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2014北京市朝阳区高三年级理科第一次综合练习


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试(理工类)
2014.3 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)复数 z ? i(2 + i) 在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 A ? {x | ( ) ? 1} ,集合 B ? {x | lg x ? 0} ,则 A ? B ?
x

1 2

(A) {x | x ? 0}

(B) {x | x ? 1}

(C) {x | x ? 1} ? {x | x ? 0}

(D) ?

(3)已知平面向量 a , b 满足 a ? b ? 2 , (a + 2b) ? (a ? b) = ?2 ,则 a 与 b 的夹角为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

?? 3

(D)

?? 6

(4)如图,设区域 D ? {(x, y) 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1} ,向区域 D 内 随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落 入到阴影区域 M ? {( x, y) 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ x 3} 的概率为

y
1

y=x3

1 4 2 (C) 5
(A)

1 3 2 (D) 7
(B)

O
开始 i=1,S=10

1

x

π (5)在 △ ABC 中, A ? , BC ? 2 ,则“ AC ? 3 ” 4 π 是“ B ? ”的 3
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

i=i+1 S=S ? 2
i

(6)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 2 (C) 4 (B) ?2 (D) ?4

i<4?




输出 S 结束 (第 6 题图)

(7)已知函数 f ( x) ?

sin x .下列命题: x2 ? 1

①函数 f ( x ) 的图象关于原点对称; ②函数 f ( x ) 是周期函数; ③当 x ?

? 1 时,函数 f ( x ) 取最大值;④函数 f ( x ) 的图象与函数 y ? 的图象没有公共 2 x

点,其中正确命题的序号是

???? ? ???? ? ???? N ? 3 O M O N ? (8) 直线 y ? x ? m 与圆 x2 + y 2 = 16 交于不同的两点 M ,N , 且M ,
其中 O 是坐标原点,则实数 m 的取值范围是 (A)

(A) ①③

(B)②③

(C) ①④

(D)②④

? ?2

? 2, ? 2 ? ? ? ? 2, 2 2

?

(B) ?4 2, ?2 2 ? ? ?2 2, 4 2

?

?

?

?

(C) [?2, 2]

(D) [?2 2, 2 2]

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)在各项均为正数的等比数列 ?an ?中, a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 12 ,则该数列的前 4 项和 为 .

(10)在极坐标系中, A 为曲线 ? ? 2cos ? 上的点, B 为曲线 ? cos ? ? 4 上的点,则线段

AB 长度的最小值是 .
(11)某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥的体积 为 ;表面积为 .
1 正视图 1 1 侧视图 1

俯视图

y2 (12)双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点到其渐近线的距离是 2 ,则 b ? b
2



此双曲线的离心率为 . (13)有标号分别为 1,2,3 的红色卡片 3 张,标号分别为 1,2,3 的 蓝色卡片 3 张,现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内 (如图) .若颜色相同的卡片在同一行,则不同的放法种数 为 . (用数字作答)

(14)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SB ? 底面 ABCD .底 面 ABCD 为梯形, AB ? AD , AB ∥ CD , AB ? 1, AD ? 3 ,

S

CD ? 2 .若点 E 是线段 AD 上的动点,则满足 ?SEC ? 90? 的 点 E 的个数是 .
C

B

A E

D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) ? cos x ? sin 2 x ? cos2 x , x ? R . (Ⅰ)求 f ( ) 的值及函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 ? 0, π ? 上的单调减区间.

? 2

(16) (本小题满分 13 分) 某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力 和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
逻辑思维 运动 协调能力 能力

一般

良好

优秀

一般 良好 优秀

2 4 1

2

1 1

b
3

a

例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人.由于部分数据丢失,只知 道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学 生的概率为

2 . 5

(I)求 a , b 的值; (II)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思 维能力优秀的学生的概率; (III)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学 生人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .

(17) (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD . △PAD 为等 腰直角三角形,且 PA ? AD . E , F 分别为底边 P

AB 和侧棱 PC 的中点.
(Ⅰ )求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ )求证: EF ? 平面 PCD ; (Ⅲ )求二面角 E ? PD ? C 的余弦值. A E B (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? C D F

1 2 ax ? ln x , a ? R . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 的最小值为 1 ,求 a 的值.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,离心率为 . 2 a b 2 2

(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ ) 直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 点 M 是椭圆 C 的右顶点. 直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 P, Q ,试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定 点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. (20) (本小题满分 13 分) 从 1, 2,3,? , n 中这 n 个数中取 m ( m, n ? N , 3 ? m ? n )个数组成递增等差数列, 所有可能的递增等差数列的个数记为 f (n, m) . (Ⅰ)当 n ? 5, m ? 3 时,写出所有可能的递增等差数列及 f (5,3) 的值; (Ⅱ)求 f (100,10) ; (Ⅲ)求证: f (n, m) ?
?

(n ? m)(n ? 1) . 2(m ? 1)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学答案(理工类)
一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 三、解答题 15. (本小题满分 13 分) 解: f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 9 10 2 11 12 1 B 2 A 3 B 4 A 5 B 6

2014.3

7 C

8 D

D

13

14

30

1 3

2+ 3

2

5

72

2

? ? 2 sin(2 x ? ) . 4
(Ⅰ) f ( ) ?

? 2

? ? 2 2 sin(2 ? ? ) ? 2 ? ? 1. 2 4 2
…………… 8 分

显然,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)令 2kπ ?

π π 3π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? 得 2 4 2 3 7 kπ ? π ≤ x ≤ kπ ? π , k ? Z . 8 8

又因为 x ? ?0, π? ,所以 x ? ?

? 3π 7π ? . , ?8 8? ? ? 3π 7π ? . , ?8 8? ?
…………… 13 分

函数 f ( x ) 在 ? 0, π ? 上的单调减区间为 ? 16. (本小题满分 13 分)

解: (I)设事件 A :从 20 位学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优 秀的学生. 由题意可知,运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6 ? a) 人. 则 P ( A) ?

6?a 2 ? . 20 5

解得 a ? 2 . 所以 b ? 4 . …………… 4 分

(II)设事件 B :从 20 人中任意抽取 2 人,至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优 秀的学生. 由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 8 人. 则 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?
2 C12 62 . ? 2 C20 95

…………… 7 分

(III) ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 .

20 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 8 人.
所以 P(? ? 0) ?
2 C12 33 ? , 2 C20 95

1 1 C12 C8 48 P(? ? 1) ? 2 ? , C20 95

P(? ? 2) ?
所以 ? 的分布列为

C82 14 ? . 2 C20 95

?

0

1

2

P

33 95

48 95

14 95
…………… 13 分

所以, E? ? 0 ?

33 48 14 76 4 ?1 ? ?2 ? ? ? . 95 95 95 95 5

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 PD 的中点 G ,连接 FG , AG . 因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点, 所以 FG 是△ PCD 的中位线. 所以 FG ∥ CD ,且 FG ? F G P

1 CD . 2
A E B C D

又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形,

1 1 所以 AE ? AB ? CD ,且 AE ∥ CD . 2 2
所以 AE ∥ FG ,且 AE ? FG . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF ∥ AG . 又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD ,

所以 EF ? 平面 PAD . (Ⅱ )证明: 因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PA ? AD , 所以 PA ? 平面 ABCD . 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又因为 ABCD 为正方形,所以 AB ? AD , 所以 AB, AD, AP 两两垂直. A 以点 A 为原点,分别以 AB, AD, AP 为 x , y , z 轴, 建立空间直角坐标系(如图) . 由题意易知 AB ? AD ? AP , 设 AB ? AD ? AP ? 2 ,则 B x A E z A P

