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(课堂设计)2014-2015高中数学 2.3 等差数列的前n项和学案(一) 新人教A版必修5


2.3

等差数列的前 n 项和(一)
自主学习

知识梳理 1.把 a1+a2+?+an 叫数列{an}的前 n 项和,记做________.例如 a1+a2+?+a16 可以 记做________;a1+a2+a3+?+an-1=________ (n≥2). 2.若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn=____________;若首项 为 a1,公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn=____________. 3.写出下列常见等差数列的前 n 项和 (1)1+2+3+?+n=____________. (2)1+3+5+?+(2n-1)=____________. (3)2+4+6+?+2n=____________. 4.等差数列前 n 项和的性质 (1) 若 数 列 {an} 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 则 数 列 ? ? 也 是 等 差 数 列 , 且 公 差 为
?n? ?Sn?

____________. (2)Sm,S2m,S3m 分别为{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成________数列. (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则 =

an S2n-1 . bn T2n-1

自主探究 教材是怎样推导等差数列{an}前 n 项和的?试一试写出推导过程.

对点讲练 知识点一 有关等差数列前 n 项和的计算 例1 在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n.

总结 在解决等差数列问题时,如已知 a1,an,n,d,Sn 中任意三个,可求其余两个, 这种问题在数学上常称为“知三求二”型. 变式训练 1 设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为
1

数列? ?的前 n 项和,求 Tn.
?n?

?Sn?

知识点二 等差数列前 n 项和性质的应用 例2 和 S3m; (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列{an}的前 3m 项的

Sn 7n+2 a5 (2)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,求 的值. Tn n+3 b5

总结 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易,事半功倍的效果. An 7n+45 变式训练 2 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = , Bn n+3 则使得 为整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 C.4

an bn

) D.5

2

知识点三 等差数列前 n 项和的实际应用 例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后 每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续 每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

总结 建立等差数列的模型时,注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前 n 项和. 变式训练 3 现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能 少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 1.求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三 个量,可求另外两个量. n?a1+an? 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an,用公式 Sn= 较好, 2 n?n-1? 若已知首项 a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+ d 较好. 2 3.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在结合推导过程中加强记忆, 并在解题中熟练灵活地应用. 课时作业 一、选择题 1.等差数列{an}中,S10=4S5,则 等于( A.

a1 d

)

1 1 B.2 C. D.4 2 4 2 2 2.已知等差数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( ) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 4.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 5.一个四边形的四个内角成等差数列,最小角为 40°,则最大角为( ) A.140° B.120° C.100° D.80° 题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题
3

6.设{an}是公差为-2 的等差数列,如果 a1+a4+?+a97=50,那么 a3+a6+?+a99= ________. 7.在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 的值为______. Sn 2n+3 8.已知两个等差数列{an}、{bn},它们的前 n 项和分别是 Sn、S′n,若 = , S′n 3n-1 则 =______. 三、解答题 9.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若数列{bn}是等差数列,且 bn=

a9 b9

Sn

n+c

,求非零常数 c.

10.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2 550,求 a 和 k 的值; (2)设 bn= ,求 b3+b7+b11+?+b4n-1 的值.

Sn n

§2.3 等差数列的前 n 项和(一) 知识梳理 1.Sn S16 Sn-1 n?a1+an? 1 2. na1+ n(n-1)d 2 2 1 2 2 3.(1) n(n+1) (2)n (3)n +n 2 4.(1) (2)等差 2 自主探究 解 等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可以采用倒序相加法推导,具体过程如下: Sn=a1+a2+a3+?+an
4

d

又 Sn=an+an-1+an-2+?+a1 在等差数列中有:a1+an=a2+an-1=?=an+a1. ∴2Sn=(a1+an)×n n?a1+an? ∴Sn= .① 2 由于 an=a1+(n-1)d 代入①, n?n-1? 得 Sn=na1+ d.② 2 对点讲练 例1

an=a1+?n-1?d, ? ? 解 由? n?n-1? Sn=na1+ d, ? 2 ?

a1+2?n-1?=11, ? ? 得? n?n-1? na1+ ×2=35, ? 2 ?
解方程组得?
? ?n=5 ?a1=3 ?

或?

? ?n=7, ?a1=-1. ?

变式训练 1 解 设等差数列{an}的公差为 d, 1 则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2
? ?7a1+21d=7 ∵S7=7,S15=75,∴? ?15a1+105d=75 ?



即?

? ?a1+3d=1 ?a1+7d=5 ?

,解得?

? ?a1=-2 ?d=1 ?



Sn 1 1 n-5 ∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1)= , n 2 2 2 Sn+1 Sn 1 ∴ - = , n+1 n 2
?Sn? 1 ∴数列? ?是等差数列,其首项为-2,公差为 , n 2 ? ? n?n-1? 1 1 2 9 ∴Tn=n(-2)+ × = n - n. 2 2 4 4 例 2 解 (1)方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴30,70,S3m-100 成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.

