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一个解题反思的再反思


中学生数学 #2011 年 1 0 月上 #第 42 7 期(高 中)

陕西 师范 大学数 学 系 (7 1 006 2 ) 解 题 反 思 是 解 题 主体 跳 出 自己 的解 题 活 动 !回过 头来 审视 自己解题 过 程 的 / 再 认 识 0活 动 , 本 刊 2 011 年第 3 期 / 例谈 数 学 解 题 反 思 的 收获 0( 文 [1 ]

) 谈 到 了下 述 一 道 函数 方 程 的 求 解 与反 思 (相 关 情 况 还 可 参 见 同 名 作 者 的 文

罗增濡

减 函数 0主要 用 了 / 单 调 性 0, 以 保 证 f (二 ,)一 f (x :)= > x , 一 x Z ( 函 数 值 相 等 推 出 自变 量 相

读 者 来


等 )# 第 2,个 条 件 ,( J)>告 的 作 用 有 两 个 ,其 一 ,推 出 f( 了 ) >" ,从 而 f( J) +专 在 定 义 域 内 , 保 证 条 件 ( 3)中 的 , (! ( 工 ) +专 ) 有 定 义 ; 其 二 ,
一 解 二 _ 一一一 x一 . 一 1 一 x 日 _可 , ,舌 人云 :_ 为 "一 解 " _ a 一 水 芍十
a 及了) l a

1 22 例 4):
例1 已知 函数 f (x )在 ( 0 , + 二)上有定 义 , 且满 足下 列条 件 : (1)f (x )在 (O , + c o )上 为单调 减 函数 ;

3一 万
2工

( 2.f( X,>专 ;
(3)f (x ) . f (f (X
) 月- )

(其实 , 这两个 作 用有 f ( 对 > o 就够 了).
1 !
, ~

由 于 图 像 在, 一 亩 (> O)上 方 的 减函 数 很
. _ _

,! ,

1 - _

_! .

!_ , , ! , ! _

! " , ,,

求 f (1 ) 的值 . 我 们认 为 , 反 思 是有 层 次 的 , 文 71] 对 本 例 所 作 的反 思 更 多 的是 对 自身 行 为 的 回顾 与 总 结 , 还 存在提 高 到 / 解 题 活动 的深 层 次再 思考 0 的空 间.我 们 更 赞 成 文 [ l j 说的 ,反 思应 /具有 探究 性 !批 判 性 !自主性 0, 并 导 致 认 识 更 接 近 问题 的深层 结构 , 学 会数学 地思 维. 文[ 1 2 在1 反 思 1] 中认 为 : / 抓 住关 键 条 件 , 灵活运 用 变 量 代 换 是 成 功 解 题 的关 键 0, 这 里 说 了两 个关 键点 :其 一 , 条 件 f ( x ) #f ( f( x )+

多 , 所 以第 (3 ) 个 条 件 对 函数 f (x ) 的 刻 划 才是

最 到位 的. 沿用 文[ 1 2 的记 号 " 一f (二) 十生 ,条 工
件 (3 ) 是说 f ( x ) 与 f (a ) 成倒 数 关 系 , 从 方 程 的 观点看 来 , 这相 当于 给 出 了两个 未 知 数 f (x ) !
f (a )的一 条方 程
f (x ) #f (a ) 一1 ?

共甲

一 _, _

/ 一J Lx )十丁

, ,

!

1

把 工看 成 a , 我们 又可 以得 出 另一 条 方 程 (这是 解 函数方 程 的一个 常用 技 巧)

工 )一 1 是 三 个条 件 中 的 / 关键 条 件 0;其 二 , 对
X

这 个 关 键 条 件 作 变 量 代 换 一, ( 了 )+专 是 成 功
解题 的 / 关 键 0. 本 文将 对 此 再 谈 些 补 充 看 法 ,

把 ? !? 分别代 人第 二 个括 号 内 , 有
l

f(# 卜, ( ,# ) +去 ,一 ,
j 吸 a 少. J 戈 丁下二 下十
j !工 ,

度 沙 飞 健

肤浅 之处期 望 引 出第 三次 反思 .

) ! . 1 )一 1 j以少 十丁

?

实是 三个 条件 中最 关 键 的 , 但 它 关 键 在什 么地

看 法 一条 件 f二 , # f( f( 工 ,+专 ,一 确
由求解 过 程可 以看 到 , 第 (1 }个 条 件 / 单 调

联立 ? !? 消去 f ( a )笋 ", 可得


?

