当前位置:首页 >> 数学 >>

2011年北京市各区一模试题分类解析十二、圆锥曲线(选修2-1)


十二、 十二、圆锥曲线 1 ( 2011 西 城 一 模 文 11 ) . 双 曲 线 C :

x2 6 ? y 2 = 1 的 离 心 率 为 __ ____ ; 若 椭 圆 2 2

x2 + y 2 = 1(a > 0) 与双曲线 C 有相同的焦点,则 a = ___ 2 ___. a2
2 ( 2011 西 城 一

模 文 12 ) . 设 不 等 式 组 ?

??2 ≤ x ≤ 2, 表示的区域为W ,圆 ? ?2 ≤ y ≤ 2

C : ( x ? 2)2 + y 2 = 4 及其内部区域记为 D .若向区域 W 内投入一点,则该点落在区域

π D 内的概率为_ ____. 8
13) 3(2011 东城一模理 13)过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点作倾斜角为 60 的直线,与抛物线 分别交于 A , B 两点(点 A 在 x 轴上方) ,

AF BF

=

3
(2, 0)
y A

. .

4(2011 东城一模文 9)抛物线 y 2 = 8 x 的焦点坐标为 ( ) 5(2011 朝阳一模理 7)如图,双曲线的中心在 ( ) 坐标原点 O , A, C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B 是双曲 线的左顶点, F 为双曲线的左焦点,直线

AB 与 FC 相交于点 D .若双曲线的离心率
为 2,则 ∠BDF 的余弦值是(C) (A)

F D

B

O

x

7 7 7 14

(B)

5 7 7 5 7 14

C

(C)

(D)

6(2011 丰台一模理 10).双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线的 标准方程为

x2 y 2 ? = 1 ,渐近线方程为 y = ±2 2 x . 4 32

x2 y2 2 7(2011 门头沟一模理 12.)设双曲线 2 ? 2 = 1 的一条渐近线与抛物线 y = x + 1 只有一 ) a b
个公共点,则双曲线的离心 率等于

5



8(2011 石景山一模理 7). 已知椭圆 )

x2 + y 2 = 1 的焦点为 F1 , F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 4

M ,过 M 作垂直
于 A1 A2 的直线交椭圆于点 P ,则使得 PF1 ? PF2 < 0 的点 M 的概率为( )

A.

2 3

B.

6 3

C.

2 6 3

D.

1 2

9(2011 朝阳一模文 12).抛物线 y = 4 x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 | MF |= 4 , )
2

则点 M 的横坐标 x =

3
2

.

10( y), 10(2011 丰台文 9). ) 已知抛物线 y = 4 x 上一点 P(3, 则点 P 到抛物线焦点的距离为 4 .

11(2011 门头沟一模文 5) 5).椭圆两焦点为 F1 ( ?4, 0) , F2 (4, 0) ,P 在椭圆上,若△ PF1 F2 的 面积的最大值为 12,则该椭圆的标准方程为 A.

x2 y 2 + = 1 B. 25 9

x2 y 2 + = 1 C. 25 16

x2 y 2 + = 1 D. 16 9

x2 y2 + =1 10 6

12(2011 石景山一模文 7). 已知椭圆 点 M ,过 M 作垂直

x2 + y 2 = 1 的焦点为 F1 , F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一 4

于 A1 A2 的直线交椭圆于点 P ,则使得 PF1 ? PF2 < 0 的点 M 的概率为(



A.

2 6 2 6 1 B. C. D. 3 3 3 2

解答 19) 1(2011 西城一模理 19). (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P ,交抛物 线于 A, B 两点,其中点 A 在第一象限.

(Ⅰ)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切; (Ⅱ)若 FA = λ1 AP , BF = λ2 FA ,

λ1 1 1 ∈ [ , ] ,求 λ2 的取值范围. λ2 4 2

解: (Ⅰ)由已知 F (

p , 0) ,设 A( x1 , y1 ) ,则 y12 = 2 px1 , 2 2 x1 + p y1 2x + p 圆心坐标为 ( , ), 圆心到 y 轴的距离为 1 , 4 2 4

…………………2

分 圆的半径为 分 所以, 以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切. 分 (Ⅱ)解法一:设 P (0, y0 ), B ( x2 , y2 ) ,由 FA = λ1 AP , BF = λ2 FA ,得 …………………5

FA 1 p 2x + p = × x1 ? (? ) = 1 , 2 2 2 4

…………………4

( x1 ?


p p p , y1 ) = λ1 (? x1 , y0 ? y1 ) ,( ? x2 , ? y2 ) = λ2 ( x1 ? , y1 ) , 2 2 2 p = ?λ1 x1 , y1 = λ1 ( y0 ? y1 ) , 2 p p ? x2 = λ2 ( x1 ? ), y2 = ?λ2 y1 , 2 2
2 2 2

…………………6

所以 x1 ?

