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山东省济宁市鱼台一中2013-2014学年高二上学期期中检测 数学文 Word版含答案


鱼台一中 2013—2014 学年高二上学期期中检测 数学(文)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 。 1.函数 y ?

2 x ? 1 ? 3 ? 4 x 的定义域为(



1 3 1 3 A. (? , ) B. [ ? , ] 2 4 2 4 1 3 1 C. (??, ] ? [ ,??) D. (? ,0) ? (0,??) 2 4 2 2. 若命题“ p ? q ”为假,且“ ?p ”为假,则( A. “ p ? q ”为假 B. q 假 C. q 真
3.抛物线 y ?
2

) D.不能判断 q 的真假

1 ) x ? 0 的准线方程为 ( 2 1 1 1 A. x ? B. x ? ? C. x ? 4 4 8
2 2

D. x ? ?

1 8


4.过点(2,1)的直线中,被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得弦长最长的直线方程为( A. 3 x ? y ? 5 ? 0 C. 3 x ? y ? 1 ? 0 5.抛物线 y ? ? A. x ? 6.下列命题 B. 3 x ? y ? 7 ? 0 D. 3 x ? y ? 5 ? 0 ) C. y ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ? 2

1 32

1 32

D. y ? ?2

①“若 x ? y ? 0 ,则 x , y 互为相反数”的逆命题;②“若 a ? b, 则a ? b ”的逆否命
2 2

题;③“若 x ? ?3 ,则 x ? x ? 6 ? 0 ”的否命题。其中真命题个数为(
2



A. 0
2 2

B. 1

C. 2

D. 3

7.椭圆 4 x ? y ? k 上两点间最大距离是 8,那么 k ? ( ) A.32 B.16 C.8 D. 4 8.过抛物线 y ? 4 x 的焦点所作直线中,被抛物线截得弦长为 8 的直线有(
2



A. 1 条

B. 2 条

C. 3 条

D. 不确定

1

9.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,直线 l 过 F1 与左支交与 P、Q 两点, 25 24
) D. 随 ? 大小而改变

直线 l 的倾斜角为 ? ,则 PF2 ? QF2 ? PQ 的值为( A. 28 B. 8 6 C. 20

10. 设定点 F1 ?0,?3? , F2 ?0,3 ? ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? a ?

9 a

?a ? 0? ,则点 P 的轨

迹是(

) B. 椭圆或线段 C. 线段 D. 无法判断

A. 椭圆 11.椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , B 为上顶点, F 为左焦点, A 为右顶点,且右顶点 A a 2 b2


到直线 FB 的距离为 2b ,则该椭圆的离心率为(

A.

2 2

B. 2 ? 2

C. 2 ? 1

D.

3? 2

12. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是
2 2



) A.( ?

15 15 15 15 15 , ,0 ) D.( ? ,?1 ) ) B.( 0, ) C.( ? 3 3 3 3 3

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13.命题“存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ”的否定为
2

. .

14.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为

15.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后,水面 宽度是________米. 16 . 设 命 题

p : 4 x ? 3 ≤1 , 命 题 q : 2x? ( 2a ?

1? x)


a≤ ? (a

1 ) , 若

0

“ ?p是?q的必要而不充分条件 ”则实数 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 10 分) 等轴双曲线过 4,? 7 点
2

?

?

(1)求双曲线的标准方程; (2)求该双曲线的离心率和焦点坐标.

18. (本小题满分 12 分) 设命题 p :实数 x 满足 ( x ? a)( x ? 3a) ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 数 x 满足 2 ? x ? 3 . (1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真命题,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 点M

?
2

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) , O 为坐标原点,离心率 e ? 2 , a 2 b2 5 , 3 在双曲线上.

?

(1)求双曲线的方程;

(2)若直线 l 与双曲线交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 .问:

??? ? ????

1 OP

?

1 OQ
2

是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由。

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l
2

与抛物线 C 交于 A 、 B 两点( A 在 M 、 B 之间). (1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |? (2)若 MB ? 4MA ,求 ?FMB 的面积

????

????

5 | AF | ,求 k 的值; 4

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 =1(a >b>0) 经过点 P (1, ), 2 a b 2 1 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ), 设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM
如图,椭圆 C: 2 +
3

的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 则存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . 求 ? 的值

22. (本小题满分12分) 各项均为正数的等比数列 ? an ? 满足 a2 ? 3 , a4 ? 2a3 ? 9 (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? (n ? 1) ? log 3 an ?1 ,数列 ?

?1? (Ⅰ) 的条件下, 证明不等式 Tn ? 1 ; ? 前 n 项和 Tn .在 ? bn ?

(3)设各项均不为0的数列 ?cn ? 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 ?cn ? 的“积异号数” , 在(1)的条件下,令 cn ?

nan ? 4 ? , n ? N ,求数列 ?cn ? 的“积异号数” nan

鱼台一中 2013—2014 学年高二上学期期中检测
参考答案: 1-5 BBCAB 6-10 BBBCB 13: 11-12 CD
2

任意有理数 x ,使 x ? 2 ? 0

14:

2x ? y ? 1 ? 0

15. 4 2
2 2

16:

? 1? 0, ? ? 2? ?

17.解: (1)设双曲线方程为 x ? y ? ? ?? ? 0?

4

将 4,? 7 代入①得 ? ? 9 ∴双曲线的标准方程为

?

?

x2 y2 ? ?1 9 9

(2)∵该双曲线是等轴双曲线,∴离心率 e ? ∵ a =3, c ?

