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第02单元第4节 函数的奇偶性与周期性


第四节 函数的奇偶性与周期性
基础梳理
1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于意 x∈A,都有
f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数;如果对于任意x∈A,都有 f(-x)=f(x) ,则称函数y=f(x)为偶函数. 2. 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件

是它的图象 关于y轴对称 .

3. 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得
定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫 做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,所有周期中存在

最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期.

典例分析
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)? (x - 1)

1? x ; 1- x

(2)f(x)? 1 - x 2 ? x 2 - 1; ?x 2 ? x(x ? 0), ? (4)f(x)? ? 2 ?- x ? x(x ? 0). ?

lg(1- x 2 ) (3)f(x)? 2 ; | x - 2 | -2

分析 先求函数的定义域,然后判断f(x)与f(-x)之间的关系.

1? x 解 (1)由 ? 0 ,得定义域为 [-1,1),关于原点不对称, 1- x ?f(x)为非奇非偶函数.
?1 - x 2 ? 0, ? (2)? 2 ? x 2 ? 1 ? x ? ?1,? f(x) ? 0 ?x - 1 ? ? ?f(x)既是奇函数又是偶函数.

?1 - x 2 ? 0, ? (3)由? 2 的定义域为 (-1,0)? (0,1), ?| x - 2 | -2 ? 0 ? lg(1- x 2 ) - lg(1- x 2 ) ? f(x) ? ? . 2 2 - (x - 2) - 2 x - lg [1- (-x)2 ] lg(1- x 2 ) ? f(-x)? ?? f(x), 2 2 (-x) x

?f(x)为偶函数.
2 2 (4)当x<0时,-x>0,则f(-x)= ? (? x) ? x ? ?( x ? x) =f(x);

2 2 当x>0时,-x<0,则f(-x)= (? x) ? x ? ?(? x ? x) ? -f(x).

综上所述,对任意的x∈(-≦,0)∪(0,+≦),都有f(-x)=-f(x),

?f(x)为奇函数.
学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大, 解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简, 一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定 义域不变).

举一反三
1.设函数f(x)在(-≦,+≦)内有定义,下列函数: ① y ? ? f ( x) ; ③ y ? ? f ( ? x) 必为奇函数的是 ② y ? x f (x ) ;
2

④ y ? f ( x) ? f ( ? x) 。(填写序号)

2 解析 设y=g(x),根据奇偶函数的定义判断,② g ? ? x ? ? ? ? x ??f ?(? x ) ? ? ?

? ? xf ( x2 ) ? ? g ( x); ④g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).
答案 ②④ 题型二 奇偶性的应用

a f ( x) ? log 4 ( x ? x 2 ? ) (a>0)为奇函 【例4】 定义在R上的函数 4
数,求 log4 (a ? 4) 的值.

分析 利用奇函数的定义域求出a.
解 方法一:由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
? ? a? a? 2 2 log 4 ? -x ? (-x) ? ? ? log 4 ? x ? x ? ? ? 0 ? ? ? 4? 4? ? ? ? ? 化简得log 4 ?( x 2 ? a ) ? x 2 ? ? 0 , ? ? 4 ? ?

?a=4, log 4 (a ? 4) ? log 4 8 ?

3 2

方法二:≧f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义, ?f(0)=0,?log 4
a =0,即 4

a ? 1,解得a=4, 4

∴ log 4 (a ? 4) ? log 4 8 ?

3 2

学后反思 方法一是利用“若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)
对任意x恒成立”,“对任意x恒成立”是解题关键.方法二要 注意

“f(x)在x=0处有意义”这个条件,这种方法很常用,需要熟 练

举一反三 掌握.
ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z)是奇函数,又 2. 已知函数 f(x) ? bx ? c
f(1)=2,f(2)<3求a,b,c的值. 解析 由f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c),?c=0. 由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)<3,

4a ? 1 ? 3 ,解得-1<a<2. 得 a ?1
又a∈Z,?a=0或a=1.