…………………8

分 由 y2 = ?λ2 y1 ,得 y2 = λ2 y1 . 又 y1 = 2 px1 , y2 = 2 px2 ,
2 2

所以 x2 = λ2 x1 .
2

…………………

10 分 代入

p p p p p ? x2 = λ2 ( x1 ? ) ,得 ? λ22 x1 = λ2 ( x1 ? ) , (1 + λ2 ) = x1λ2 (1 + λ2 ) , 2 2 2 2 2

整理得 x1 = 分 代入 x1 ?

p
2λ2



…………………12

p p p λp = ?λ1 x1 ,得 ? =? 1 , 2 2λ2 2 2λ2

所以 分

1

λ2

= 1?

λ1 , λ2

…………………13

因为 分

λ1 1 1 4 ∈ [ , ] , λ2 的取值范围是 [ , 2] . 所以 λ2 4 2 3
p , 2

…………………14

解法二: 解法二:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , AB : x = my + 将 x = my +

p 2 2 2 代入 y = 2 px ,得 y ? 2 pmy ? p = 0 , 2
2

, 所以 y1 y2 = ? p (*) 分 由 FA = λ1 AP , BF = λ2 FA ,得

…………………6

( x1 ?


p p p , y1 ) = λ1 (? x1 , y0 ? y1 ) , ( ? x2 , ? y2 ) = λ2 ( x1 ? , y1 ) , 2 2 2 p = ?λ1 x1 , y1 = λ1 ( y0 ? y1 ) , 2 p p ? x2 = λ2 ( x1 ? ), y2 = ?λ2 y1 , 2 2 p2

…………………7

所以, x1 ?

…………………8

分 将 y 2 = ?λ 2 y1 代入(*)式,得 y1 =
2

λ2



…………………

10 分 所以 2 px1 = 12 分 代入 x1 ? 分 因为 分
2 19) 2(2011 西城一模文 19)已知抛物线 y = 4 x 的焦点为 F ,直线 l 过点 M (4, 0) .

p2

λ2

, x1 =

p

2λ2

.

…………………

p 1 λ = ?λ1 x1 , 得 = 1? 1 . 2 λ2 λ2

…………………13

λ1 1 1 4 ∈ [ , ] , λ2 的取值范围是 [ , 2] . 所以 λ2 4 2 3

…………………14

(Ⅰ)若点 F 到直线 l 的距离为 3 ,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设 A, B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴重合,若线段 AB 的垂直平分线恰过点

M ,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值.

解: (Ⅰ)由已知, x = 4 不合题意.设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 4) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为 (1, 0) , 1分 因为点 F 到直线 l 的距离为 3 , 所以 分 解得 k = ± 分 (Ⅱ)设线段 AB 中点的坐标为 N ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴, 则直线 MN 的斜率为 分 直线 AB 的方程为 y ? y0 = 分 …………………

3k 1+ k 2

= 3,

…………………3

2 2 , 所以直线 l 的斜率为 ± . 2 2

…………………5

y0 4 ? x0 ,直线 AB 的斜率为 , x0 ? 4 y0 4 ? x0 ( x ? x0 ) , y0

…………………7

…………………8

4 ? x0 ? ? y ? y0 = y ( x ? x0 ), 联立方程 ? 0 ? y 2 = 4 x, ?
消去 x 得 (1 ? 分 所以 y1 + y2 = 分 因为 N 为 AB 中点,所以 分 所以 x0 = 2 .即线段 AB 中点的横坐标为定值 2 . 3(2011 东城一模理 19) (本小题共 13 分) 3(2011 …………………14 分

x0 2 2 ) y ? y0 y + y0 + x0 ( x0 ? 4) = 0 , 4 4 y0 , 4 ? x0 2 y0 y1 + y2 = y0 ,即 = y0 , 2 4 ? x0

…………………10

…………………11

…………………13

已知椭圆

y 2 x2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,且两个焦点和短轴的一个端点是 2 a b 2

一个等腰三角形的顶点. 斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P ,Q 两 点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M (0, m) . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 (Ⅲ)试用 的取值范围; 表示△ MPQ 的面积,并求面积的最大值.