2

2a ,焦点在 x 轴上,∴焦点坐标为 3 2 ,0 , ? 3 2 ,0

?

? ?

?

18. 解:(1)由已知 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 . 由已知 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (2) ?p 是 ?q 的充分不必要条件,即, ?p ? ?q ,且 ?q

? ? ?p , ? ? q

由命题的等价性可知: ?p 是 ?q 的充分不必要条件 ? q ? p ,且 p 设 A= {x | q} ,B= {x | p} ,则 A

B ,?????8 分

又 A= {x | q} = {x | 2 ? x ? 3} , B= {x | p} = {x | a ? x ? 3a} },

则?

?a ? 2 ,解得 1 ? a ? 2 所以实数 a 的取值范围是 (1, 2) . ? 3a ? 3
2 2 2 2

19. 解: (1)∵ e ? 2 ,∴ c ? 2a, b ? c ? a ? 3a ,

x2 y 2 2 2 2 双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,即 3x ? y ? 3a a 3a
∵点 M

?

5 , 3 在双曲线上
2 2

?

∴ 15 ? 3 ? 3a ? a ? 4 ∴所求双曲线的方程为 3x ? y ? 12
2 2 2 2 (2)设直线 OP 方程为 y ? kx ? k ? 0 ? ,联立 3x ? y ? 12

48 12 ? 2 x ? ? 2 ? 12(k 2 ? 1) ? 12 ? 4k 3? k2 2 2 2 ? | OP | ? x ? y ? 得? 2 3? k2 ? y 2 ? 12k ? 3? k2 ?

5

则 OQ 方程为 y ? ?

1 x ,有 | OQ |2 ? k

12(1 ?

1 ) 2 k 2 ? 12(k ? 1) 1 3k 2 ? 1 3? 2 k

20.(1)(1)法一:由已知 M (?1,0) 设 A( x1 , y1 ) ,则 | AM |? 1 ? k | x1 ? 1 | ,
2

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ?| x1 ? 1 | ,
由 4 | AM |? 5 | AF | 得, 4 1 ? k 解得 k ? ?
2

2

?5,

法二:记 A 点到准线距离为 d ,直线 l 的倾斜角为 ? , 由抛物线的定义知 | AM |? ∴ cos? ? ?

3 4

5 d, 4

d 4 ?? , | AM | 5

3 4 2 ? y ? 4x ? k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 (2)方法一: ? ? y ? k ( x ? 1) ???? ???? 又 MB ? 4MA ? x2 ? 1 ? 4( x1 ? 1) 4 求根公式代入可解出 k ? ? 5 2 ? y ? 4x 4 ? y2 ? y ? 4 ? 0 方法二: ? k ? y ? k ( x ? 1) 2 2 ???? ???? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 1 y1 ? y 2 ? MB ? 4MA ? y 2 ? 4 y1 ? 4 ? ? 4 y1 y 2 y1 y 2 16 ?8 17 k 2 4 ? ? ?k ?? 4 4 5 1 ? S ?FMB ? ? 2 ? 4 ? 4 2 2 2 x y ? ?1 21.(1) 4 3 k ? k2 (2)F (1,0) , ? ? 1 k3 3 3 y1 ? y2 ? 2? 2 ,而 y ? k ( x ? 1) ? x ? 1 ? y1 , k1 ? k 2 ? 1 1 1 x1 ? 1 x2 ? 1 k
∴ k ? tan? ? ?
6

y2 k 3k 1 1 k1 ? k 2 ? 2 k ? ( ? ) 2 y1 y 2
同理 x 2 ? 1 ?

? y ? k ( x ? 1) 6 ? 3 ? ? ? 2 ? 1? y 2 ? y ? 9 ? 0 ? 2 2 k ? ?3x ? 4 y ? 12 ? 0 ? k

3k 1 1 3k 2 ( ? ) ? 2k ? ? ? 2k ? 1 2 y1 y 2 2 3k 3 3k ? 2 ?k?1 而 M( 4,3k ) ? k 3 ? 4 ?1 2 k1 ? k 2 故? ? =2 k3
所以 k1 ? k 2 ? 2k ?

?a4 ? 2a3 ? 9 ?a2 (q 2 ? 2q ) ? 9 a 22.解: (1)设等比数列 ? n ? 的公比为 q ,由 ? 得? , ?a2 ? 3 ?a2 ? 3
解得 q ? 3 或 q ? ?1 ,∵数列 ? an ? 为正项数列,∴ q ? 3 ∴首项 a1 ?

a2 ? 1 ,∴ an ? 3n ?1 q
n

(2)由(1)得 bn ? (n ? 1) ? log 3 an ?1 ? (n ? 1) log3 3 ? n(n ? 1) ∴

1 1 1 1 ? ? ? bn n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1? ? ? ?? ? ? ? 1? ?1 b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
n ?1

∴ Tn ?

(3)由(1)得 an ? 3 ∴ c1 ? 1 ?

,∴ cn ?

nan ? 4 4 ? 1? nan n ? 3n ?1

4 4 1 ? ?3, c2 ? 1 ? ? 1 2?3 3

∴ c1 ? c2 ? ?1 ? 0 ∵ cn ?1 ? cn ? 1 ?

4 4 4(2n ? 3) ? (1 ? )? ?0 n n ?1 (n ? 1) ? 3 n ?3 n(n ? 1) ? 3n

∴数列 ?cn ? 是递增数列; 由 c2 ?

1 ? 0 得,当 n ? 2 时, cn ? 0 3
7

∴数列 ?cn ? 的“积异号数”为 1.

8


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