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玉溪一中分校2015届高三数学检测(5)


玉溪一中分校高三数学综合检测(5)

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玉溪一中分校高三数学综合检测(5)

文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

【解析】
3, 5, 7, 9} , A ? {1, 5, 7} ,则 ? 1.由 U ? {1, , 9} ,故选 D. U A ? {3

2.由

3 ? 2i (3 ? 2i)(2 ? 3i) ? ? i ,故选 A. 2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i)

?π ? 3.由 y ? sin ? ? 2 x ? ? cos 2 x ,则函数为周期为 π 的偶函数,故选 B. ?2 ?

4. (1)当“ p ? q ”为真时,可以是 p 假 q 真,故而 ?p 为假不成立;当 ?p 为假时,p 为真,则“ p ? q ”为真,故①正 确; (2)由特称命题的否定为全称命题,故②正确,综上所述,①②均正确,故选 D. 5.由程序框图可知,输出的
S? 1 1 1 1 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? 5 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ,故选 D. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 ? 2 ? ? 2 3 ? ?5 6? 6
2 2 时, | u |min ? ,故选 B. 2 2 1 ? 的 3

6.由题意 u ? a ? tb ? (cos 25? ? t sin 20?, sin 25? ? t cos 20?) ,则 | u |? 1 ? t 2 ? 2t ,当 t ? ?
a 1 4 7.因为 3an?1 ? an ? 0, a2 ? ? ,所以 n ?1 ? ? ,a1 ? 4 ,所以数列 {an } 是公比为 an 3 3

等比数列,所以 {an } 的前 10 项和等于 3(1 ? 3?10 ) ,故选 C. 8.由题意可知,该几何体为长、宽、高分别为 4、3、2 的长方体,减去底面半径为 1 高为 3 的半圆柱,则其体积为

1 3 4 ? 3 ? 2 ? ? π ? 3 ? 24 ? π ,故选 A. 2 2
9.由于 y ? 1 ? x2 ,即 x2 ? y 2 ? 1( y≥0) , 直线 l 与 x2 ? y 2 ? 1( y≥0) 交于 A,B 两点, 如图 1 所示, S△ AOB ?

1 1 sin ?AOB≤ , 2 2
图1

且当 ?AOB ? 90? 时, S△ AOB 取得最大值,此时

-5-

3 2 ,则 ?OCB ? 30? ,所以直线 l 的倾斜角为 150° ,则斜率为 ? ,故选 B. 3 2 b 3 10 . 由 题 意 知 , 直 线 要 与 双 曲 线 的 右 支 有 两 个 交 点 , 需 满 足 ? tan 30? ? , 即 a 2 ? 3b 2 , 所 a 3

AB ? 2 ,点 O 到直线 l 的距离为

11.△ ABC 外接圆的半径 r ? 距离为 2 d ?

2 3 2 6 , 点 O 到平面 ABC 的距离 d ? R 2 ? r 2 ? ,SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到平面 ABC 的 3 3

4 6 1 4 6 4 2 1 ? ,此棱锥的体积为 V ? S△ ABC ? 2d ? ? 3 ? ,故选 A. 3 3 3 3 3

12.设 f ( x ) ? t ,则方程 t 2 ? bt ? c ? 0(t ? 0) 必有根.不可能有两根,否则原方程有四解或五解.关于 t 的方程只能有一个
,x3 ? 2 ,故选 A. 正数解,且为 t ? 1 ,再令 f ( x ) ? 1 ,求得 x1 ? 0,x2 ? 1

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13 14
63

15
? 1 1? ? ? 3 ,3 ? ? ?

16 2

1 3

1 13.由题意知,满足题意需在中间 1 至 2 米处剪断,则该几何概型的概率是 . 3
14 . 因 为 a1,a3 是 方 程 x2 ? 5x ? 4 ? 0 的 两 个 根 , 且 数 列 {an } 是 递 增 的 等 比 数 列 , 所 以 a1 ? 1,a3 ? 4,q ? 2 , 所 以

1 ? 26 ? 63 . 1? 2 y y ?0 15.如图 2,由 z ? ,由斜率公式可知,其几 ? x ?3 x ?3 S6 ?
何意义是点 ( x,y ) 与点 (3,0) 所在直线的斜率,故而

1 1 由图可知, zmin ? k AI ? ? , zmax ? kBI ? ,故而 z 的 3 3 ? 1 1? 取值范围是 ? ? , ? . ? 3 3?
16.由 f ( x) ? ?
1

图2

3? 1 ? ,则 f ? x ? ? ? ? ,所以 f ( x) ? f ( x ? 3) ,又由 3? 2? f ( x ? 3) ? ? f ?x? ? 2? ?

f ( x) ? ?