解: (Ⅰ)依题意可得,

c 2 = ,b = c , a 2
2

又a = b + c ,
2 2

可得 b = 1, a =

2.

y2 所以椭圆方程为 + x2 = 1. 2
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y = kx + 1 ,

? y = kx + 1, ? 由 ? y2 可得 ( k 2 + 2) x 2 + 2kx ? 1 = 0 . 2 ? + x = 1, ?2
设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 =

?2 k 1 , x1 x2 = ? 2 . 2 k +2 k +2 4 . k +2
2

可得 y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 =

设线段 PQ 中点为 N ,则点 N 的坐标为 ( 由题意有 k MN ? k = ?1 ,

?k 2 , 2 ), k +2 k +2
2

m?
可得

2 k + 2 ? k = ?1 . k 2 k +2
2

可得 m =

1 , k +2
2

又k ≠ 0, 所以 0 < m <

1 . 2

(Ⅲ)设椭圆上焦点为 F , 则 S ?MPQ =

1 ? FM ? x1 ? x2 . 2

x1 ? x2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =
由m =

8(k 2 + 1) , (k 2 + 2) 2

1 1 2 ,可得 k + 2 = . k +2 m
2

所以 x1 ? x2 =

8(

1 ? 1) m = 8m(1 ? m) . 1 m2

又 FM = 1 ? m , 所以 S ?MPQ =

2m(1 ? m)3 .
3

所以△ MPQ 的面积为 2 m(1 ? m) ( 0 < m < 设 f ( m) = m(1 ? m) 3 , 则 f ' ( m) = (1 ? m) 2 (1 ? 4m) .

1 ) . 2

可知 f ( m) 在区间 (0, ) 单调递增,在区间 ( , ) 单调递减. 所以,当 m = 所以,当 m =

1 4

1 1 4 2

1 1 27 时, f ( m) 有最大值 f ( ) = . 4 4 64 1 3 6 时,△ MPQ 的面积有最大值 . 4 8

4(2011 东城一模文 19) 本小题共 14 分) ( (本小题共 ) ( 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 离的最大值为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 P (0, m) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且 AP = 3PB ,求实数 m 的 取值范围. 解: (Ⅰ)设所求的椭圆方程为:

1 ,椭圆 C 上的点到焦点距 2

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) a2 b2

?c 1 ?a = 2 ?a = 2 ? ? 由题意: ?a + c = 3 ? ?b = 3 ? 2 ?c = 1 2 2 ? ?a = b + c ?
所求椭圆方程为:

x2 y 2 + = 1. 4 3
3 . 2

……………………5 分

(Ⅱ)若过点 P (0, m) 的斜率不存在,则 m = ±

若过点 P (0, m) 的直线斜率为 k ,即: m ≠ ± 直线 AB 的方程为 y ? m = kx 由?

3 时, 2

? y = kx + m
2 2

?3x + 4 y = 12

? (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 ? 12 = 0

? = 64m 2 k 2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12)
因为 AB 和椭圆 C 交于不同两点 所以 ? > 0 , 4k ? m + 3 > 0
2 2

所以 4k > m ? 3
2 2



设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

8km 4m 2 ? 12 由已知 AP = 3PB ,则 x1 + x2 = ? , x1 x2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2



AP = (? x1 , m ? y1 ), PB = ( x2 , y2 ? m)
? x1 = 3 x2


将③代入②得: ?3(
2 2

4km 2 4m 2 ? 12 ) = 3 + 4k 2 3 + 4k 2
2 2

整理得: 16m k ? 12k + 3m ? 9 = 0 所以 k =
2

9 ? 3m 2 9 ? 3m 2 2 代入①式得 4k = > m2 ? 3 16m 2 ? 12 4m 2 ? 3

4m 2 (m 2 ? 3) 3 < 0 ,解得 < m 2 < 3 . 2 4m ? 3 4
所以 ? 3 < m < ?

3 3 或 <m< 3. 2 2

综上可得,实数 m 的取值范围为: ( ? 3, ?

3 3 ] ∪ [ , 3) . 2 2
……………………14 分

5(2011 朝阳一模理 19)(本小题满分 14 分) ( ) . 已知 A( ?2, 0) , B (2, 0) 为椭圆 C 的左、右顶点, F 为其右焦点, P 是椭圆 C 上异于

A , B 的动点,且 ?APB 面积的最大值为 2 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ) 直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D , 当直线 AP 绕点 A 转动时, 试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) , F (c, 0) . a2 b2
y P E O F B x D

1 ? ? 2a ? b = 2 3, ? 2 由题意知 ? 解得 b = 3 , c = 1 . a = 2, ? 2 ? a = b2 + c 2 .

