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20.正弦余弦


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(7-20):正弦余弦(158)

459

正弦余弦 [母题]Ⅰ(7-20):(1999 年全国高考试题)函数 f(x)=Msin(ω x+φ )(ω >0)在区间[a,b

]上是增函数,且 f(a)=
-M,f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ω x+φ )在[a,b]上( (A)是增函数 (B)是减函数 ) (C)可以取得最大值 M
2

(D)可以取得最小值-M
2

[解析]:由 f(x)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M ? g(x)在区间[a, a ? b ]上递增,在区间[ a ? b ,b]上递减
? g(x)可以取得最大值 M.故选(C).

[点评]:因其它三角函数均可用正弦、余弦函数表示,所以,可以把
正弦、余弦函数视为三角函数的“基本量”,因此,着意于正弦、余 弦函数以及它们之间的联系和性质是十分必要的;本题使用了如下关系性质: “若 f(x)=Asin(ωx+φ)的递增区间是[2α, 2β](α<β),则 g(x)=Acos(ωx+φ)在区间[2α,α+β]上递增,在区间[α+β,2β]上递减”.

[子题](1): (2008 年全国Ⅱ高考试题)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N 两点,则
|MN|的最大值为( )
2 |sin(a-

(A)1
? )|≤ 2 .故选(B). 4

(B) 2

(C) 3

(D)2

[解析]:因|MN|=|f(a)-g(a)|=|sina-cosa|=

注:本题可推广为:若动直线 x=a 与 y=Asin(ωx+φ)和 y=Bcos(ωx+φ)的图象分别交于 P、 Q 两点,则|PQ|max= A2 ? B2 .

[子题](2): (2010 年福建高考试题)已知函数 f(x)=3sin(ω x- ? )(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完
6

全相同.若 x∈[0,

? ],则 f(x)的取值范围是 2

.
5? ] ? sin 6

[解析]:由对称轴相同 ? 最小正周期相等 ? ω =2 ? f(x)=3sin(2x- ? );又由 x∈[0, ? ] ? 2x- ? ∈[- ? ,
6 2 6 6

(2x-

1 3 ? )∈[- ,1] ? f(x)∈[- ,3]. 6 2 2

注:本题可推广为:若 y=Asin(ω1x+φ)+B 与 y=Ccos(ω2x+φ)+D 的对称轴重合,则ω1=ω2.

[子题](3): (2000 年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)当 α 是锐角时,(sinα +tanα )(cosα +cotα )
的值域是 .
sin ? cos? )(cosα + )=(sinα +1)(cosα +1)=sinα cosα +(sinα + cos? sin ?

[解析]:由(sinα +tanα )(cosα +cotα )=(sinα +
cosα )+1;令 t=sinα +cosα = 2 sin(α +

? 1 3 2 )∈(1, 2 ],则 sinα cosα +(sinα +cosα )+1= (t+1) ∈(2, + 2 ]. 4 2 2

注:本题体现了正弦、余弦函数作为三角函数 “基本量”的功能.

[子题系列]:
1.(2014 年江苏高考试题)已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π ),它们的图象有一个横坐标为 是 .
? 的交点,则φ 的值 3

460

[母题]Ⅰ(7-20):正弦余弦(158)
? )的值是 4

2 2.(2004 年第十五届 “希望杯” 全国数学邀请赛高二试题)若 sinα 是方程 x + 3 x-1=0 的根,则 sin2(α +

.
? ], 2

3.(2001 年第十二届 “希望杯” 全国数学邀请赛高二试题)设关于 x 的方程 x -2xsinθ -(2cos θ +3)=0,其中 θ ∈[0, 则该方程实根的最大值为 ,实根的最小值为 .
? )的图象,可以将函数y=cos2x的图象( 6

2

2

4.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)为了得到函数y=sin(2x(A)向右平移
? 个单位长度 6

)

(B)向右平移

? 个单位长度 3

(C)向左平移

? 个单位长度 6

(D)向左平移

? 个单位长度 3

5.(2013 年课标Ⅱ高考试题)函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图像向右平移 重合 m 则φ = .