( x)一 f (兴 + f
j !沈 声

f , _ ! 匕

方 呢? 文 [1 2 反 思缺 少必 要 的阐 明.

J以 0 于

兰 )


崖 ,

这是 由条件 (3 ) 所 隐 含的关 于 f (x ) 的一个

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中学生数学 #Zon 年 1 0 月上 #第 427 期(高中)

等量关系 , 由单调性可以转化为关于 f ( x )的代
数方 程 (视 x 为 已知元 )
1
X ~ 二二 , 一丁十

(2 ) 它反映了 f (x )的深层结构 , 已经从间 接的 / 倒数关系 0 显化为直接的 /相等关系 0 . 3.是题 目的三个条件 中求解 f (x ) 贡献最 大 的一 个条 件.
(1 ) 是解 题化 归 的逻辑起 点 .

J 又 x )

J又 x )十丁

1

"( x f ( x ) )2 一x f (x ) 一1 ~ O ? 解关 于 x f (x ) 的一 元 二 次方 程 得 x f (x )

2 ) 由它 推 出 ?式 后 , 通 向 结 论 的 大 门 已 (
经打 开 , 剩 下 的工 作 只不 过 是 进 去 把也 满 足 其

一 华 ( 舍 去 二 ,( 二 ) 一 毕 ),即
乙 乙

它两个 条件 的结论 端 出来 .
. !_ _ 二 , - 二 _ ! . 1 "_ ! , 看 法 二 /变 量 代 换,. /一 ( f -. +全 是 否 关 一

1+ 万 f (x ) - 2 x
所 以 , 对 条 件 (3 ) 不 仅 要 看 到 ? !? 式 , 而 且 还要 看 到 ? 式 (也 有人 称 为 / 隐含 条 件 0) , 有 了 ? !? 式 (方 程组 ) , 再 推 ? !? 式 (方 程 )思维 就 平 坦 了(一路 化归 ). 根 据 上 面 的 分 析 , 我 们 说 条 件 f (x ) #

键值 得商榷 .

由文[ 1] 可 以 看 到 , 求 解 了(x ) 经 历 了 /设
a! 求a ! 消 a 0的过 程 , 好 像 是 / 设 a 0 !然后 代 来 代去起 到 了关 键 作 用 , 其 实 这 只是 表 面 现 象 ,
在反 思阶段 应该想 到 :

1. / 设 a 0的主要作 用 是便 于把 x 看成 a , 它 只有 过 度 性 的作 用 . 看 清 楚 了这 个 作 用 , 完 全

,( ,( 二 )+告 ) 一 1的 关 键 J 性 表 现 在 :
1.是题 目的 三 个 条 件 中信 息 量 最 大 的一 个 条件 . 1 )f ( ( x ) 中的 x 不仅仅是 x , 而且也可以

可 以 直 接 把 !看 成 ,( 劣 , +专 #

2.既 / 求 a 0又 / 消 a 0存 在一 个 回路 , 问题在

于 , 这 是 必 要 的 思 维 回 路 还 是 多 余 的思 维 回 路 , 我们 认 为不是 必要 的 , 求 a 的过程 可 以直接 替 换 为求 f (x ) , 从而 消 除这 个思 维 回路. 3 . 由[看 法 一 2 的 分 析 ( 或 下 面 的 完 整 求 解 )可 以看 到 , 成 功解 题 的关 键 主要 是 / 函数 与 方 程思想 0的应 用 (既 有 函 数 方 程 又 有 代 数 方
程 ! 既有二 元方 程 又 有 一 元 方程 ) , / 化 归 思 想 0

是f( x )+ 亩,从 而 隐 含 着?式 和? 式 ;
一 _, 1 一 ~

! ,

,, _ ./

, !, _ ~

,!

(2) f( , )与f (f ( )+ 亩 )成 倒 数 关系 启 发
!一 _, _ , ! . 1 ! " ! ~ .! ,, ! , 一 一 ,!

我 们 猜 想 它 们 有 孕 华 粤 与 琴 兰 华粤 的 形 式 ; 再 简 单
9 2 气X 尹 9 1气 x j

化取 g , (x ) 一k ( 常 函数 ) ! 9 2 (x ) 一 : 可猜 想 它
" ,8一 k 勺 o 了 x ~ 一 ;取 ~ J, 欠 , x ,! 一 一 k , , 户 ! , ~ ~ 1! 有 一 阴 ~ 邓 八 快 1 !试 ) 抓 ,
工 化 工

的应用 , 这 里 面 不 是 没 有 / 变 量 代 换 0, 而 是 与 / 函数与方 程思 想 0 !/ 化 归思 想 0相 比, / 变量 代 换 0只 有 辅 助 性 的 !过 度 性 的 作 用 . 要 说 此 题
/ 成 功 解 题 的 法 宝 0恐 怕 / 函 数 与 方 程 思 想 0 !