1 3? ? f ?x? ? 2? ?

,令 x ? ?1 ,则 f (?1) ? ?

1 3? ? f ? ?1 ? ? 2? ?

? 3 ? ?1? ,故而 f ? ? ? ?1 ,由函数图象关于点 ? ? ,0 ? 对称,所以 4 2 ? ? ? ?

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1 ? 3 ? f ( x) ? f ? ? ? x ? ? 0 ,令 x ? ,则 2 ? 2 ?

?1? f ? ? ? f (?2) ? 0 ,则 f (?2) ?1 ,所以 f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? 0 ,由 f (x) ? f (x ? 3) ?2?

得: f (1) ? f (2) ? … ? f (2015) ? f (1) ? f (2) ? f (?2) ? f (?1) ? 2 . 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
3? ? 解: (Ⅰ) m ? n ? ? sin x ? 3 cos x, ? , 2? ?

f ( x) ? (sin x ? 3 cos x) sin x ?
?

3 3 ? sin 2 x ? 3 cos x sin x ? 2 2

1 ? cos 2 x 3 3 3 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 , 2 2 2 2 2 π? ? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 2 , ??????????????????????(5 分) 6? ?

∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? π .

??????????????????(6 分)

π π π 5π (Ⅱ)∵0 ? x≤ , ∴? ? 2x ? ≤ , 2 6 6 6
∴当 2 x ?

π π π ? ,即 x ? 时, f ( x)max ? 3, 3 6 2

?????????????(9 分)

∴A?

π a c ,由正弦定理 , ? 3 sin A sin C
2 π , ∴C ? . 2 4

得 sin C ?

????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)学校总数为 18 ? 27 ? 18 ? 63 ,样本容量与总体中的个体数之比为

7 1 ? , 63 9

?????????????????????????????(3 分) 所以从五华区,盘龙区,西山区中应分别抽取的学校个数为 2,3,2. ???(6 分)

(Ⅱ)设 A1,A2 为在五华区抽得的 2 个学校,B1,B2,B3 为在盘龙区抽得的 3 个学校, C1,C2 为在西山区抽得的 2 个学校, ????????????????(7 分) ???(8 分)

1 这 7 个学校中随机抽取 2 个,全部的可能结果有 ? 7 ? 6 ? 21 种. 2

( A1,B1 ), ( A1,B2 ), ( A1,B3 ) , 随机抽取的 2 个学校至少有 1 个来自五华区的结果有 ( A1,A2 ), ( A1, C1 ), ( A1, C2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C1 ), ( A2 , C2 ) ,一共有 11 种,

????????????????????????????(10 分)

-7-

所以所求的概率为 P ? 19. (本小题满分 12 分)

11 . 21

????????????????????(12 分)

(Ⅰ)证明:由题设 AB ? AC ? SB ? SC ? SA , 如图 3 所示,连接 OA ,因为 △ ABC 为等腰直角三角形, 所以 OA ? OB ? OC ?
2 SA ? 2 ,且 AO ? BC , 2 2 SA ? 2 , 2
图3

又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,且 SO ?

从而 OA2 ? SO 2 ? SA2 ,所以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO , 又 AO
BC ? O ,所以 SO ? 平面 ABC .

???????????????(6 分)

(Ⅱ)解:∵ BO ? CO , BD ? AD ,
∴ AC ∥ DO ,∴ DO ? AD , DO ?

1 AC ? 1 . 2

1 1 3 S四边形ACOD ? ? (OD ? AC) ? AD ? ? (1 ? 2) ?1 ? , 2 2 2
由(Ⅰ)知 SO ? 平面 ABC ,
1 1 3 2 ∴VS ? ACOD ? S四边形ACOD SO ? ? ? 2 ? . 3 3 2 2

???????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意, f ( x) 的定义域为 (0,? ?) ,且 f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x

???????????????????????????(1 分) ①当 a≥0 时, f ?( x) ? 0 ,
∴ f ( x) 的单调增区间为 (0,? ?) ;

??????????????????(3 分)

②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ,
∴ f ( x) 的单调增区间为 (? a,? ? ) .

