湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 1.2 电势与电势差竞赛试题
U AB ?
WAB q
这就是说，在静电场内任意两点 A 和 B 间的电势差，在数值等于一个单位正电荷从 A 沿任一路径移到 B 的过程中，电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电势差仅由 电场本身性质决定，与被移动电荷的电量无关；即使不移动电荷，这两点间的电势差依然 存在。 如果我们在电场中选定一个参考位置，规定它为零电势点，则电场中的某点跟参考位 置间的电势差就叫做该点的电势。 通常我们取大地或无穷远处为零电势点。 电势是标准量， 其正负代表电势的高低，单位是伏特（V） 。 电势是反映电场能的性质的物理量，电场中任意一点 A 的电势，在数值上等于一个单 位正电荷 A 点处所具有的电势能， 因此电量为 q 的电荷放在 电场中电势为 U 的某点所具有 的电势能表示为 ? ? qU 。 1．2．2、 几种常见带电体的电势分布
（1）点电荷周围的电势 如图 1-2-1 所示，场源电荷电量为 Q，在离 Q 为 r 的
Q
P
r
P1
P2
r2
r1
P 点处有一带电量为 q 的检验电荷，现将该检验电荷由 P
点移至无穷远处 （取无穷远处为零电势） ， 由于此过程中，
图 1-2-1
1
所受电场力为变力， 故将 q 移动的整个过程理解为由 P 移至很近的 P1（离 Q 距离为 r1 ） 点， 再由 P1 移至很近的 P2 （离 Q 距离为 r2 ）点……直至无穷远处。在每一段很小的过程中， 电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：
W ?k
Qq ?r1 ? r ? ? k Qq ?r2 ? r1 ? ? k Qq ?r3 ? r2 ? ? 2 2 r r1 r22 ……
?
kQq ?r1 ? r ? ? kQq ?r2 ? r1 ? ? kQq ?r3 ? r2 ? ? rr1 r1r2 r2 r3 …… kQq kQq kQq kQq kQq kQq ? ? ? ? ? ? r r1 r1 r2 r2 r3 ……
Qq r
?
?k
所以点电荷周围任一点的电势可表示 为：
U ?k
Q r
式中 Q 为场源电荷的电量，r 为该点到场源电荷的距离。 （2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。 由于实心导体球处于静 电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及 周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点 电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面 类似 方法不难证明均匀带电球壳周围的电势 为。
U ?k
Q r
r＞R
式中 Q 为均匀带电球壳的电量，R 为球壳的半径，r 为该点到球壳球心的距离。
在球壳上任取一个微元，设其电量为 ?q ，该微元在球心 O 处产生的电势
Ui ?
k?q R 。
由电势叠加原理，可知 O 点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，
2
U ? ?U i ? ?
k?q k ? ? ?q R R 。 U? kQ R
kQ 因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的 电势均为 R 。
? kQ ? U ?? r kQ ? ?R
(r ? R) (r ? R)
1．2．3、电势叠加原理 电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任 一点的电势等 于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原 理。 例 3、如图 1-2-2 所示，两个同心导体球，内球半径为 球是个球壳，内半径为 R2 ， 外半径
R1 ，外
R3
R2
R3 。在下列各种情况下求内外
R1
球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律。 （1）内球带 ? q ，外球壳带 ? Q 。 （2）内球带 ? q ，外球壳不带电。 （3）内球带 ? q ，外球壳不带电且接地。 （4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带 ? Q 。 解: 如图 1-2-2 所示，根据叠原理： （1） R1 处有均匀的 ? q ， R2 必有均匀的 ? q ，
图 1-2-2
R3 处当然有 ? ?Q ? q ?电荷，因此：
U1 ? k
内球
?Q ? q ? q q ?k ?k R1 R2 R3
3
U2 ? k
外球
?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k R2 R2 R3 R3
q q ?k R1 R2
U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差
U内 ? k
腔内
?Q ? q ? q q ?k ?k r R2 R3 （ R1 ＜r＜ R2 ） ?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k r r R3 R3
（r＞
U外 ? k
壳外
R3 ）
R （2） R1 处有 ? q ， R2 处有 ? q ， 3 处有 ? q ，因此：
U1 ? k
内球
q q q ?k ?k R1 R2 R3 q q q q ?k ?k ?k R2 R2 R3 R3 q q ?k R1 R2
U2 ? k
外球
U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差
U内 ? k
腔内
q q q ?k ?k r R2 R3 （ R1 ＜r＜ R2 ）
壳外
U外 ? k
q q q q ?k ?k ? k r r r r
（r＞
R3 ）
R （3） R1 处有 ? q ， R2 处有 ? q ，外球壳接地，外球壳 U 2 ? 0 ， 3 处无电荷。
U1 ? k
内球
q q ?k R1 R2 q q ?k R1 R2
U12 ? U1 ? U 2 ? k
电势差
U内 ? k
腔内
q q ?k r R2 （ R1 ＜r＜ R2 ）
q q ?k ?0 r r
壳外
U外 ? k
（r＞
R3 ） R3 处有 ? ?Q ? q ?，先求 q? ，
4
（4）内球接地电势为零，内球带 ? q ? ， R2 处有 ? q? ，
?k
因为 解得 内球
?Q ? q?? ? 0 q? q? ?k ?k R1 R2 R3
q? ? QR1R2 /?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ?
U1 ? 0
U 2 ? ?k
外球
?Q ? q?? q? q? ?k ?k R2 R2 R3
? kQ?R2 ? R1 ? /?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? U 21
U 内 ? ?k
腔内
q? q ? ?Q ? q ?? ?k k r R2 R3
?
kQR2 ? R1 ? ?1 ? ? ?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? r ? （ R1 ＜r＜ R2 ）
U 外 ? ?k
壳外
?Q ? q?? ? kQR3 ?R2 ? R1 ? q? q? ?k ?k ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?r r r R3
1．2．4、匀强电场中电势差与场强的关系 场强大小和方向都相同的电场为匀强电场，两块带等量异种电荷的平板之间的电场可 以认为是匀强电场，它的电场线特征是平行、等距的直线。 场强与电势虽然都是反映场强本身性质特点的物理量，但两者之间没有相应的对应联 系，但沿着场强方向电势必定降低，而电势阶低最快的方向也就是场强所指方向，在匀强 电场中，场强 E 与电势差 U 之间满足
U ? Ed
这就是说，在匀强电场中，两点间的电势等于场强大小和这两点在沿场强方向 的位移 的乘积。 例 4、半径为 R 的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为 ? 的电荷，求该球 开口处圆面上任一点的电势。
O
E下
P
E上
图 1-2-3
5
解： 设想填补面电荷密度亦为 ? ? 的另半个球面如图 1-2-3 所示，则球内任一点的 场强均为 0，对原半球面开口处圆面上的任一点 P 而言，也有 EP ? 0 ，而 E P 是上、下两 个半球在 P 点产生场强 而
E上 、 E下 的合成。另据对称性易知， E上 、 E下 的大小必定相等，
E上 、 E下 的合场强为零，说明 E上 、 E下 均垂直于半球开口平面，故在半球面带均匀电
荷的情况下，它的开口圆面应为等势点，即圆面上任一点的电势都等于开口圆面圆心点处 的电势。故
U P ? U0 ? k ?
说明
Q ? ? 2?R 2 ?k? ? 2?k?R R R
虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量， 它们之间没有必然的
对应关系，但电势相等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直，利用这个关系可为 求取场强或电势提供一条有用的解题路径。
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