度 沙 飞 雌



k
) .

X

k
)
X

. 1
十 )
X

一 1 得 方 程 矿 一k 一 1 一 "有解 ,

即 函数方 程 有 反 比例 函数 解 (充 分 性 ) , 可 见 ,
第三 个条 件 是 题 目的 三 个 条 件 中 暗示 性 最 强 的一个 条件 . 2.是 题 目的 三个 条 件 中对 函数 f ( x )的 刻 划是 最本质 的一 个 条件.

/ 化 归思想 0更值 得重 视 .
看法 三 函数方 程 解 的充分 性 必须 验证 . 函数方 程 的 求 解 , 是 一 个 必 要 性 的 过 程 ,



至今 仍无 同解原 理 来 保 证 步 步 等 价 , 其 充 分 性
的验 证 是 必 不 可 少 的. 有 时 , 充 分 性 的验 证 很

崖 ,

它推 出 的 ?式 是 关 于 f (x )的一 个 很本 质
(1 ) 它 给解题 带来 了重 大进展 ;

简单 , 但 不要 因为 简单 而 省略 这个 步骤 . 下 面 , 我 们 就 一 般 性 的 结 论 , 给 出一 个 没
有 / 变量 代换 0的完 整 求解 过程 .

的等量 关 系 , 因为

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中学生 数学 #Zon 年 1 0 月上 #第 42 7 期 (高中)

例2

已知 函数 f (x ) 在 ( 0 , + 二 )上 有 定
_ 1+ 丫1+ 4k 2x

1+ 丙干 丽
乙L _, ) 1+ 十 了厂再丽 , X)k )! 乙X

义 , 且在 定义 域上满 足下 列条 件 : (1 )f (x )为 单 调 函 数 ; (2) f (x ) > o ; (3 )
f (x ) . J 气 k J Lx ) 十 丁 ) 一 1 , ( f (x ).
k !

为 正 常 数 ). 求

_ 1+ 再干 1+ ( +们 x 2x 丽 . 2走 l+ 干丽 抓丁) 丽
一 1.

读 者




必要 性. 由条件 (2 ) , 对 二 > o,


- 沈)

, !_ _ k _ _ , ! , _ ! ~ " r! 有 J_ Lx )夕U , 万户 U 又 龙为止 幂致 , )

尽l 以

二 " ,! . Jr,!x j!一 _ 1 ) + 们 万甲一一一 不丽 子 *两 正 "蒯 隋 弓日 口二 阴-白 人* 它神"



条件 , 为所 求. 参 考 文献 1. 杨 俊 林. 例 谈 数 学 解题 反 思 的 收 获. 中 学 生 数 学(高 中) , 201 1 , 3. 2 .杨 俊 林. 例 谈 数 学 解题 反 思 的 收 获. 中 国数
U

从而 f ( 二 ) + 鱼> "
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一 田 , 余 ! 忏 , ,. _以 , "! 一 J" , J, Lx , 少 !十 .一 k ) !户 _ U _ 冉 ),月 L



k ! .

k

户 J戈 J又 x ) 十了 )十 ) 左 J Lx 少 十丁

学教 育( 高 中版 ) , 20 11 , 3 .
(责审 陈 宇彤 )

又 , 连 续三 次使 用条 件 (3 ) 有
f (x ) ,) , , , ! . k !

(第一 次 )

沙 三 :

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J LJ 气 x )十丁 少
k ! . k k J 又 x ) 十一

欢 迎 订 阅

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5中学数 学教学 6
叠全 国优 秀科技期刊 题邮发 代号 2 6 一7


(第 二 次)
1 . kx 一J 气 ,下二灭 十 丁 丁 弓节 灭万二 下)
J !工 少 芯J ! 工 产一 7K

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(第三 次 )

5中 学 数 学 教 学 6始 终 坚 持 质 量 第 一 , 坚 持 全

肠尸

J \ 芯 少一 J ! 下下下刃 , 叹又厄 下一 几 下 丁丁 甲万 /

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由 f (x ) 为单调 函数 得
(k + 1)x f (x ) + k x (f (x )) . + kf (x ) 即 (x f (x ))2一x f (x )一k = 0 ,
解 得 f (x ) 1 士丫1 + 4 k
2x

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