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垂径定理定理和三个推论


垂径定理
定理
C

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

A

M└


B O

如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,

⌒ ⌒ AC =BC,

⌒ ⌒ AD=BD.

D

推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。

课堂讨论
根据已知条件进行推导: ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤

① ② ② ④ ⑤ ① ④

③ ④ ⑤ ③ ② ⑤ ① ④ ⑤

③ ② ④ ③ ② (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 (2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧。 (3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

三个命题
命题一:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧。
已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB。

⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC 命题二:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦, 并且平分弦所对的另一条弧。



⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知:CD是直径,AB是弦,并且AD=BD (AC=BC)。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD平分AB,AC=BC(AD=BD)CD ⊥AB

命题三:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分 弦所对的两条弧。
已知:AB是弦,CD平分AB,CD ⊥AB。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD是直径, AD=BD,AC=BC


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