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高考数学总复习精品课件(基础、专项、强化)常考题型强化练——数列


数学

浙(理)

常考题型强化练——数列
第五章 数 列

A组
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专项基础训练
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A组
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专项基础训练
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/>1.设等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.9 ( A )

解析 设该数列的公差为 d,

则 a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得 d=2,
n?n-1? ∴Sn=-11n+ 2 ×2=n2-12n=(n-6)2-36, ∴当 n=6 时,取最小值.

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2.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 5 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5 等于 ( C ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29

解析 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,

a2· a3=a1· a4=2a1,即 a4=2. 5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为4知, a4+2a7=2×4, ? 1 5 a7 1 1 1? 3 ∴q = = ,即 q= , ∴a7=2?2×4-a4?=4. a4 8 2 ? ? ? 1? 1 16?1-25? 3 ? ? ∴a4=a1q =a1×8=2, ∴a1=16, ∴S5= 1 =31. 1-2

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3.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 2an-a1=S1· Sn(a1≠0, n∈N*),则 a7 等于 A.16 B.32 C.64 D.128 ( C )

解析 令 n=1,则 a1=1,当 n=2 时,2a2-1=S2=1+a2,

解得 a2=2,当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,
得 2an-1-1=Sn-1,两式相减,
解得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1, 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 因此 an=2n-1.故 a7=26=64.

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4.已知等差数列{an}的公差 d=-2,a1+a4+a7+…+a97=50, 那么 a3+a6+a9+…+a99 的值是 A.-78 B.-82 C.-148 ( B ) D.-182

解析 ∵a3+a6+a9+…+a99

=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d) =a1+a4+a7+…+a97+2d×33
=50+66×(-2) =-82.

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5.设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若-am<a1<-am+1(m∈N*, 则 m≥2),则必定有 A.Sm>0,且 Sm+1<0 C.Sm>0,且 Sm+1>0 B.Sm<0,且 Sm+1>0 D.Sm<0,且 Sm+1<0 ( A )

解析

? ?a1+am>0, -am<a1<-am+1?? ? ?a1+am+1<0.

a1+am a1+am+1 易得 Sm= · m>0,Sm+1= · (m+1)<0. 2 2

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1 6.若数列{an}满足 -a =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an} an+1 n ? ?1? ? ? 为调和数列,已知数列?x ? 为调和数列且 x1+x2+…+x20= ? ? n?

1

20 200,则 x5+x16=________.
解析
? ?1? ? 由题意知, 若{an}为调和数列, 则?a ?为等差数列, ? n? ? ?

? ?1? ? ? ∴由 x ?为调和数列,可得数列{xn}为等差数列, ? n? ? ?

由等差数列的性质知,
200 x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11= 10 =20.

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7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n-an,则数列{an} 的通项公式
?1? - 2-?2?n 1 ? ? an=______________.

解析 由于 Sn=2n-an,所以 Sn+1=2(n+1)-an+1,后式减去 前式,得 Sn+1-Sn=2-an+1+an, 1 1 即 an+1=2an+1,变形为 an+1-2=2(an-2), 1 则数列{an-2}是以 a1-2 为首项,2为公比的等比数列.
又 a1=2-a1,即 a1=1.
?1? - ?1? - n 1 an-2=(-1)?2? ,所以 an=2-?2?n 1. ? ? ? ?



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3
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4

1 a 8.已知等比数列 n 中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数 2 a9+a10 3+2 2 . 列,则 的值为________ a7+a8

解析 设等比数列{an}的公比为 q,
1 ∵a1,2a3,2a2 成等差数列,∴a3=a1+2a2. ∴a1q2=a1+2a1q.∴q2-2q-1=0.∴q=1± 2. ∵各项都是正数,∴q>0.∴q=1+ 2.
a9+a10 2 ∴ =q =(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8

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9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*,a3=5,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 2 n +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
a

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
?a1+2d=5, ? ? ?a1=1, 由题意,得? 解得? 10×9 ? 10a1+ 2 d=100, ?d=2, ? ? 所以 an=2n-1. 1 n an (2)因为 bn=2 +2n=2×4 +2n, 1 所以 Tn=b1+b2+…+bn=2(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n) + 4n 1-4 2 2 n 2 2 = 6 +n +n=3×4 +n +n-3.

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10.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2 550,求 a 和 k 的值; Sn (2)设 bn= n ,求 b3+b7+b11+…+b4n-1 的值.
解 (1)由已知得 a1=a-1,a2=4,a3=2a,
又 a1+a3=2a2,
∴(a-1)+2a=8,即 a=3.

∴a1=2,公差 d=a2-a1=2. k?k-1? 由 Sk=ka1+ d, 2
k?k-1? 得 2k+ ×2=2 550, 2

即 k2+k-2 550=0,解得 k=50 或 k=-51(舍去).
∴a=3,k=50.

