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2015-2016学年江苏省泰兴中学高一下学期期中考试数学试题


江苏省泰兴中学高一年级数学期中考试试题

2016.04 本试卷共计: 160 分

考试时间: 120 分钟

一、填空题:本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卷相应的位置上 . ......... 1.求值 sin 36? cos 24? ? cos 36? sin 156 ? ? __

▲__. 2.已知直线 l1 : (m ? 1) x ? 2 y ? 2m ? 2 ? 0 , l 2 : 2 x ? (m ? 2) y ? 2 ? 0 ,若直线 l1 // l 2 ,则 m ? __▲__. 3.已知 x ? 1 ,则 f ( x ) ? x ?

1 的最小值为__▲__. x ?1

4.已知数列 {an } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24 , a4 ? 3 ,则数列 {an } 的公差=__▲__. 5.已知在 ?ABC 中, BC ? 15 , AC ? 10 , A ? 60? ,则 cos B ? __▲__. 6.数列 {an } 满足 S n ? 2an ? 1 ( n ? N * ),其中 S n 是 {an } 的前 n 项和,则 a10 =__▲__. 7.已知点 A(1,2) , B(?2,3) ,直线 l : y ? k ( x ? 4) 与线段 AB 有公共点(线段 AB 包括端点) ,则 k 的取 值范围是__▲__. 8.已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 1 ,则 cos(? ? ? ) ? __▲__.

2

3

9.已知在 ?ABC 中, A ? 60? , AC ? 6 , BC ? k ,若 ?ABC 有两解,则 k 的取值范围是__▲__. 10.已知 sin(

?
6

??) ?
2

1 2? ? 2? ) =__▲__. ,则 cos( 3 3

2 2 11.已知 a ? b ? 1 ? 4 ,则 a ? 2b 的最小值为__▲__.

12 .已知 a ? b ? 0 ,且 a, b,?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则

a ? b ? __▲__.
13.如图,互不相同的点 A1 , A2 ,? An ,? 和 B1 , B2 ,? Bn ,?分别在角 O 的 两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn?1 An?1 的面积均相等, 设 OAn ? a n .若 a1 ? 1 ,a 2 ? 2 ,则数列 ?an ? 的通项公式是 an ? __▲__. 14. 已知 a , b 为正实数, 且a ? b ? 2, 则

a2 ? 2 b2 ? 的最小值为__▲__. a b ?1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 或演算步骤.
页 1第

15. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系内,已知 A(1, a) , B(?5,?3) , C (4,0) ; (1)当 a ? ( 3,3) 时,求直线 AC 的倾斜角 ? 的取值范围; (2)当 a ? 2 时,求 ?ABC 的 BC 边上的高 AH 所在直线方程 l .

16. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ?

3 ,试判断 ?ABC 的形状.



2第

17. (本小题满分 15 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 3 ,且满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n?1 , (n ? N *) . (1)设 bn ?

an ,判断数列 {bn } 是否为等差数列或等比数列,并证明你的结论; 3n

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 15 分) 如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60 ? 的公路 AB, AC ,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂

P ,分别在两条公路边上建两个仓库 M 、 N (异于村庄 A ),要求 PM ? PN ? MN ? 2 (单位:千米).
(1)设 ?AMN ? ? ,试写出 AM 关于 ? 的表达式; (2)如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).



3第

C P N

A

M

B

19. (本小题满分 16 分) 已知三角形 ?ABC 中, ?ACB ? 60? , CH 为 AB 边上的高, H 为垂足;设 BC ? a , CA ? b ,

AB ? c , CH ? h ;
(1)若 c ?

3 ,求 a ? b 的取值范围; 3 ,试解决下面两个问题:

B H

(2)若已知 h ?

①求 a , b 满足的等式; ②求三角形 ABC 的周长 l 的最小值.

