, n m 1 ? ?m = 7 1 1 ? ? =4,联立解得: ? ,故长轴长为 2 7. m n ?n = 1 ? 3 ?
点评:直线与圆锥曲线只有一个交点时,经常采用联立方程组,消去一个未知数后,变 点评 成一元二次方程,由判别式来求解,但要注意,有时要考虑二次项的系数为 0 的特殊情况。 例17、(2007 年浙江)如图,直线 y = kx + b 与椭圆

x2 + y 2 = 1 交于 A,B 两点,记 4

△ AOB 的面积为 S .
(错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 )求在 k = 0 , 0 < b < 1 的条件下, S 的 错误 最大值; (错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 )当 AB = 2 , S = 1 时,求直线 AB 的方 错误 程. 解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) .

y A

O B

x

x2 由 + b 2 = 1 ,解得 x1, = ±2 1 ? b 2 , 2 4
所以 S =

图1

1 b x1 ? x2 = 2b 1 ? b 2 ≤ b 2 + 1 ? b 2 = 1 , · · 2

当且仅当 b =

2 时, S 取到最大值 1. 2

? y = kx + b, 1? ? ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 ,得 ? k 2 + ? x 2 + 2kbx + b 2 ? 1 = 0 , 2 4? ? + y = 1, ? ?4
? = 4k 2b 2 ? (4k 2 + 1)(b 2 ? 1) = 4k 2 ? b 2 +1,


|AB|= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) = 1 + k ·x1 ? x2 = 1 + k ·
2 2
2 2

4k 2 ? b 2 + 1 =2 1 2 +k 4



设 O 到 AB 的距离为 d ,则 d =
2 2

b 2S = 1 ,又因为 d = , AB 1+ k 2
4 2

所以 b = k + 1 ,代入②式并整理,得 k ? k + 解得, k =
2

1 =0, 4

1 3 2 , b = ,代入①式检验, ? > 0 . 2 2

故直线 AB 的方程是 y =

2 6 2 6 x+ ,或 y = x? , 2 2 2 2

或y=?

2 6 2 6 x+ ,或 y = ? x? . 2 2 2 2
2 2

点评: 点评 : 求圆锥曲线的弦长时,可利用弦长公式:|AB|= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) =

1 + k 2·x1 ? x2 来求解。
例18、(2006 上海卷)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左 焦点为 F ( ? 3, 0) ,右顶点为 D (2, 0) ,设点 A ? 1, (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; 解:(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

? 1? ?. ? 2?

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 + y2 = 1 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),

x0 + 1 ? ?x = 2 ? x0 = 2 x ? 1 ? ? 由? 1 1 ,得 ? y0 + ? ? y0 = 2 y ? 2 2 ? ?y = ? 2
由,点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 + (2 y ? ) 2 = 1 , 4 2

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 + 4( y ? ) 2 = 1 . 点评: 点评:涉及弦的中点问题,除用上述方法外,有时也联立方程组,转化为一元二次方程, 利用韦达定理,或运用平方差法求解,但必须是以直线与圆锥曲线相交为前提。 四、方法总结与 2009 年高考预测 (一)方法总结 1.求曲线方程常利用待定系数法,求出相应的 a,b,p 等.要充分认识椭圆中参数 a,b,c, e 的意义及相互关系,在求标准方程时,已知条件常与这些参数有关. 2.涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用定义. 3.直线与圆锥曲线的位置关系问题,利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为 一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明. 4.对于轨迹问题,要根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的位置、形状、大小 等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等. 5.与圆锥曲线有关的对称问题,利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. (二)2009 年高考预测 1.求曲线(轨迹)方程的常用方法(定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等) 。 2.掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质,解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3.直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容,因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国 和部分省高考数学试题,本专题列出高考考查的热点内容有: (1)直线方程、圆方程; (2)圆锥曲线的标准方程; (3)圆锥曲线的几何性质; (4)直线与圆锥曲线的位置关系; (5)求曲线(轨迹)方程。特别是求曲线(轨迹)方程和直线与圆锥曲线的位置关系 问题是高考解析几何问题的热中之热。 五、复习建议 1.加强直线和圆锥曲线的基础知识,初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技 能和基本方法。 2.由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容,选择、填空题灵活多变,思维能力要 求较高,解答题背景新颖、综合性强,代数推理能力要求高,因此有必要对直线与圆锥曲线 的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。

1 2

1 4

3.在第一轮复习的基础上,再通过纵向深入,横向联系,进一步掌握解决直线与圆锥 曲线问题的思想和方法,提高我们分析问题和解决问题的能力。


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