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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 从力做的功到向量的数量积教案 北师大版必修4


从力做的功到向量的数量积
●教学目标 1.通过实例,正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数 量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的 5 个重要性质,并能运用这些性质解决有关问题; 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学 态度以及实际动手能力; 4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识. ●教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用 ●教学难点 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解 ●教学方法 启发引导式 启发学生在理解力的做功运算的基础上,逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念,并掌 握向量的 5 个重要性质。 ●教具准备 多媒体辅助教学 ●教学过程 教学环节 教学程序 通过前面的学习,我们知道两个向量可以进行加减法运 创设情境 算,两个向量之间能进行乘法运算吗?找找物理学中有 没有两个向量之间的有关乘法运算? 在物理学中,力 F 对物体做的功为 W ?| F || s | cos ? , 通过对力做功的分析 新课引入 功 W 可以看成是向量 F、s 的某种运算有关,而这个运算 结果的正负与这两个向量的夹角有关。从而引出两个向 量的夹角的概念。 1、给出两个向量的夹角的概念,并让学生通过观察发现 通过提问,让学生在 引出两个向量的夹 角,过渡比较自然。 教学设想 创设问题情境,激发 学生的学习欲望和要 求。

1

两个向量的起点时,有向线段所夹的角才为两个向量的 探 究 问 题 夹角。并让学生讨论两个向量的夹角的范围

思考问题的过程中, 不要忽略对特殊的情

0? ? ? ? 180? ,要求学生解释为什么在这个范围。进一 况的讨论。培养学生
步提问学生,如果夹角 ? ? 0? 、 90 ? 及 180? 时,两向量 的位置关系如何? 及时巩固所学知识, 2、练习:在 ?ABC 中已知 A=45°,B=50°,C=85° 使学生能正确理解两 个向量所成的角的概 严谨的学习态度。

师 生 互 动

求下列向量的夹角:

(1) AB与AC (2) AB与BC (3) AC与BC 的夹角。 念。

3、 (1)射影的概念

b cos ? 叫作向量 b 在 a 方向上的射影。
并提问:射影是向量还是数量? 给出如下六个图形,让学生指出 b 在 a 方向上的射 影,并判断其正负。 B

因为射影是新概念, 所以直接给出射影的 概念,然后通过提问 及练习,帮助学生理 解射影是一个数量而

B

B

不是向量,其正负由 这两个向量的夹角来

b

b

?
O

?
B1 a A B1 O
a
A

确定 ? A O( B1 ) a 另外,通过对特殊的

O

A

B

B

O

A

情况的讨论,养学生 严谨的学习态度。

4、两向量数量积的定义:

a与b是非零向量, a ? b ? a b cos ? , 规定:0 ? a ? 0 。
提醒学生注意: a ? b 不能写成 a ? b 或 ab 的形式。 提问学生:两个向量的和与差是向量还是数量?向量的 探 究 数量积呢?若是数量,其正负如何确定? 当 ? 为锐角时, a ? b ? a b cos ? >0 直接给出向理数量积 的定义,通过提问, 比较向量和与差的运

2

问 题

当 ? 为钝角时, a ? b ? a b cos ? <0 当 ? ? 90? 时, a ? b ? a b cos ? =0 当 ? ? 0? 时, a ? b ? a b

算,理解向量的数量 积是数量而不是向 量,其和由向量的夹 角确定。

师 生 互 动

当 ? ? 180? 时, a ? b ? ? a b (2) 两个向量数量积的几何意义:b 与 a 的数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos ? 的乘积或 b 的长度 b 与 a 在 b 的方向上的投影 a cos ? (3)向量数量积的物理意义:力 F 与其作用下物体位移 s 的数量积 F ? s 5、向量数量积的性质 练习二,请完成下列练习,并通过观察,看看自己能 否发现向量数量积的性质。 (1)已知 a ? 8 , e 为单位向量,当它们的夹角为时 学习了投影的概念及 及与力对物体做功的 比较,向量数量积的 几何意义与物理意义 就比较容易理解了。