?????????????????(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ?( x) ? ①若 a≥ ? 1 ,则 x ? a≥0 ,

x?a . x2

-8-

即 f ?( x)≥0 在 [1,e] 上恒成立, f ( x) 在 [1,e] 上为增函数,

3 3 ; ∴ f ( x)min ? f (1) ? ?a ? , ∴a ? ? (舍去) 2 2
②若 a≤ ? e ,则 x ? a≤0 ,

?????????????(7 分)

即 f ?( x)≤0 在 [1,e] 上恒成立, f ( x) 在 [1,e] 上为减函数,

∴ f ( x)min ? f (e) ? 1 ?
e ; ∴ a ? ? (舍去) 2
③若 ?e ? a ? ?1 ,

a 3 ? , e 2
????????????????????????(9 分)

当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1,? a ) 上为减函数, 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (?a,e) 上为增函数,

3 ∴ f ( x)min ? f (?a) ? ln(?a) ? 1 ? , ∴a ? ? e , 2
综上所述, a ? ? e . 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) c ? 1 ,设 M,N 为短轴的两个三等分点, F 为焦点, 因为 △ MNF 为正三角形, 所以 | OF |?
3 3 2b | MN | ,即 1 ? , 2 3 2

???????????????????????(12 分)

解得 b ? 3 , a 2 ? b 2 ? 1 ? 4 , 因此,椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

??????????????????(5 分)

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,
? y ? kx ? m,① ? 点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) 的坐标满足方程组 ? x 2 y 2 ? 1,② ? ? 3 ?4

将①式代入②式,得 3x2 ? 4(kx ? m)2 ? 12 , 整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 , 此方程有两个不等实根,于是 ? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ? 12) ? 0 ,
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整理得 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 ,③ 由根与系数的关系,

????????????????????(7 分)

x1 ? x2 ?4km 3m , y0 ? kx0 ? m ? 2 , ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3 3m 1? 4km ? ?? ?x? 2 从而线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 2 ?, 4k ? 3 k? 4k ? 3 ? ?m ? ? ? km ? ? ,0 ?,? 0, 2 此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ? 2 ???(9 分) ?. 4 k ? 3 4 k ? 3? ? ? ? 1 ?km ?m 1 ? , 由题设可得 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 16
可知线段 AB 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足 x0 ? 整理得 m2 ?
(4k 2 ? 3) 2 ,k ? 0 , 8| k | (4k 2 ? 3) 2 ?3?0, 8| k |

将上式代入③式得 4k 2 ?

整理得 (4k 2 ? 3)(4k 2 ? 8 | k | ?3) ? 0, k ?0, 解得
1? ?1 3? 1 3 ? 3 ?| k |? ,所以 k 的取值范围是 ? ? ,? ? ? , ? . 2 2? ?2 2? 2 2 ?

??????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 解: (Ⅰ)∵ AB 为圆 O 的直径, AB ? DE , DH ? HE ,
∴ DH 2 ? AH BH ? 2(10 ? 2) ? 16 ,
∴ DH ? 4,DE ? 8 .

??????????????????????(5 分)

(Ⅱ)∵ PC 切圆 O 于点 C ,∴ PC 2 ? PD PE ,

∴(2 5)2 ? PD (PD ? 8), ∴ PD ? 2 .

????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? x ? ? cos ?, 解: (Ⅰ)由 ? ? y ? ? sin ?,

则圆 O1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 圆 O2 的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 . ????????????(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,圆 O1 与圆 O2 的交点所在的直线方程为 x ? y ? 1 , 其极坐标方程为 ? (sin ? ? cos? ) ? 1 . ???????????????(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】

- 10 -

解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ,即 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 . 当 a ? 1 时,不等式的解集是 (??,2) 当 a ? 1 时,不等式的解集为 R ; 当 a ? 1 时,即 | x ? 2 |? 1 ? a ,即 x ? 2 ? a ? 1 或 x ? 2 ? 1 ? a ,即 x ? a ? 1 或 x ? 3 ? a ,
1 ? a) 不等式解集为 (??, (3 ? a,? ?) . (2,? ?) ;

???????????????(5 分)

(Ⅱ)函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立, 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 对任意实数 x 恒成立. 由于 | x ? 2 | ? | x ? 3 | ≥ | ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,当且仅当 ?3≤x≤2 时取等,故只要 m ? 5 , 所以 m 的取值范围是 ( ??,5) . ??????????????????(10 分)

- 11 -


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