A组
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10.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2 550,求 a 和 k 的值; Sn (2)设 bn= n ,求 b3+b7+b11+…+b4n-1 的值.
n?n-1? n?n-1? 2 得 S = 2 n + × 2 = n +n. n (2)由 Sn=na1+ d, 2 2 Sn ∴bn= n =n+1.

∴{bn}是等差数列.
则 b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+ ?4+4n?n (4n-1+1)= . 2 ∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.

B组
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5

B组
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5

1.已知数列{an}是首项为 a1=4 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列,则其公比 q 等于 A.1 B.-1 C.1 或-1 D. 2 ( C )

解析 依题意,有 2a5=4a1-2a3,
即 2a1q4=4a1-2a1q2,

整理得 q4+q2-2=0,解得 q2=1(q2=-2 舍去), 所以 q=1 或 q=-1.

B组
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5

2.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第 一象限的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1, y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是 A.1 B. 2 C.3 D.4 ( A )

解析 由等差、等比数列的性质,

可求得 x1=2,x2=3,y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4).∴S△OP1P2=1.

B组
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5

1+2a n , ? ? 2 3.已知数列{an}满足:a1=1,an=?1 +2a n ?1, ? ?2 2

n为偶数, n为奇数,

n=2,3,4,…,设 bn=a2n?1 ?1 ,n=1,2,3,…,则数列{bn}的通

bn=2n . 项公式是________
解析 由题意,得对于任意的正整数 n,bn=a2n?1 +1, ∴bn+1=a2n+1,
又 a2 ? 1 ? (2a2 ? 1) ? 1 ? 2(a2 ? 1) =2bn,
n n n?1

∴bn+1=2bn,

2

又 b1=a1+1=2,
∴{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

∴bn=2n.

B组
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5

4.某音乐酒吧的霓虹灯是用 , , 三个不同音符组成的一 个含 n+1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符 开始, 相邻两个音符不能相同.例如 n=1 时,排出的音符串是 , ; n=2 时, 排出的音符串是 , , , ; …….

记这种含 n+1 个音符的所有音符串中,排在最后一个的 音符仍是 的音符串的个数为 an.故 a1=0,a2=2.则 (1)a4=________; (2)an=________.

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5

解析 由题意知,a1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2,a4 =6=23-a3,a5=10=24-a4, 所以 an=2n 1-an-1,


所以 an-1=2n 2-an-2,两式相减得 an-an-2=2n 2.
- -

当 n 为奇数时,利用累加法得 an-a1=21+23+…+2n 2n-2 = 3 , 2n-2 所以 an= . 3

-2

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当 n 为偶数时,利用累加法得 an-a2=22+24+…+2n 2= 2n-22 , 3


2n+2 2n+2?-1?n 所以 an= 3 .综上所述,an= . 3

答案 (1)6

2n+2?-1?n (2) 3

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1 1 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 满足 Sn= - an. 2 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),Tn= + b1 1 1 +…+ ,求 T2 012; bn b2 (3)若 cn=an· f(an),求{cn}的前 n 项和 Un.

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1 (1)当 n=1 时,a1= , 3

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,
1 1 1 又 Sn=2-2an,所以 an=3an-1, 1 1 即数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列, 故
?1? an=?3?n. ? ?

(2)由已知可得

n?n+1? 则 bn=-1-2-3-…-n=- 2 ,

?1? f(an)=log3?3?n=-n, ? ?

B组
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?1 1 ? 1 ? 故b =-2?n-n+1? ?, n ? ?

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?? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?? ? ? ? ? Tn=-2? 1-2?+?2-3?+…+?n-n+1??=-2?1-n+1? ?, ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

4 024 所以 T2 012=-2 013. (3)由题意得 故
?1? ? ?n, cn=(-n)· ?3?

? ?1? ?1? ?1? ? 1 2 ? ?n?, Un=c1+c2+…+cn=-?1×?3? +2×?3? +…+n· ? ? ? ? ? ?3? ?

? ?1? ?1? ?1? + ? 1 2 3 ? ?n 1?, 则3Un=-?1×?3? +2×?3? +…+n· ? ? ? ? ? ?3? ?

B组
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5

两式相减可得
??1? ?1? ?1? ?1? + ? 2 1 2 n n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? U =- + + … + - n · n 3 ??3? ?3? ?3? ?3? ?
?1? ? ?1? + 1? n ? ?n 1 =- ?1-?3? ?+n· 2? ? ? ? ?3? ?1? + 1 1 ?1?n ? ? +n· ? ?n 1 , =-2+2· ?3? ?3?

3 3 ?1?n 3 ?1?n+1 ? ? + n· ? ? 则 Un=-4+4· 2 ?3? . ?3?


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