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2017-2018学年人教A版选修2-1 空间向量与立体几何 章末综合测评


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单元质量评估(三)
第三章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016 · 大 连 高 二 检 测 ) 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , + + 等于 ( A. 【解析】选 A. B. + + C. = + + + D. = . )

2.(2016 · 石 家 庄 高 二 检 测 ) 以 下 四 组 向 量 中 互 相 平 行 的 组 数 为 ( )

①a=(2,2,1),b=(4,-2,-2);②a=(4,2,-3),b=(-8,-4,6); ③a=(1,0,1),b=(-2,0,-2);④a=(-3,-2,-1),b=(6,4,2). A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选 C.根据向量共线的条件知②、③、④三组中的向量互相 平行. 3.已知 A(2, -4, -1), B(-1, 5, 1), C(3, -4, 1), 则 A.(5,-9,2)
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+

= (

)

B.(-5,9,-2)

C.(5,9,-2) 【解析】选 B.由已知得 +

D.(5,-9,-2) =(-1 , 0, -2) , =(-4 , 9, 0),所以

=(-1,0,-2)+(-4,9,0)=(-5,9,-2).

4.(2016·东营高二检测)已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7, 5,λ ),若 a,b,c 共面,则实数λ 的值为 ( A. C. B. D. )

【解析】选 D.由 a,b,c 共面知存在 m,n∈R 使 c=ma+nb,



解得

5.(2016·莱芜高二检 测)已知平面α ,β 的法向量分别为 m=(3,1, -5),n=(-6,-2,10),则 ( A.α ⊥β C.α 与β 相交但不垂直 ) B.α ∥β D.以上均正确

【解析】选 B.由已知得 m∥n,故α∥β. 6. 已知点 P 是三棱锥 S-ABC 的底面 ABC 所在平面内的一点,且 = A.+ k B. ,则实数 k 的值为 ( C.1 ) D. = +k ,

【解析】选 D.由已知得 P,A,B,C 四点共面,且 所以 +k-1=1,解得 k= .

7.(2016· 桂林高二检测)已知 a=(1, 2, 3), b=(-2, -4, -6), c=
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若(a+b)·c=7,则 a 与 c 的夹角为 ( A.30° B.60°

) D.150°

C.120°

【解析】选 C.因为 a+b=(-1,-2,-3)与 a 反向, 且|a+b|= ,设 a 与 c 的夹角为θ,

=-

=- ,

所以θ=120°. 8.(2016·枣庄高二检测)如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,底 面是边长为 2 的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的 长为 ( )

A. C. 【解析】选 A.设

B.2 D. =a, =b, =c,

由已知得|a|=3,|b|=|c|=2, a〃b=a〃c=3×2×cos60°=3,b〃c=0, 又因为 所以 = + + =-a+b+c,

=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a〃b-2a〃c+2b〃c

=32+22+22-2×3-2×3+2×0=5.
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所以|

|=

,即 A1C 的长为

.

[来源:学科网 ZXXK]

9.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且 为 B1B 的中点,则| A. C. a a B. D. |为 a a ( )

=

,N

【解析】选 A.以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,

则 A(a,0,0),C1(0,a,a), N ,设 M(x,y,z), = ,

因为点 M 在 AC1 上且

所以(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z), 所以 x= a,y= ,z= , 得M 所以| |= , = a.

10.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 ( A. C. B. D. )

【解析】选 C.如图,以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐 标系.
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设 AA1=2AB=2,则 B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0, 2), 所以 =(0,-1,1), , >= =(0,-1,2), = .
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

所以 cos<

11.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为 ( A. B. C. ) D.

【解析】选 B.建立如图空间直角坐标系,可求得平面 AB1D1 的法向量 n=(2 , -2 , 1) , =(2 , 0 , 0) ,故点 A1 到平面 AB1D1 的距离

12.在三棱锥 P-ABC 中,△ABC 为正三角形,PA⊥平面 ABC, 且 PA=AB, 则二面角 A-PB-C 的正切值为 ( )

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A.

B.

C.

D.

【解析】选 A.设 PA=AB=2,建立如图空间直角坐标系,

则 B(0,2,0),C( 所以 =(

,1,0),P(0,0,2),

=(0,-2,2), ,-1,0),

设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的一个法向量,

令 y=1,则 x= 即 n=

,z=1, ,

易知 m=(1,0,0)是平面 PAB 的一个法向量,

即二面角 A-PB-C 的正切值为

.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案 填在题中横线上) 13.(2016·揭阳高二检测)已知 a=(2,-3,1),b=(-4,2,m),且 a
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⊥b,则 m=

.

【解析】由 a⊥b 知 a〃b=0,即-8-6+m=0,解得 m=14. 答案:14 14.(2015·广州高二检测)由空间向量 a=(1,2,3),b=(1,-1,1) 构成向量集合 A={x|x=a+kb , k ∈ Z} ,则向量 x 的模 |x| 的最小值 为 .

【解析】因为 a=(1,2,3),b=(1,-1,1), 所以 x=a+kb=(1+k,2-k,3+k), 所以|x|= = = , .