A

x2 y 2 1 故椭圆 C 的方程为 + = 1 ,离心率为 .……6 分 4 3 2
(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y = k ( x + 2) ( k ≠ 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y = k ( x + 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 ? 12 = 0 . =1 ? + 3 ?4
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 =

16k 2 ? 12 . 3 + 4k 2
……………………………10 分

所以 x0 =

6 ? 8k 2 12k , y0 = k ( x0 + 2) = . 2 3 + 4k 3 + 4k 2

因为点 F 坐标为 (1, 0) , 当k = ±

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ± ) ,点 D 的坐标为 (2, ± 2) . 2 2

2 2 直线 PF ⊥ x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) + ( y ? 1) = 1 与直线 PF 相切.

当k ≠ ±

y0 1 4k 时,则直线 PF 的斜率 k PF = = . 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

所以直线 PF 的方程为 y =

点 E 到直线 PF 的距离 d =

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 +1 (1 ? 4k 2 )2
1 | BD | . 2

2 k + 8k 3 1 ? 4k 2 = = 2 | k |. 1 + 4k 2 |1 ? 4k 2 |

又因为 | BD |= 4 | k | ,所以 d =

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.………14 分

6(2011 丰台一模理 19).(本小题共 14 分) ( 已知点 A( ?1, 0) , B (1, 0) ,动点 P 满足 | PA | + | PB |= 2 3 ,记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)直线 y = kx + 1 与曲线 W 交于不同的两点 C,D,若存在点 M (m, 0) ,使得

CM = DM 成立,求实数 m 的取值范围.

解: (Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 2 3 的椭圆.…… 2分 ∴ c = 1, a = W 的方程是

3 , b2 = 2 .

……3 分

x2 y 2 + = 1. 3 2

…………4 分

(另解:设坐标 1 分,列方程 1 分,得结果 2 分) (Ⅱ)设 C,D 两点坐标分别为 C ( x1 , y1 ) 、 D ( x2 , y2 ) ,C,D 中点为 N ( x0 , y0 ) .

? y = kx + 1 ? 由 ? x2 y 2 =1 ? + 2 ?3
所以 x1 + x2 = ?

得 (3k 2 + 2) x 2 + 6kx ? 3 = 0 .

……6 分

6k 3k 2 + 2

…………7 分

∴ x0 =

x1 + x2 3k =? 2 , 2 3k + 2

从而 y0 = kx0 + 1 =

2 . 3k + 2
2

∴ MN 斜率 k MN

2 2 y0 3k + 2 = = . x0 ? m ? 3k ? m 3k 2 + 2
∴ CD ⊥ MN ,

………9 分

又∵ CM = DM ,

2 1 3k + 2 ∴ =? 3k k ? 2 ?m 3k + 2 当 k = 0 时, m = 0 ;
2

即 m=?

k 3k + 2
2

…10 分

……11 分 ……13 分

当 k ≠ 0 时, m = ?

1 6 6 k ∈ [? ,0) ∪ (0, =? ]. 2 3k + 2 12 12 3k + k
2

故所求 m 的取范围是 [?

6 6 , ]. 12 12

……14 分

7(2011 海淀一模理 19). (本小题共 14 分) 本小题共 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 + 2 = 1 ( a > b > 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 a b 2 2
1 ) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y = kx + m (| k |≤

边作平行四边形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 OP 的取值范围.

解: (Ⅰ)由已知可得 e =
2

a 2 ? b2 1 = ,所以 3a 2 = 4b 2 2 a 4 1 9 + 2 =1 2 a 4b

① ……………1 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a 2 = 4, b 2 = 3 .

3 2

② ……………2 分

x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 + = 1. 4 3

……………5 分

(Ⅱ)

由?

? y = kx + m, ? x2 y2 = 1. ? + 3 ?4
2 2 2

消 y 化简整理得: (3 + 4k ) x + 8kmx + 4m ? 12 = 0 ,

? = 64k 2 m2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12) = 48(3 + 4k 2 ? m 2 ) > 0
③ ……………8 分

( ( 设 A, B , P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则
x0 = x1 + x2 = ?
…9 分 由
2 2 x0 y0 + = 1. 4 3

8km 6m , y0 = y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2m = . 2 3 + 4k 3 + 4k 2 P
在 椭 圆

…………





C









……………10 分

从而

16k 2 m 2 12m 2 + = 1 , 化 简 得 4 m 2 = 3 + 4k 2 , 经 检 验 满 足 ③ 2 2 2 2 (3 + 4k ) (3 + 4k )