方法二 在等差数列中, , ∴

Sm S2m S3m , 成等差数列, m 2m 3m

2S2m Sm S3m = + . 2m m 3m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. a5 9?a1+a9? S9 65 (2) = = = . b5 9?b1+b9? T9 12 an A2n-1 14n+38 7n+19 变式训练 2 D [ = = = bn B2n-1 2n+2 n+1 7?n+1?+12 12 = =7+ , n+1 n+1
5

∴n=1,2,3,5,11.] 例 3 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意, n?n-1? 有 2n+ +5n=70, 2 2 整理得 n +13n-140=0. 解之得 n=7,n=-20(舍去). 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意, n?n-1? 有 2n+ +5n=3×70, 2 2 整理得 n +13n-420=0. 解之得 n=15,n=-28(舍去). 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 变式训练 3 B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一 n?n+1? 层钢管数为 1,逐层增加 1 个.∴钢管总数为:1+2+3+?+n= . 2 当 n=19 时,S19=190.当 n=20 时,S20=210>200. ∴n=19 时,剩余钢管根数最少,为 10 根.] 课时作业 1.A [由题意得: 1 1 10a1+ ×10×9d=4(5a1+ ×5×4d), 2 2 a1 1 ∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴ = .] d 2 2 2 2 2.D [由 a3+a8+2a3a8=9 得(a3+a8) =9, ∵an<0,∴a3+a8=-3, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×?-3? ∴S10= = = =-15.] 2 2 2 3.B [数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列, 即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6), ∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45. ∴a7+a8+a9=S9-S6=45.] 4.B [因 a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15, 1 ∴n=14,S14=14×2+ ×14×13×7=665.] 2 5.A [方法一 设等差数列为{an},最大角为 a4,则 a1=40°,n=4,S4=360°. 4×?40°+a4? 由 360°= ,得 a4=140°. 2 4×3 100 方法二 设其公差为 d,由 4×40°+ d=360°,得 d=( )°.于是,最大的角 2 3 为 40°+3d=140°.] 6.-82 解析 ∵a3+a6+?+a99,a1+a4+?+a97 分别是 33 项之和, ∴(a3+a6+?+a99)-(a1+a4+?+a97) =(a3-a1)+(a6-a4)+?+(a99-a97) =2d+2d+?+2d=33×2d=33×(-4)=-132, ∴a3+a6+?+a99=-132+50=-82. 7.10 ?n+1??a1+a2n+1? 解析 由题意知,S 奇= =165, 2
6

n?a2+a2n? S 偶= =150.
2 ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ 8. 37 50

n+1 165 11 = = ,∴n=10. n 150 10

n Sn 2 解析 方法一 = S′n n

?a1+an? =

?b1+bn? 2 a9 2a9 a1+a17 2×17+3 37 ∴ = = = = . b9 2b9 b1+b17 3×17-1 50 Sn 2n+3 方法二 由 = ,可知公差 d≠0, S′n 3n-1 设 Sm=km(2m+3), S′m=km(3m-1) (k∈R,且 k≠0), am Sm-Sm-1 4m+1 则 = = (m≥2), bm S′m-S′m-1 6m-4 a9 4×9+1 37 ∴ = = . b9 6×9-4 50 9.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,且 d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又 a3a4=117, 2 ∴a3,a4 是方程 x -22x+117=0 的两个根. 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13. ∴?
?a1+2d=9 ? ? ?a1+3d=13

a1+an 2n+3 = , b1+bn 3n-1

,∴?

?a1=1 ? ? ?d=4

,∴an=4n-3.
2

×4=2n -n, 2 2 Sn 2n -n 1 6 15 ∴bn= = .∴b1= ,b2= ,b3= . n+c n+c 1+c 2+c 3+c ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 1 2 ∴2c +c=0,∴c=- (c=0 舍去). 2 10.解 (1)由已知得 a1=a-1,a2=4,a3=2a,又 a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8, 即 a=3. ∴a1=2,公差 d=a2-a1=2. k?k-1? k?k-1? 由 Sk=ka1+ d,得 2k+ ×2=2 550, 2 2 2 即 k +k-2 550=0,解得 k=50 或 k=-51(舍去). ∴a=3,k=50. n?n-1? (2)由 Sn=na1+ d, 2 n?n-1? 2 得 Sn=2n+ ×2=n +n. 2

(2)由(1)知,Sn=n×1+

n?n-1?

Sn n 2 则 b3+b7+b11+?+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+?+(4n-1+1)=2n +2n, 2 ∴b3+b7+b11+?+b4n-1=2n +2n.
∴bn= =n+1.∴{bn}是等差数列.

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