? ,求 a 在 e 方向上的投影及 a ? e、e ? a 3
性质为: (2)已知 a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的交角为 ? ? 90? , 则 a ?b ? 性质为: (3)若 a ? 1 , b ? 3 , a 、 b 共线,则 a ? b ? 性质为: (4)已知 m ? 3 , n ? 4 ,且 m ? n ? 6 ,则 m 与 n 的 夹角为 性质为: 探 究 因此,平面向量数量积的 5 个性质为:

鼓励学生大胆猜想, 表达自己的观点和见 解,培养学生的探索 精神和严谨的科学态 度以及实际动手能 力。

(1)e是单位向量, a ? e ? e ? a ? a cos ?

性质总结归纳,让学

3

问 题

* (2)? ? 90? ? a ? b ? a ? b ? 0

生特别注意打*的性 质,因为在后面的学 习中,这几个性质用

(3)a // b ? a ? b ? ? a b
* 特别地:a ? a ? a 或 a ?
2

a2

的较多。

师 生 互 动

* ? 4 ? cos ? ?

a ?b a b

(5) a ? b ? a b (当且仅当a // b时等号成立)
6、演练反馈:判断下列各题是否正确。

(1)若a ? 0, 则对任一向量b, 有a ? b ? 0

这几道题是对数量积 公式的进一步正确理 解。

(2)a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0 (3)a ? 0, a ? b ? b ? c, 则a ? c
(4) a ? b ? a b ? a // b

依据元认知理论,这 7、教师引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法等 部分先由学生叙述, 方面对本节课所学知识进行总结: 教师进行补充整理, ①平面向量的数量积及其性质; 一方面让学生再次回 ②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的 顾本节课的学习过 运算,注意它们的区别; 反思归纳 ③主要题型有:直接求数量积、求向量的模、求两个 探索过程的再认识, 向量的夹角、判断两向量是否垂直及三角形的形状 对数学思想方法的升 等。 华,对思维的反思, ④体会分类讨论、数形结合的思想。 可为学生以后解决问 题提供经验和教训。 程,另一方面更是对

4

课本习题中的第 1 (1) 题直接利用向量数量 积公式,第 3 题利用 一、 课后作业: 数量积的性质(3) , 第 4 题利用性质(4) 求夹角,第 5 题考查 夹角的概念及数量积 公式,补充题是将数 量积与三角函数中的 二倍角公式结合考查 学生, 可以查漏补缺, 帮助学生复习二倍角 公式。课后讨论题是 为了下节课学习运算 律做准备。

1、 课本 P108 习题 2-5,1(1) 3、4、5 2、已知 a ? 2sin15 , b ? 4cos15 , p 和 q 的夹角是 布 置 作 业

30 ? ,则 a ? b =
二、课后讨论 平面向量数量积,是两个向量之间的一种乘法运算, 它与两个实数之间的乘法运算是否一样满足交换律、分 配律、结合律呢?能否给出你的结论的证明?

教案设计说明 (1)教学理念——以教师为主导,学生为主体 教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,因此在教学中不断引导学生去 思考,学会去学习。本节课有较多的概念及性质,尽可能给机会让学生参与,因此在教学过 程中设置种种问题或习题,引导学生去观察,分析和概括,增强学生的参与意识,教给了学 生获取知识的途径,使学生真正成了教学的主体,通过这样,使学生学有所思,思有所获, 产生一种成就感,提高学生的学习兴趣。 (2)教学方法——启发引导式 本节课的重点是向量的数量积, 围绕这个教学重点, 在教学过程中始终贯彻“教师为主导、 学生为主体、训练为主线、思维为主攻”,设置种种问题或习题,引导学生去观察,分析和 概括,逐步领悟数学知识的本质。 (3)教学手段——多媒体辅助教学 为了使所创设的问题情景自然有趣,直观,同时为了增大课程容量,更好的突出重点,突

5

破难点, 提高课堂效率, 因此在教学中利用多媒体演示,既加强教师、学生、媒体三者互动, 发挥学生主体作用,提高了学习效率,同时缩短教师板书时间,保证教学任务的完成。

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