C

A



4第

20.(本小题满分 16 分) 如果无穷数列 {an } 满足下列条件:① an ? an?2 ? 2an?1 ;②存在实数 M ,使得 an ? M ,其中

n ? N * ,那么我们称数列 {an } 为 Ω 数列.
(1)设 {an } 是各项为正数的等比数列, S n 是其前 n 项和, a3 ? 1 , S 3 ? 7 ,证明:数列 {S n } 是

4

4

Ω 数列; (2)设数列 {an } 的通项为 an ? 5n ? 2 n ,且是 Ω 数列,求 M 的取值范围; ... (3)设数列 {an } 是各项均为正整数的 Ω 数列,问:是否存在常数 n0 ? N * ,使得 an0 ? an0 ?1 ,并 证明你的结论.



5第

江苏省泰兴中学高一年级数学期中试题参考答案
一.填空题

3 2 6 5. 3
1. 9. 3 3 ? k ? 6 13. 3n ? 2

2. ? 2 6. 512 ? 2 9 10. ? 7

3. 3 7. 2 ? k ? 3

4. 3 8. ? 59 12. 5

5

2

72

9

11. 8 2 ? 2

14.

2 2 ?2 3

二.解答题 15.解: (1) k AC ?

a ? ? a ,………………………………………………………2 分 1? 4 3

3 ) ……………………………………………4 分 a ? ( 3,3) ,则 k AC ? ( ?1,? 3 k ? tan ? ,又∵ ? ? [0, ? ) ,∴ ? ? ( 3? , 5? ) ………………………………7 分 4 6
(2) k BC ?

0 ? (?3) 1 ? 4 ? (?5) 3

∵ AH 为高,∴ AH ? BC ,∴ k AH ? k BC ? ?1 ,∴ k AH ? ?3 ;…………11 分 又∵ l 过点 A(1,2) ,∴ l : y ? 2 ? ?3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 5 ? 0 ……………14 分

16.解:(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, ∴cos A= 即 bc=b2+c2-a2,…………………………2 分

b2+c2-a2 1 = ,………………………………………………………4 分 2bc 2

∵A∈(0,π) ∴A=60° . ………………………………………………………6 分 (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3, 得 sin B+sin(120° -B)= 3,……………………………8 分

∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴ sin B+ cos B= 3, 2 2 即 sin(B+30° )=1. ……………………………………12 分

又∵0° <B<120° ,30° <B+30° <150° , ∴B+30° =90° ,即 B=60° . …………………………………………………………13 分 ∴A=B=C=60° ,∴△ABC 为正三角形.…………………………………………14 分



6第

17.(1)∵ an?1 ? 3an ? 2 ? 3n?1 ,∴

a n ?1 3a n 2 ? 3 n ?1 ? ? n ?1 , 3 n ?1 3 n ?1 3

a n ?1 a n ? ? 2 ,…………………………………………………………………5 分 3 n ?1 3 n
∴ bn?1 ? bn ? 2 ,∴ {bn } 构成以 b1 ?

a1 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列.6 分 3

(2)由(1)可知 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,所以 an ? (2n ? 1) ? 3n ……………8 分

S n ? 1? 31 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n 3S n ?



1? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 ②

②-①得 ? 2S n ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 ………………………10 分

? 3? 2?

32 (1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 1? 3

? (2 ? 2n) ? 3n?1 ? 6 ……………………………………………………13 分
∴ S n ? (n ? 1)3n?1 ? 3 ……………………………………………………………15 分 18.解:(1)在△AMN 中, MN AM = . sin60° sin(120° -θ)

4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ) .………………………………………4 分 3 (2)在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ).………………………………………6 分 AP2=AM2+MP2-2 AM· MP· cos∠AMP = = 16 2 4 3 sin (120° -θ)+4-2× 2× sin(120° -θ) cos(60° +θ) ………………………8 分 3 3 16 2 16 3 sin (θ+60° )- sin(θ+60° ) cos(θ+60° )+4 3 3

8 8 3 = [1-cos (2θ+120° )]- sin(2θ+120° )+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120° )+cos (2θ+120° )]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ+150° ),θ∈(0,120° ).……………………………………………13 分 3 3

当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12, 即 AP 取得最大值 2 3.……………………………………………………………14 分 答:设计∠AMN 为 60?时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.……………………15 分
2 2 2 2 2 19.解(1)∵ c ? a ? b ? 2ab cosC ,∴ a ? b ? ab ? 3 ………………………2 分



7第

(a ? b) 2 ? 3ab ? 3 , (a ? b) 2 ? 3 ? 3ab ? 3 ? ( a ? b ) 2 , 2
∴ a ? b ? 2 3 ………………………………………………………………5 分 又∵ a ? b ? c ,∴ 3 ? a ? b ? 2 3 ……………………………………6 分 (或者 a ? b ? 2 3 sin( A ? ? ) 下略)

6

(2)①∵ c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ,∴ c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ∵ S ?ABC ? 1 absin C ? 1 ch ,∴ 1 ab ?

3 1 ? ? a 2 ? b 2 ? ab 3 , 2 2 2 2 2 1 ab ? a 2 ? b 2 ? ab , (或者 a 2 ? b 2 ? ab ? 1 a 2 b 2 )………………10 分 2 4

②∵由①可知 ab ? 1 a 2 b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ,当且仅当“ a ? b ”时候取等号;

4

∴ ab ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 时取等号;………………………………12 分

l ? a ? b ? c ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? ab
? a ? b ? 1 ab ? 2 ab ? 1 ab ? 2 4 ? 1 ? 4 ? 6 2 2 2
当且仅当“ a ? b ? 2 ”取等号. ∴当 a ? b ? 2 时, l 取得最小值为 6 .………………………………………16 分 1 7 ∵{an}是各项正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,a3= ,S3= , 4 4

20.解(1)证明

a3 a3 7 设其公比为 q>0,∴ 2+ +a3= .整理得 6q2-q-1=0, q q 4 1 1 解得 q= ,q=- (舍去).∴a1=1,……………………………………………3 分 2 3 1 1 an= n-1,Sn=2- n-1<2,………………………………………………………4 分 2 2 对任意的 n∈N*,有 Sn+Sn+2 1 1 1 =2- n- n+2<2- n=Sn+1,且 Sn<2, 2 2 2 2

故{Sn}是 Ω 数列.…………………………………………………………………5 分 (2)∵an+1-an=5-2n,……………………………………………………………7 分 ∴当 n≥3,an+1-an<0,故数列{an}单调递减; 当 n=1,2 时,an+1-an>0,即 a1<a2<a3, 则数列{bn}中的最大项是 a3=7, 所以 M≥7.……………………………………………………………………………9 分 (3)证明:假设存在常数 n0 ? N * ,使得 an0 ? an0 ?1 ,即 an0 ?1 ? an0 ? 0 ;…10 分



8第

∵ {an } 是各项均为正整数的数列,所以 an0 ?1 ? an0 ? ?1 ; 又∵ {an } 是 Ω 数列,所以 an0 ? an0 ?2 ? 2an0 ?1 , 即 an0 ?2 ? an0 ?1 ? an0 ?1 ? an0 ? ?1,得 an0 ?2 ? an0 ?1 ? ?1 ,…………………12 分 以此类推, an0 ?k ? an0 ?k ?1 ? ?1 ,①( k ? N * ); 将①中 k 赋值 1,2,?m ,累加可得 an0 ?m ? an0 ? ?m , 即 an0 ?m ? an0 ? m ;……………………………………………………………14 分 当 m 取 a n0 时, an0 ? m ? 0 与 a n ? N * 矛盾; ∴假设错误,不存在常数 n0 ? N * ,使得 an0 ? an0 ?1 .………………………16 分



9第



10 第


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