式. ………11 分 又 | OP |=
2 2 x0 + y0 =

64k 2 m2 36m2 + (3 + 4k 2 ) 2 (3 + 4k 2 ) 2

=

4m2 (16k 2 + 9) 16k 2 + 9 = (3 + 4k 2 ) 2 4k 2 + 3
3 . 4k + 3
2

= 4?
分 因为 k ≤

………………………12

1 3 3 ,得 3 < 4 k 2 + 3 ≤ 4 ,有 ≤ < 1, 2 2 4 4k + 3

故 3 ≤ OP ≤

13 . 2 13 ]. 2
………………………14 分

即所求 OP 的取值范围是 [ 3,

(Ⅱ)另解:设 A, B , P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) , ( ( 由

A, B















? 3x12 + 4 y12 = 12 ① ? 2 2 ?3x2 + 4 y2 = 12 ②
① — ②

………………………6 分 整 理 ………………………7 分 , 所 以 得

3( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) + 4( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) = 0 ③
由 已 知 可 得

OP = OA + OB

? x1 + x2 = x0 ④ ? ? y1 + y2 = y0 ⑤
由 ⑥ 把 已 知 当

……………………8 分

k=

y1 ? y2 x1 ? x2

,



y1 ? y2 = k ( x1 ? x2 )



………………………9 分 ⑤ ⑥ 代 入









3 x0 = ?4ky0


………………………10 分 联 立 消

3 x0 2 + 4 y0 2 = 12

x0







y0 2 =

9 4k + 3
2 2 2

……………………11 分
2

由 3 x0 + 4 y0 = 12 得 x0 = 4 ? 所

4 2 y0 , 3
以 ……………………

| OP |2 = x0 2 + y0 2 = 4 ?
12 分 因为 k ≤ 故

4 2 1 3 y0 + y0 2 = 4 ? y0 2 = 4 ? 2 3 3 4k + 3

1 3 3 ,得 3 ≤ 4 k 2 + 3 ≤ 4 ,有 ≤ ≤ 1, 2 2 4 4k + 3

3 ≤ OP ≤
13 分

13 . 2

………………………

所求 OP 的取值范围是 [ 3, 分

13 ]. 2

………………………14

8(2011 门头沟一模理 19). . (本小题满分 13 分) ( 如图:平行四边形 AMBN 的周长为 8,点 M , N 的坐标分别为 ? 3 , 0 ,

(

)(

3,0 .

)

(Ⅰ)求点 A, B 所在的曲线方程; (Ⅱ)过点 C ( ?2, 0) 的直线 l 与(Ⅰ)中曲线交于点 D ,与 Y 轴交于点 E ,且 l // OA , 求证:

y A

CD ? CE
2

为定值.

M

O

N

x

OA
B 解: (Ⅰ)因为四边形 AMBN 是平行四边形,周长为 8 所 以 两 点 A, B 到 M , N 的 距 离 之 和 均 为 4, 可 知 所 求 曲 线 为 椭 圆 …………………1 分 由椭圆定义可知, a = 2, c =

3 ,b =1
…………………4

所求曲线方程为 分

x2 + y2 = 1 4

(Ⅱ)由已知可知直线 l 的斜率存在,又直线 l 过点 C ( ?2, 0) 设 直 线

l











y = k ( x + 2)
代入曲线方程

…………………5 分

x2 + y 2 = 1( y ≠ 0) ,并整理得 (1 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 ? 4 = 0 4
在 曲 线 上 , 所 以



C (?2, 0)

D(

? 8k 2 + 2 4k , ) 2 1 + 4k 1 + 4k 2

…………………8 分

4 4k E (0, 2k ) , CD = ( , ) , CE = (2, 2k ) 2 1 + 4k 1 + 4k 2
因为 OA // l , 所 以 设 的 方

…………………9 分

OA





y = kx
2 2 代入曲线方程,并整理得 (1 + 4k ) x = 4

…………………10 分





A(±

2 1 + 4k
2



2k 1 + 4k 2

)

…………………11 分

8 8k 2 + CD ? CE 2 k2 = 1 + 4k 1 + 42 = 2 2 4 4k OA + 2 1 + 4k 1 + 4k 2
所 以 :

CD ? CE
2





OA
值 …………………13 分

9(2011 石景山一模理 19)(本小题满分 13 分) )(本小题满分 . 已知椭圆

x2 y2 6 1 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 经 过 点 P ( , ) ,离心率为 ,动点 2 2 a b 2 2

