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专题46 空间向量及其运算(解析版)


专题四十六 空间向量及其运算

【高频考点解读】 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用数量积判断向量的共线与垂直. 【热点题型】 题型一 空间向量的线性运算

→ → → 例 1、在平行六面体 A

BCD-A1B1C1D1 中,AB=a,向量AD=b,AA1=c,N 是 AB 的中 → 点,M 是 A1C1 的中点,试用向量 a,b,c 表示MN. → → → → → → → 1→ 1 【解析】如图所示,知MN+NA+AA1+A1M=0,因为NA=- AB=- a,AA1=c,A1M 2 2 → 1 1 → 1 1 1 = A1C1= (a+b),所以MN= a-c- (a+b)=- b-c. 2 2 2 2 2

【提分秘籍】 用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,可从以下角度入手 (1)要有基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来; (2)把要表示的向量标在封闭图形中,表示为其他向量的和、差的形式,进而寻找这些向 量与基向量的关系; (3)用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用 加法,否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘. 【热点题型】 题型二 共线向量定理、共面向量定理的应用

例 2、已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,

(1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点, → 1 → → → → 求证:对空间任一点 O,有 OM = (O A +O B +O C +O D ). 4 【证明】(1)连接 BG,则

→ → → 1 → 1 → (2)因为 E H =A H -A E = A D - A B 2 2 → 1 → 1 → = (A D -A B )= B D , 2 2 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH, BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.

【提分秘籍】 在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法 则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,进行求解,若要证明两直 线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性关系 a=λb,即可判定两直线平行. 【举一反三】 如图所示,已知空间四边形 ABCD,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 CB, → 2→ → 2 → CD 上的点,且CF= CB,CG= CD.求证:四边形 EFGH 是梯形. 3 3

→ 1→ → 1 → → → → 1→ 证明:∵E,H 分别是边 AB,AD 的中点,∴AE= AB,AH= AD,∴EH=AH-AE= AD 2 2 2 1 → 1 → → 1 → 1 → → 1? 3 → 3 → ? 3 → → 3 → - AB= (AD-AB)= BD= (CD-CB)= ? CG- CF?= (CG-CF)= FG, 2 2 2 2 2? 2 4 2 ? 4 → → → 3→ → ∴EH∥FG且|EH|= |FG|≠|FG|,又 F 不在 EH 上,∴四边形 EFGH 为梯形. 4 【热点题型】 题型三 空间向量数量积的应用

例 3、如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90° ,

棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.

(1)求 BN 的长; (2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值.

【提分秘籍】 用向量的数量积可解决异面直线的夹角、两点距离(即线段长度),证明垂直等问题

(1)求向量 m, n 的夹角时, 首先选择基底, 将目标向量 m, n 用该基底表示, 利用公式 cos?m, m· n n?= 求得; |m|· |n| (2)两点距离(即线段长度)用公式 a2=|a|2 求得. 【举一反三】 → → 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=AB,b=AC, (1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值.

【热点题型】 题型四 方程思想在空间向量基本问题中的应用

例 4、已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则 实数 λ 等于( 62 A. 7 60 C. 7 ) 63 B. 7 65 D. 7

【解析】由题意得 c=t a+μ b=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),

7=2t-μ, ? ? ∴?5=-t+4μ, ? ?λ=3t-2μ,

? ? 17 解得?μ= 7 , ? . ?λ=65 7

33 t= , 7

【答案】D 【提分秘籍】 1.利用共面基本定理转化为向量相等.然后利用方程思想建立方程组可求解实数 λ. 2.空间向量共线、共面问题是考试的重点,利用空间向量共线定理、共面定理待定系数是 命题的热点.此类问题体现了方程思想的应用.解决时根据基本定理转化为方程式或方程组 可求解问题. 【举一反三】 设 a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k(其中 i,j,k 是两两垂 直的单位向量).若 a4=λa1+μ a2+υ a3,则实数组(λ,μ,υ)=________.

【高考风向标】 1. (2014· 广东卷)已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60° 夹角的是( A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) )

2. (2014· 重庆卷]如图 13 所示,四棱锥 PABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底面 π 1 ABCD,AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= ,MP⊥AP. 3 2 (1)求 PO 的长; (2)求二面角 APMC 的正弦值.

图 13 【解析】解:(1)如图所示,连接 AC,BD,因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC∩ BD=O, → → → 且 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,OA,OB,OP的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间 直角坐标系 O xyz.

【随堂巩固】 → → → 1.设空间四点 O,A,B,P 满足OP=OA+tAB,其中 0<t<1,则有( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上 解析:∵0<t<1,∴P 点在线段 AB 上. 答案:A 2.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面; ②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P、M、A、B 共面; → → → ④若 P、M、A、B 共面,则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

3.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M → → → 为 AC 与 BD 的交点,N 为 BB1 的靠近 B 的三等分点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列

→ 向量中与MN相等的向量是(

)

1 1 1 A.- a+ b+ c 2 2 3 1 1 1 C. a- b- c 2 2 3

1 1 1 B. a+ b- c 2 2 3 1 1 2 D.- a- b+ c 2 2 3

→ → → → → → 4.在空间四边形 ABCD 中,AB· CD+AC· DB+AD· BC=( A.-1 B.0 C .1 D.不确定

)

→ → → 解法二 在解法一的图中,选取不共面的向量AB,AC,AD为基底,

→ → → → → → → → → 则原式=AB· (AD-AC)+AC· (AB-AD)+AD· (AC-AB) → → → → → → → → → → → → =AB· AD-AB· AC+AC· AB-AC· AD+AD· AC-AD· AB=0. 答案:B → 1 → 5. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 点 M 在 AC1 上且AM= MC1, N 为 B1B 的中点, 2 → 则|MN|为( A. ) D. 15 a 3

21 6 15 a B. a C. a 6 6 6

→ → 解析:如图,设AB=a,AD=b,

→ AA1=c,

→ → 6.如图, 点 P 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中异于 A 的一个顶点, 则AP· AB的值为(

)

A.0 B .1 C .0 或 1 D.任意实数

→ → 7.已知空间三点 A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则AB与CA的夹角 θ 的大小是________.

→ → → → 8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,P,M 为空间任意两点,如果有PM=PB1+6AA1+7BA → +4A1D1,那么 M 点一定在平面________内.

→ → 9.已知四边形 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别为 E, → F 则EF=________.

答案:3a+3b-5c 10.设向量 a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算 2a+3b,3a-2b,a· b 以及 a 与 b 所成角的余 弦值,并确定 λ,μ 应满足的条件,使 λa+μb 与 z 轴垂直.

11.如图, 在 45° 的二面角 α-l-β 的棱上有两点 A、 B, 点 C、 D 分别在 α、 β 内, 且 AC⊥AB, ∠ABD=45° ,AC=BD=AB=1,求 CD 的长度.

12.如右图,在空间四边形 SABC 中,AC,BS 为其对角线,O 为△ABC 的重心,

→ → → 求证:(1)OA+OB+OC=0; → 1→ → → (2)SO= (SA+SB+SC). 3


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