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2018年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分布列实战演练理


2018 年高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其 分布 第 61 讲 离散型随机变量及其分布列实战演练 理

1.(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元,在机器使用 期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零 件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数. (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P(X≤n)≥0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应 选用哪个? 解析:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2.从而

P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以 X 的分布列为

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

(2)由(1)知 P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
1

当 n=19 时,

E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200
+3×500)×0.04=4 040. 当 n=20 时,

E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19. 2. (2015·四川卷)某市 A, B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训 后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前, 从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛, 设 X 表示参赛的男生人数, 求 X 的分布列和数学期望. 解析:(1)由题意,知参加集训的男、女生各有 6 名. C3C4 1 参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为 3 3= . C6C6 100 1 99 因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1- = . 100 100 (2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.
3 3

P(X=1)=

C3C3 1 C3C3 3 C3C3 1 4 = ,P(X=2)= 4 = ,P(X=3)= 4 = . C6 5 C6 5 C6 5

1 3

2 2

3 1

所以 X 的分布列为

Y P
因此,X 的数学期望为

1 1 5

2 3 5

3 1 5

E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1× +2× +3× =2.
3.(2015·陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况 有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

1 5

3 5

1 5

T/分钟
频数/次

25 20

30 30

35 40

40 10

(1)求 T 的分布列与数学期望 E(T); (2)刘教授驾车从老校区出发, 前往新校区作一个 50 分钟的讲座, 结束后立即返回老校 区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 解析:(1)由统计结果可得 T 的频率分布为

2

T/分钟
频率 以频率估计概率得 T 的分布列为

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

T P

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

从而 E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟). (2)设 T1, T2 分别表示往、 返所需时间, T1, T2 的取值相互独立, 且与 T 的分布列相同. 设 事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对 应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”.

P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+ P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.
4.(2015·天津卷改编)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动 员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其 中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手, 且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列. C2C3+C3C3 6 解析:(1)由已知,有 P(A)= = . 4 C8 35 所以,事件 A 发生的概率为 6 . 35
2 2 2 2

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

P(X=k)=

C5C3 4 (k=1,2,3,4).所以,随机变量 X 的分布列为 C8

k 4-k

Y P

1 1 14

2 3 7

3 3 7

4 1 14

3


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