M (2 ,) (t > 0) . t
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N, 证明线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

解: (Ⅰ)由题意得

c 2 = ① a 2

6 2 1 ) ( )2 6 1 因为椭圆经过点 P ( , ) ,所以 2 2 + 22 = 1 ② a b 2 2 (
又a = b +c
2 2 2


2 2 2

由①②③ 解得 a = 2 , b = c = 1 . 所以椭圆方程为

x2 + y 2 = 1. 2

…………3 分

t t2 (Ⅱ)以 OM 为直径的圆的圆心为 (1, ) ,半径 r = +1 , 2 4
方程为 ( x ? 1) + ( y ? ) =
2 2

t 2

t2 +1 4

……………5 分

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 截得的弦长为 2, 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 的距离 d =

r 2 ?1 =

t . 2

…………7 分

所以

3 ? 2t ? 5 5

=

t ,解得 t = 4 . 2
………9 分
2

所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 5 . (Ⅲ)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K,由平几知: ON 则直线 OM: y =

= OK OM .
…………11 分

t 2 x ,直线 FN: y = ? ( x ? 1) 2 t

t ? y = x, ? 4 ? 2 由? 得 xK = 2 . 2 t +4 ? y = ? ( x ? 1), ? t ?
∴ ON
2

= xK (1 +

4 + t2 4 t2 t2 ) ? xM (1 + ) = ? 2 ?2 = 2 . 4 4 4 t +4
…………13 分

所以线段 ON 的长为定值 2 . 方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 FN = ( x0 ? 1, y0 ) , OM = ( 2, t ) ,

MN = ( x0 ? 2, y0 ? t ) , ON = ( x0 , y0 ) .
∵ FN ⊥ OM ,∴ 2( x0 ? 1) + ty0 = 0 .∴ 2 x0 + ty0 = 2 . 又∵ MN ⊥ ON ,∴ x0 ( x0 ? 2) + y0 ( y0 ? t ) = 0 , ∴ x0 + y0 = 2 x0 + ty0 = 2 .
2 2

……………11 分

∴ ON =

x0 + y0 = 2 为定值.
2 2

……………13 分

10(2011 朝阳一模文 19). (本小题满分 14 分)

已知 A( ?2, 0) , B (2, 0) 为椭圆 C 的左右顶点, F (1, 0) 为其右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (Ⅱ)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 P (不同于 A , B ) ,与椭圆在点 B 处的切 线交于点 D .当直线 l 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关 系,并加以证明. (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 解:

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) ,半焦距为 c , a2 b2

因为 A( ?2, 0) 、 B (2, 0) 为椭圆 C 的左、右顶点, F (1, 0) 为其右焦点, 所以 a = 2 , c = 1 . 又因为 a = b + c ,所以 b =
2 2 2

y

D

a ?c = 3.
2 2

P E O F B x

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 1 + = 1 ,离心率为 .……5 分 4 3 2

A

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下: 由题意可设直线 l 的方程为 y = k ( x + 2) ( k ≠ 0) , 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y = k ( x + 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 ? 12 = 0 . + = 1, ? 3 ?4
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 =

16k 2 ? 12 . 3 + 4k 2

6 ? 8k 2 12k 所以 x0 = , y0 = k ( x0 + 2) = . 2 3 + 4k 3 + 4k 2
因为点 F 坐标为 (1, 0) , 当k = ±

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ± ) ,点 D 的坐标为 (2, ± 2) , 2 2

直线 PF ⊥ x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 与直线 PF 相切. 当k ≠ ±

y0 1 4k 时,则直线 PF 的斜率 k PF = = . 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

所以直线 PF 的方程为 y =

点 E 到直线 PF 的距离 d =

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 +1 (1 ? 4k 2 )2

2 k + 8k 3 1 ? 4k 2 = = 2 | k |. 1 + 4k 2 |1 ? 4k 2 |

1 | BD | . 2 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 l 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.………14 分
又因为 | BD |= 4 | k | 所以 d = 11(2011 丰台文 18). 本小题共 14 分) . ( 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y = kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 OA 上存在一点 M , OB 上存在一 点N , 使得 MN = 解 : ( Ⅰ ) 依