因为 k∈Z,所以 k=-1 时|x|的值最小,最小值为 答案: 15.下列命题: ①|a|+|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; ②空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B, C 满足 则 P,A,B,C 四点共面; =2

+3

-4



③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 其 中正确的命题的序号是 .

【解析】①|a|+|b|=|a+b|可推得 a 与 b 同向或反向,即 a,b 共线, 但 a,b 共线,若反向且长度相等,则不能推出|a|+|b|=|a+b|,故错 误;

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②空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B, C 满足 则 =2 -2 +2 -2 ,即 =2 +2

=2

+3

-4 ,

, ,

,故向量

共面,即 P,A,B,C 四点共面,故正确; ③若两个平面垂直, 则它们的法向量一定垂直, 由原命题和逆否命题 的关系可得, 若两个平面的法向量不垂直, 则这两个平面一定不垂直, 故正确. 答案:②③ 16.(2016· 济南高二检测) 设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,记 是 . 〃 <0,可 =λ ,当∠APC 为钝角时,则λ 的取值范围

【解题指南】由于∠APC 不是平角,由∠APC 为钝角知 由此列不等式求出λ的范围. 【解析】选 D.由已知建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 则 =(1,1,-1), =(1,0,-1), 故 = = + + =λ =(λ,λ,-λ),

=(0,1,-1).

=(1-λ,-λ,λ-1), =(-λ,1-λ,λ-1).

显然∠APC 不是平角,
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由∠APC 为钝角,得



<0,

即-λ(1-λ)-λ(1-λ)+(λ-1)2<0, 故(λ-1)(3λ-1)<0,解得 <λ<1. 答案: <λ<1 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)(2016·平顶山高二检测)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, = 示 . , =2 ,设 = a, =b, =c,试用 a,b,c 表

【解析】如图所示,连接 AN.

则 = - ( ) + )=c- (b-c)- (a+b)=- a-b+ c. = + = + - ( + )= + (

18.(12 分)如图所示,已知 PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AD,M, N 分别为 AB,PC 的中点,

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求证:(1)MN∥平面 PAD. (2)平面 PMC⊥平面 PDC. 【证明】如图所示,建立空间直角坐标系,

设 PA=AD=a,AB=b. (1)易知 又 所以 = 〃 为平面 PAD 的一个法向量, , =0,所以 ⊥ . =(b,0,0).

又 MN?平面 PAD,所以 MN∥平面 PAD. (2)由(1)知 P(0,0,a),C(b,a,0),M 所以 =(b,a,-a), = , ,D(0,a,0),

=(0,a,-a), 设平面 PMC 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),

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[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

所以 令 z1=b,则 n1=(2a,-b,b), 设平面 PDC 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),

解得

[来源:Z。xx。k.Com]

令 z2=1,则 n2=(0,1,1), 由于 n1〃n2=0-b+b=0,所以 n1⊥n2, 所以平面 PMC⊥平面 PDC. 19.(12 分)(2015·漳州高二检测)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长 为 2,点 P 为棱 CD 上的一点,且三棱锥 A-CPD1 的体积为 .

(1)求 CP 的长. (2)求直线 AD 与平面 APD1 所成的角θ 的正弦值.
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(3)请直接写出正方体的棱上满足 C1M∥平面 APD1 的所有点 M 的位置, 并任选其中的一点予以证明. 【解析】(1)依题意得,AD⊥平面 CPD1, AD=DD1=2, 所以 = AD〃 = ×2× ×CP×2= .所以 CP=1.

(2)以 A 为原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建 立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得 A(0,0,0),D(0,2,0),P(1,2,0),D1(0,2,2), =(0,2,0), =(1,2,0), =(0,2,2).

设平面 APD1 的一个法向量为 n=(x,y,z),

令 x=2,得平面 APD1 的一个法向量为 n=(2,-1,1).

所 以直线 AD 与平面 APD1 所成的角θ的正弦值为 (3)M 点的位置为 A1B1 中点或 B 点,
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.

选取 A1B1 中点为 M,证明如下: 方法一:取 C1D1 中点 N,连接 PN,A1N,C1M,如图 1. 因为 A1MC1N,所以四边形 A1MC1N 为平行四边形,所以 C1M∥A1N. 又因为 AA1PN,所以四边形 APNA1 为平行四边形,所以 A1N∥AP, 所以 C1M∥AP. 又因为 AP? 平面 APD1,C1M?平面 APD1, 所以 C1M∥平面 APD1. 方法二:连接 C1M,由(2)可得 C1(2,2,2),M(1,0,2), -2,0). 又平面 APD1 的一个法向量为 n=(2,-1,1), 所以 〃n=(-1,-2,0)〃(2,-1,1)=0. =(-1,

又因为 C1M?平面 APD1, 所以 C1M∥平面 APD1.

20.(12 分)(2015·北京高考)如图,在四棱锥 A-EFCB 中,△AEF 为等 边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠ FCB=60°,O 为 EF 的中点.