? ? 个单位后,与函数 y=sin(2x+ )的图像 3 2

6.(2008 年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)若 f(θ )=acosθ +bsinθ ,g(θ )=ccosθ +dsinθ ,其中 a,b,c,d 是常数,当θ ∈[0,2π ]时,f(θ ),g(θ ),f(θ )+g(θ )的最大值分别为 3,5,6,则 ac+bd= 周期性),求极值,并作出其在[0,2π ]内的图像. 8.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有实数 x,均有 sin xsinkx+cos xcoskx=cos 2x,则 k=( (A)6 (B)5 (C)4 (D)3
k k k

;f(θ )g(θ )的最大值为

.

7.(2007 年上海交通大学保送生考试试题)设函数 f(x)=|sinx|+|cosx|,试讨论 f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和 )

[子题详解]:
1.解:由 cos
? ? 2? 2? ? 2? 5? ? 1 =sin(2 ? +φ ) ? sin(φ + )= ? φ + =2kπ + 或φ + =2kπ + ;又由 0≤φ <π ? φ = . 3 3 3 3 6 3 6 6 2

2 2.解:由 sinα 是方程 x + 3 x-1=0 的根 ? sinα =

? 7? 3 2 (另一根舍去) ? sin2(α + )=cos2α =1-2sin α = 21 -4. 4 2
2 2 2

3.解 : 由 x -2xsinθ -(2cos θ +3)=0 ? x -2xsinθ +2sin θ -5=0 ? (x-sin θ ) =5-sin θ ? x=sin θ ? 值为 3;最小值=- 5 . 4.解:由 y=cos2x=sin[2(x+
? ? ? )]→y=sin(2x- )=sin[2(x- )].故选(B). 4 6 12
? ? ? ? 5? )→y=sin[2(x- )+φ + ]=sin(2x+φ - ) ? φ = . 2 2 2 2 6
2 2

2

2

2

5 ? sin2 ? ? 最大

5.解:由 y=cos(2x+φ )=sin(2x+φ +

6.解:当θ ∈[0,2π ]时,fmax(θ )= a 2 ? b 2 ,gmax(θ )= c 2 ? d 2 ,[f(θ )+g(θ )]max= (a ? c)2 ? (b ? d )2 ? a +b =9,c +d =25,(a+
2 2

c) +(b+d) =36 ? ac+bd=1;由 f(θ )g(θ )=(acosθ +bsinθ )(ccosθ +dsinθ )=accos θ +bdsin θ +(ad+bc)sinθ cosθ =
1 1 1 1 (ad+bc)sin2θ + (ac-bd)cos2θ + ≤ 2 2 2 2

2

2

2

2

(ad ? bc)2 ? (ac ? bd)2 +

1 1 = 2 2

(a 2 ? b2 )( c 2 ? d 2 ) +

1 =8. 2

7. 解 :f(x)=|sinx|+|cosx|= 1? | sin 2 x | ∈ [1, 2 ] 为 有 界 函 数 ,f(x) 为 偶 函 数 , 最 小 正 周 期 = +

? , 由 k π ≤ 2x ≤ k π 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ≤x≤k + ? f(x)在[k ,k + ]内单调递增,在[k + ,k + ]内单调递减;图像略. 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2
k k k

8.解:记 f(x)=sin xsinkx+cos xcoskx-cos 2x,则 f(x)恒为 0 ? f( sin(nπ -

? k? ? k )=sin -(-1) =0 ? k 为奇数;设 k=2n-1,则 f( )= 2 2 2

? )+1=-cosnπ +1=0 ? cosnπ =1 ? n=2m 为偶数 ? k=4m-1.故选(D). 2


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