1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

1 AB , 若原点 O 在以 MN 为直径的圆上, 求直线斜率 k 的值. 2
题 意 , 可 设 椭 圆

E









x2 y2 + = 1 (a > b > 0) . a2 b2


……………………1 分

c 1 = a 2



∴ ……………………3 分

a = 2c



b 2 = a 2 ? c 2 = 3c 2 .
∵ 椭圆经过点 (1, ) , ∴ 椭

3 2











x2 y 2 + = 1. 4 3

……………………5 分

(Ⅱ) 记 A, B 两点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

? y = kx ? 2 ? 2 ?x y2 + =1 ? 3 ?4 (4k 2 + 3) x 2 ? 16kx + 4 = 0 .
∵ 直线与椭圆有两个交点,



y





……………………7 分

∴ ? = (16k ) ? 16(4k + 3) > 0 ,
2 4



k2 >


1 . 4 16k 4 , x1 x2 = . 2 2 4k + 3 4k + 3

……………………9

由韦达定理 x1 + x2 =

∵ 原点 O 在以 MN 为直径的圆上, ∴ OM ⊥ ON ,即 OM ? ON = 0 . ∵ MN = ∴

1 AB , M 在 OA 上, N 在 OB 上 2

OA ? OB = 0 ,
分 又 OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y2 ) , ∴

……………………10

OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) = (k 2 + 1) x1 x2 ? 2k ( x1 +x2 )+4
= (k 2 + 1)


4 16k ? 2k 2 +4=0 . 4k + 3 4k + 3
2

k2=


4 1 > , 3 2

……………………13



k= ±


2 3 . 3

……………………14

12(2011 海淀一模文 19). (本小题共 14 分) 19) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 + 2 = 1 ( a > b > 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值. 解: (Ⅰ)由已知, e =
2

a 2 ? b2 1 = ,所以 3a 2 = 4b 2 , 2 a 4
1 9 + 2 =1 , 2 a 4b



…………………1 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a = 4, b = 3 .
2 2

3 2



…………………2 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

…………………5 分

(Ⅱ) 当直线 l 有斜率时,设 y = kx + m 时, 则由 ?

? y = kx + m, ? x2 y 2 = 1. ? + 3 ?4
…………………6 分

消去 y 得, (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 ? 12 = 0 ,

? = 64k 2 m2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12) = 48(3 + 4k 2 ? m 2 ) > 0 , ③…………7 分
设 A、B、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则: ( (

x0 = x1 + x2 = ?

8km 6m , y0 = y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2m = …………8 分 2 3 + 4k 3 + 4k 2 ,
……… 9 分

2 2 x0 y0 由于点 P 在椭圆 C 上,所以 + =1 . 4 3

从而

16k 2 m 2 12m 2 + = 1 ,化简得 4m 2 = 3 + 4k 2 ,经检验满足③式. (3 + 4k 2 )2 (3 + 4k 2 ) 2
………10 分

又点 O 到直线 l 的距离为:

3 2 +k |m| 1 1 3 4 d= = = 1? ≥ 1? = 2 4(1 + k ) 4 2 1+ k2 1+ k2
当且仅当 k = 0 时等号成立 分 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

………11 分 …………12

从而 P 点为 ( ?2,0),(2,0) ,直线 l 为 x = ±1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

……13 分

3 2

……14 分

13(2011 门头沟一模文 18).(本小题满分 14 分)

x2 y2 ? 2 =1 (b ∈ N * ) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 是双曲线上的一点, 已知双曲线 4 b
且满足

PF1 ? PF2 = F1F2 , PF2 < 4 ,
2

(I)求 b 的值; (II)抛物线 y 2 = 2 px

( p > 0) 的焦点 F 与该双曲线的右顶点重合,斜率为 1 的直线

经过点 F 与该抛物线交于 A、B 两点,求弦长|AB|. 解 (I)根据题意 a = 4 , a = 2
2 2 2 2

…………2 分,
2

|| 又|P F 1 |?|PF 2 |=| F 1 F 2 | 2 = 4c , |P 又,a + b = c , PF1 | ? | PF2 ||= 2a = 4 ,
F 2 |<4, 得

| PF2 | 2 +4 | PF2 | ?4c 2 = 0 在区间(0,4)上有解, 所以 c 2 < 8 …………4 分
因此 b < 4 ,又 b ∈ N ,所以 b = 1
2 *

…………6 分

x2 (II)双曲线方程为 ? y 2 =1,右顶点坐标为(2,0) F (2,0) ,即 4
所以抛物线方程为 y 2 = 8 x 由(1) (2)两式联立,解得 ?

…………7 分

(1)

直线方程为 y = x ? 2 和?