(1)求证:AO⊥BE.
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(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值. (3)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值. 【解析】(1)因为△AEF 是等边三角形, O 为 EF 的中点,所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,交线 EF,AO? 平面 AEF, 所以 AO⊥平面 EBCF.因为 BE? 平面 EBCF,所以 AO⊥BE. (2)取 BC 的中点 D,连接 OD.如图分别以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴建 立空间直角坐标系,

则 A(0,0, B(2,2 -

a),E(a,0,0), a,0), a,=(a,0,a), a),

=(2,2

设平面 ABE 的法向量 n1=(x,y,z),则

令 z=1,得 所以 n1=( ,-1,1).

平面 AEF 的法向量 n2=(0,1,0).

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因为二面角 F-AE-B 为钝二面角,所以余弦值为-

.

(3)由(1)知 AO⊥平面 EFCB.因为 BE? 平面 EFCB,所以 AO⊥EB. 要使 BE⊥平面 AOC,只需 BE⊥OC. 因为 =(2-a,2 a,0),

=(-2,2 所以 或 a= . 〃

a,0), a)2=0,即 3a2-10a+8=0,解得 a=2(舍)

=-4+2a+(2

21.(12 分)(2015·湖北高考)《九章算术》中,将底面为长方形且有 一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形 的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 PABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,过棱 PC 的中点 E,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F,连接 DE,DF,BD,BE.

(1)证明:PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写 出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由. (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值.

【解析】方法一:(1)因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC, 由底面 ABCD 为长方形, 有 BC⊥CD, 而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD.
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而 DE? 平面 PCD,所以 BC⊥DE.又因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,所 以 DE⊥PC. 而 PC∩BC=C,所以 DE⊥平面 PBC. 而 PB? 平面 PBC,所以 PB⊥DE. 又 PB⊥EF,DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 DEF. 由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 DBEF 的四个面都是直 角三角形, 即四面体 DBEF 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别为∠DEB, ∠DEF,∠EFB, ∠DFB. (2)如图,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G,则 DG 是平面 DEF 与 平面 ABCD 的交线.由(1)知,PB⊥平面 DEF,所以 PB⊥DG.

又因为 PD⊥底面 ABCD, 所以 PD⊥DG.而 PD∩PB=P, 所以 DG⊥平面 PBD. 故∠BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD=DC=1,BC=λ,有 BD= 在 Rt△PDB 中, 由 DF⊥PB,得∠DPF=∠FDB= , 则 tan =tan∠DPF= 解得λ= . = = , ,
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

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所以

= =

.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 时, =

.

方法二: (1)如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系.设 PD=DC=1,BC=λ,则 D(0,0,0),P(0,0, 1),B(λ,1,0) ,C(0,1,0), 点,所以 E = , , =(λ,1,-1),点 E 是 PC 的中

于是



=0,即 PB⊥DE.

又已知 EF⊥PB,而 DE∩EF=E, 所以 PB⊥平面 DEF. 因 =(0,1,-1), 〃 =0,

则 DE⊥PC,PB∩PC=P,所以 DE⊥平面 PBC. 由 DE⊥平面 PBC,PB⊥平面 DEF,可知四面体 DBEF 的四个面都是直 角三角形, 即四面体 DBEF 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别为∠DEB, ∠DEF,∠EFB, ∠DFB. (2)由 PD⊥平面 ABCD, 所以
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=(0, 0, 1)是平面 ABCD 的一个法向量;

由(1)知,PB⊥平面 DEF,所以 向量.

=(-λ,-1,1)是平面 DEF 的一个法

若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 , 则 cos = 解得λ= .所以 = = = . = . = ,

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 时,

22.(12 分)(2016·全国卷Ⅰ)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面 体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D-AF-E 与二面 角 C-BE-F 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2) 求二面角 E-BC-A 的余弦值.

【解析】(1)因为 ABEF 为正方形,所以 AF⊥EF. 因为∠AFD=90°,所以 AF⊥DF. 因为 DF∩EF=F, 所以 AF⊥面 EFDC,AF? 面 ABEF, 所以平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)由(1)知,∠DFE=∠CEF=60°. 因为 AB∥EF,AB?平面 EFDC,
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EF? 平面 EFDC, 所以 EF∥平面 ABCD,AB? 平面 ABCD. 因为面 ABCD∩面 EFDC=CD, 所以 AB∥CD,所以 CD∥EF, 所以四边形 EFDC 为等腰梯形, 以 E 为原点,如图建立坐标系,

设 FD=a,E(0,0,0), B(0,2a,0),C =(0,2a,0), = ,A(2a,2a,0), , =(-2a,0,0).

设平面 BEC 的法向量为 m=(x1,y1,z1).
??? ? ? ?m?EB ? 0, 即 ? ? ??? m ? BC ? 0, ? ?

令 x1=

,则

m=(

,0,-1).

设平面 ABC 的法向量为 n=(x2,y2,z2),
??? ? ? ?n?BC ? 0, 即 ? ? ??? n ? AB ? 0. ? ?

令 y2=

,则

n=(0,

,4).

设二面角 E-BC-A 的大小为θ.
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cosθ=

m? n = | m || n |

=-

, .

所以二面角 E-BC-A 的余弦值为-

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