……………4 分

F

D C

y A

A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C (2, 2,0) , D(0, 2,0) , P(0, 0, 2) , E (1, 0, 0) , F (1,1,1) .
因为 EF ? (0,11) 2, ? 2) , CD ? (?2, 0, 0) , , , PD ? (0, 且 EF ? PD ? (0,11) , ? (0, 2, ?2) ? 0 , EF ? CD ? (0,11) , ? (?2,0, 0) ? 0 所以 EF ? PD , EF ? CD . 又因为 PD , CD 相交于 D ,所以 EF ? 平面 PCD . (Ⅲ )易得 EP ? (?1 , 0, 2) , PD ? (0, 2,? 2) . 设平面 EPD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 …………… 9 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? n ? EP ? 0, ? ? ??? n ? PD ? 0. ? ?
所以 ?

? ? x ? 2 z ? 0, ? x ? 2 z, 即? ?2 y ? 2 z ? 0. ? y ? z.

令 z ? 1 ,则 n ? (2,1,1) . 由(Ⅱ )可知平面 PCD 的法向量是 EF ? (0,11) ,,

??? ?

??? ? ??? ? n ? EF 2 3 ? ??? ? ? . 所以 cos? n, EF ? ? 3 2? 6 n ? EF

由图可知,二面角 E ? PD ? C 的大小为锐角, 所以二面角 E ? PD ? C 的余弦值为 18. (本小题满分 13 分) 解:函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) , f ?( x ) ? ax ? (Ⅰ ) (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? ?

3 . 3

……………14 分

1 ax 2 ? 1 ? . x x

1 ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. x

(2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. (3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,又因为 x ? 0 ,解得 x ?

1 . a

①当 x ? (0,

1 1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递减. a a 1 1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( , ??) 单调递增. a a

②当 x ? (

综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 f ( x ) 的单调减区间是 (0, ??) , 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调减区间是 (0,

1 1 ) ,单调增区间为 ( , ??) .…7 分 a a

(Ⅱ) (1)当 a ? 0 时,由(Ⅰ )可知, f ( x ) 在 [1, e] 上单调递减, 所以 f ( x ) 的最小值为 f (e) ? (2)当 a ? 0 时,由(Ⅰ )可知, ① 当

1 2 4 ae ? 1 ? 1 ,解得 a ? 2 ? 0 ,舍去. 2 e

1 ≤1 ,即 a ≥ 1 时,函数 f ( x) 在 [1, e] 上单调递增, a
所以函数 f ( x ) 的最小值为 f (1) ?

1 a ? 1 ,解得 a ? 2 . 2

② 当1 ?

1 1 1 ? e ,即 2 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 (1, ) 上单调递减, e a a

在(

1 1 1 1 ,e) 上单调递增,所以函数 f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? ln a ? 1 , a a 2 2

解得 a ? e ,舍去.

③ 当

1 1 ≥ e ,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x) 在 [1, e] 上单调递减, e a

所以函数 f ( x ) 的最小值为 f (e) ? 综上所述, a ? 2 . 19. (本小题满分 14 分)

1 2 4 ae ? 1 ? 1 ,得 a ? 2 ,舍去. 2 e
……………13 分

? c 3 = ? ? 2 解: (Ⅰ )由题意得 ? a ,解得 a =2 , b ? 1 . 1 3 ? ? ?1 ? ? a 2 4b 2
所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

…………… 4 分

(Ⅱ )以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点.

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M (2,0) . 由题意可知直线 AM 的方程为 y ?

y1 2 y1 ( x ? 2) ,故点 P(0, ? ). x1 ? 2 x1 ? 2

直线 BM 的方程为 y ?

y2 2 y2 ( x ? 2) ,故点 Q(0, ? ). x2 ? 2 x2 ? 2

若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N ( x0 , 0) ,则等价于 PN ? QN ? 0 恒成 立. 又因为 PN ? ( x0 ,

??? ? ????

????

???? 2 y1 2 y2 ) , QN ? ( x0 , ), x1 ? 2 x2 ? 2
2

所以 PN ? QN ? x0 ?

??? ? ????

2 y1 2 y2 4 y1 y2 ? ? x0 2 ? ? 0 恒成立. x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

又因为 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

4k 2 ? 4 8k 2 ? 2 ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 , 1 ? 4k 2

?

y1 y2 ? k ( x1 ?1)k ( x2 ?1) ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
4k 2 ? 4 8k 2 ?k ( ? ? 1) 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2
2

?

?3k 2 , 1 ? 4k 2

?12k 2 4 y1 y2 2 k2 ? x 2 ?3 ? 0 . 所以 x0 ? ? x0 2 ? 1 ? 42 0 4k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 ? 4k 2
解得 x0 ? ? 3 . 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 (? 3,0) . …………… 14 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )符合要求的递增等差数列为 1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共 4 个. 所以 f (5,3) ? 4 . (Ⅱ )设满足条件的一个等差数列首项为 a1 ,公差为 d , d ? N .
?

…………… 3 分

a10 ? a1 ? 9d , d ?

a10 ? a1 100 ? 1 ≤ ? 11 , d 的可能取值为 1, 2,?,11 . 9 9

对于给定的 d , a1 ? a10 ? 9d ≤100 ? 9d , 当 a1 分别取 1, 2,3,? ,100 ? 9d 时,可得递 增等差数列 100 ? 9d 个(如: d ? 1 时, a1 ≤ 91 ,当 a1 分别取 1, 2,3,? ,91时,可得递增 等差数列 91 个: 1, 2,3,?,11 ; 2,3, 4,?,12 ; ? ; 91,92,93,?,100 ,其它同理). 所以当 d 取 1, 2,?,11 时,可得符合要求的等差数列的个数为:

f (100,10) ? 100 ?11 ? 9 ? (1 ? 2 ? ? ? 11) ? 1100 ? 9 ? 66 ? 506 .…………… 8 分
(Ⅲ )设等差数列首项为 a1 ,公差为 d ,

am ? a1 ? (m ?1)d , d ?

am ? a1 n ?1 ≤ , m ?1 m ?1



n ?1 n ?1 n ?1 n?m n ?1 ?1 ? t ≤ ?t≤ 的整数部分是 t ,则 ,即 . m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1

d 的可能取值为 1, 2,?, t ,
对于给定的 d , a1 ? am ? (m ?1)d ≤ n ? (m ?1)d ,当 a1 分别取 1, 2,3,?, n ? (m ? 1)d 时, 可得递增等差数列 n ? (m ? 1)d 个. 所以当 d 取 1, 2,?, t 时,得符合要求的等差数列的个数

f (n, m) ? nt ? (m ? 1) ?

t (t ? 1) m ? 1 2 2n ? m ? 1 ?? t ? t 2 2 2

??

m ?1 2n ? m ? 1 2 (2n ? m ? 1)2 (t ? ) ? 2 2(m ? 1) 8(m ? 1)

易证

n ? m 2n ? m ? 1 n ? 1 ? ≤ . m ?1 2(m ? 1) m ?1 n ? m 2n ? m ? 1 m ?1 2n ? m ? 1 n ? 1 m?3 ? |? ? |? ,| , m ? 1 2(m ? 1) 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ? 1 2(m ? 1) n ? m 2n ? m ? 1 2n ? m ? 1 n ? 1 ? |? | ? |. m ? 1 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ? 1
t (t ? 1) 2

又因为 |

所以 |

所以 f (n, m) ? nt ? (m ? 1) ?

n?m n?m ( ? 1) n?m (n ? m)(n ? 1) ? n? ? (m ? 1) ? m ? 1 m ? 1 ? . m ?1 2 2( m ? 1)
即 f (n, m) ?

(n ? m)(n ? 1) . 2(m ? 1)

…………… 13 分


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