(2) …………9 分
…………11 分

? x1 = 6 + 4 2 ? y1 = 4 + 4 2
2

? x2 = 6 ? 4 2 ? y2 = 4 ? 4 2

所以弦长|AB|= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) =16
2

…………14 分

(本小题满分 13 分) 14(2011 石景山一模文 19). .

x2 y2 6 1 2 已 知 椭 圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 经 过 点 P ( , ) ,离心率为 ,动点 2 a b 2 2
M (2 ,) (t > 0) . t
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N, 证明线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

解: (Ⅰ)由题意得

c 2 = ① a 2

6 2 1 ) ( )2 6 1 因为椭圆经过点 P ( , ) ,所以 2 2 + 22 = 1 ② a b 2 2 (
又a = b +c
2 2 2


2 2 2

由①②③ 解得 a = 2 , b = c = 1 . 所以椭圆方程为

x2 + y 2 = 1. 2
t 2 t2 +1 , 4

…………3 分

(Ⅱ)以 OM 为直径的圆的圆心为 (1, ) ,半径 r =

方程为: ( x ? 1) + ( y ? ) =
2 2

t 2

t2 +1 4

……………5 分

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 截得的弦长为 2, 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 的距离 d =

r 2 ?1 =

t . 2

…………7 分

所以

3 ? 2t ? 5 5

=

t ,解得 t = 4 . 2
………9 分
2

所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 5 . (Ⅲ)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K,由平几知: ON 则直线 OM: y =

= OK OM .
…………11 分

t 2 x ,直线 FN: y = ? ( x ? 1) 2 t

t ? ?y = 2 x 4 ? 由? ,得: xK = 2 . t +4 ? y = ? 2 ( x ? 1) ? t ?
∴ ON
2

= xK (1 +

4 + t2 4 t2 t2 ) ? xM (1 + ) = ? 2 ?2 = 2 . 4 4 4 t +4
…………13 分

所以线段 ON 的长为定值 2 . 方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 FN = ( x0 ? 1, y0 ) , OM = ( 2, t ) ,

MN = ( x0 ? 2, y0 ? t ) , ON = ( x0 , y0 ) .
∵ FN ⊥ OM ,∴ 2( x0 ? 1) + ty0 = 0 .∴ 2 x0 + ty0 = 2 . 又∵ MN ⊥ ON ,∴ x0 ( x0 ? 2) + y0 ( y0 ? t ) = 0 , ∴ x0 + y0 = 2 x0 + ty0 = 2 .
2 2

……………11 分

∴ ON =

x0 + y0 = 2 为定值.
2 2

……………13 分


相关文章:
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(10) 圆锥曲...
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(10) 圆锥曲线 文 隐藏>> 十、圆锥曲线(选修 2-1) 12. (2012 高考模拟文科) 设双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 1的...
...市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1)
2010~2011年度第一学期北京市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1) 2011北京高三数学年期末复习汇编2011北京高三数学年期末复习汇编隐藏>> 十二圆锥曲线...
...市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1)
2010~2011学年度第一学期北京市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1) ...十二十二圆锥曲线 1.( 1.(2011 年东城区期末文 7)已知斜率为 2 的...
2011年北京市各区一模试题分类解析十九、空间几何体(必...
2011年北京市各区一模试题分类解析十九、空间几何体(必修二、选修2-1) 隐藏>>...空间几何体 第一部分 三视图 1(2011 西城一模理 12).一个棱锥的三视图如图...
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(12) 圆锥曲...
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(12) 圆锥曲线 理 隐藏>> 十二圆锥曲线 10(2012 年海淀一模理 10)过双曲线 渐近线的直线方程是 答案: 4 x - 3...
...市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1)
【非常经典的】2010~2011学年度第一学期北京市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1) 隐藏>> 北京圆锥曲线经典习题 1.( 1.(2011 年东城区期末文 7)已...
十二、圆锥曲线1(选修2-1)
14页 2财富值 2011年北京市各区一模试题... 23页 2财富值 ...十二圆锥曲线1(选修2-1) 2012年北京市各区二模试题分类解析 文科数学2012年...
2011年北京市各区一模试题分类解析十四、统计、概率、...
2011年北京市各区一模试题分类解析十四、统计、概率、随机变量及其分布1(必修3、选修2-3)_数学_高中教育_教育专区。高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/...
2011年北京市各区一模试题分类解析十三、排列、组合及...
1页 10财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议...2011年北京市各区一模试题分类解析十三、排列、组合及二项式定理(选修2-3) 隐藏...
十二、圆锥曲线1(选修2-1)
14页 2财富值 2011年北京市各区一模试题... 23页 2财富值 ...十二圆锥曲线1(选修2-1) 2012年北京市各区二模试题分类解析 理科数学2012年...
更多相关标签: