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2014年东城区高三期末数学理科试题


2014 年东城区高三第一学期期末数学理科试题

2014.01

东城区 2013—2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科) 2014.1 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? A. (0,1) C. (??, ?1) ? (0, ??) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B. (1, 2) D. (??, ?1) ? (1, ??)

2?i 的对应点位于 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
开始

3.设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行右图所示的程序框图,输出的 a 的值为 B. 5 C. 7 A. 3 D. 9
? 5.在△ ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ,则 cos B ?

S=1 a=3 S=S×a S ≥100?
否 是 输出 a 结束

A.

1 3

B.

3 3

C.

6 3
2

D.

2 2 3
2

a =a+2

6.已知直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围 为

3 3 D. [ ] , ??) 3 3 ? ? 7 .在直角梯形 ABCD 中, ?A ? 90 , ?B ? 30 , AB ? 2 3 , BC ? 2 ,点 E 在线段 CD 上,若 ??? ? ???? ??? ? AE ? AD ? ? AB ,则 ? 的取值范围是 1 1 A.[0,1] B.[0, 3] C.[0, ] D.[ , 2] 2 2 ? x ? 2, ?a, a ? b, ? 8.定义 max{a, b} ? ? 设实数 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是 y ? 2, ?b, a ? b, ? ? A.[?6,10] B.[?7,10] C.[?6,8] D.[?7,8]
A. [? B. [ ? , ] C. ( ??, ? 第二部分(非选择题 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
2

3 3 , ] 3 3

1 1 3 3

共 110 分) .
1 1

9.若函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,则 f (?2) 的值为 10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 11.若点 P (4,4) 为抛物线 y ? 2 px 上一点,则抛物线焦点坐标为
2



点 P 到抛物线的准线的距离为

. .

12.函数 y ? x ? 1? x 的最大值为

1 2 13.如图,已知点 A(0, ) ,点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在曲线 y ? x 上,若阴影 4 部分面积与△ OAP 面积相等时,则 x0 ? .

2 (主视图)

1 (侧视图)

(俯视图) 2014 年东城区高三第一学期期末数学理科试题 第 1 页(共 4 页)

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2014.01
P

14.设等差数列?an ? 满足:公差 d ? N ,an ? N* ,且?an ? 中任意两项之和也是该数列
*

y

中的一项. 若 a1 ? 1 ,则 d ?

; 若 a1 ? 25 ,则 d 的所有可能取值之和为

.
A O x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin (Ⅰ)求 f (
2

x1 ? .

? ) 的值; 12

(13 题图)

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0, ] 上的最大值和最小值.

? 2

16. (本小题满分 13 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列{an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列?bn ? 满足:

b b1 b2 ? 2 ?? ? n ? an ? 1 (n ? N*) ,求数列{bn } 的前 n 项和. 2 2 2n

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17. (本小题满分 14 分) ? 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, B1B ? 平面 A 1B 1C 1 AC ? CB ?CC 1 ? 2 ,?ACB ? 90 , D , E C1 分别是 A1B1 , CC1 的中点. B1 (Ⅰ)求证: C1D ∥ 平面 A1BE ; (Ⅱ)求证:平面 ABE ? 平面 AA1B1B ; 1 (Ⅲ)求直线 BC1 与平面 A1BE 所成角的正弦值.

A1

E A C A

D A

2A

B A

A

18. (本小题满分 13 分) 已知 a ? R ,函数 f (x ) ? ln x ?

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的最小值;

1 ? ax . x

(Ⅱ)若 f ( x ) 在区间[2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

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19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的点到其两焦点距离之和为 4 ,且过点 (0,1) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) O 为坐标原点,斜率为 k 的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,若

x1 x2 y1 y 2 ? 2 ? 0 ,求△ AOB 的面积. a2 b

20. (本小题满分 14 分) 若无穷数列{an } 满足: ①对任意 n ? N * , 则称数列{an } 为“T 数列”. (Ⅰ)若数列{an } 的通项为 an ? 8 ? 2n (n ? N*) ,证明:数列{an } 为“T 数列” ; (Ⅱ)若数列{an } 的各项均为正整数,且数列{an } 为“ T 数列” ,证明:对任意 n ? N * , an ? an?1 ; (Ⅲ)若数列{an } 的各项均为正整数,且数列{an } 为“ T 数列” ,证明:存在 n0 ? N * ,数列{an0 ?n } 为等差 数列.

an ? an ? 2 ? a n ?1 ; ②存在常数 M , 对任意 n ? N * ,an ? M , 2

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