1 若a=0,则b= ? Z,应舍去;若a=1,则b=1∈Z. 2
?a=1,b=1,c=0. 题型三 函数的周期性 【例3】(14分)(2010· 日照调研) 设f(x)是(-≦,+≦)上的奇函数,对任意实数x,都有f(x+2)=-f(x), 当-1≤x≤1时,f(x)= x . (1)求证:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;
3

(2)当x∈ [1,5 ]时,求函数f(x)的解析式.
分析 通过f(x+2)=-f(x),与-f(x)=f(-x)的转化,来求函数的对称轴

与周期,技巧在于通过换元进行转化.求函数f(x)的解析式要利用函
数的周期性进行转化,转化到知道函数解析式的区间上.

解 (1)证明:因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),
所以f(x+2)=f(-x),……………………………………2′ 所以f [(x-1)+2 ]=f [-(x-1) ],即f(1+x)=f(1-x) ……… ………………………………………………..4′ 所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴…………….6′ (2)因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的函数…………………………8′ 又当-1≤x≤1时,f(x)= x3 ; 当x∈ [1,3 ]时,x-2∈ [-1,1 ],所以f(x)=f(x-2+2)=

-f(x-2)= ? ? x ? 2 ? ;…………………………..10′
3

当x∈(3,5 ]时,x-4∈(-1,1 ],所以f(x)=f(x4+4)=f(x-4)=? x ? 4 ? ………...………... 12′
3

所以当x∈ [1,5 ]时,f(x)的解析式为

?-(x-2)3 ,1 ? x ? 3 ? f(x) ? ? ..................................................14? 3 ?(x-4) ,3 ? x ? 5 ?
学后反思 函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、
周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识

间的联系

举一反三

3. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若
f(x)的最小正周期是π,且当 x ? ?0, ? ? 时,f(x)=sin x, ? 2 ? ? ? 求 f ? 8? ? 的值. ? ? ? 3 ? 解析: 由题意可得

8? 2? 2? f( )? f( ? 2? ) ? f (- ) 3 3 3 2? ? ? 3 ? f (? ? ) ? f ( ) ? sin ? 3 3 3 2

易错警示
x2 ? 2x ? 3, x ? 0 【例】判断函数f(x) = 2, x=0 的奇偶性。 ? x2 ? 2x ? 3, x ? 0

?

2 错解 ≧当x<0时,f(-x)=?(? x) ? 2(? x) ? 3 =

?( x2 ? 2x ? 3) ? ? f ( x) ; 2 当x>0 时,f(x)= ?(? x) ? 2(? x) ? 3 = ?( x2 ? 2x ? 3) ? ? f ( x)
?f(x)是奇函数。 错误分析 尽管对定义域的每一个x≠0,f(-x)=-f(x)成立,但当

x=0时,f(0)=2≠0,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
正解 f(x)既不是奇函数也不是偶函数

考点演练
10.(2009山东改编)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

?

log2 (1 ? x), x ? 0
f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
求f(2009)的值

解析 当x>0时,≧f(x)=f(x-1)-f(x-2),

∴f(x+1)=f(x)-f(x+1),两式相加得:f(x+1)=-f(x-2)
即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ?f(2009)=f(6×344+5)=f(5)=f(-1)= log2 2 =1 11.已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3,且当x≥0 时,f(x)= 3e x ? a (a为常数)。求函数f(x)的解析式

y ? ex 是增函数,所以当x≥0时,也是增函数, 解析: 因为
又因为f(x)是偶函数,所以 f ( x)min =f(0)=3+a
又f(x)的最小值是3,故3+a=3,即a=0 当x<0时,因为-x>0,所以f(x)=f(-x)= 3e
x

综上,f(x)= 3e? x , x ? 0

?

3ex , x ? 0

12.已知函数f(x)= lg

1? x 1? x

(1)求f(x)的定义域; (2)求证:f(x)是奇函数; (3)判断函数y=f(x)与y=2的图像是否有公共点,并说明理由。
1? x 解析: (1)由 1 ? x ? 0 ,得-1<x<1

∴函数的定义域为(-1,1)
1? x 1? x 1? x ? lg (2)证明:≧f(-x)= lg ,-f(x)= = lg 1? x 1? x 1? x ?f(-x)=-f(x)对定义域内的一切x恒成立

∴函数y=f(x)是奇函数 (3)两个函数图像有公共点 , 1? x 99 1? x ? 100,即 x ? ? 设f(x)=2,即 lg ? 2 ,即 1? x 100 1? x ∴两个函数y=f(x)与y=2的图像有公共点.


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