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3.1.1空间向量及其加减运算教案


人教 A 版高中课程标准实验教科书

数学 选修 2-1

§3.1.1 空间向量及其加减运算
辉县市第一高级中学 郭玉红 2011.12

一、【学习目标】
1.了解空间向量的概念 (1)经历向量由平面向空间推广的过程,尝试类比猜想,激发学生学习兴趣. (2)知道空间向量的含义,在具体情景中能用有向线段及记号表示空间向量. (3)知道空间零向量、单位向量、相等向量、相反向量的定义. 2.掌握空间向量的加减运算 (1)理解“平行四边形法则”、“三角形法则”在空间的适用性. (2)会运用“平行四边形法则”、“三角形法则”进行空间向量的加减运算. (3)体验空间向量加法的交换律、结合律. 3.了解空间向量的内容和学习方法 (1)类比平面向量,了解空间向量的内容,了解空间向量与立体几何的联系. (2)基于“推广”与“特殊化”的思考,体会向量的“维度”.

二、【学习重点】
(1)空间向量的有关概念. (2)空间向量的加减运算及其运算律.

三、【学习难点】
(1)空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用。 (2)空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

四、【学习过程】 (一)述说平面向量
请同学们回顾平面向量的有关知识.

(二)尝试提出问题
质疑:难道向量只能是平面上的吗?
1

(老师):物理学中,力、速度和位移是什么量?怎样确定? (矢量,由大小和方向确定)。 (课件) 如图, : 一块均匀的正三角形面的钢板质量为 500kg, 在它的顶点处分别受力 F1 、 F2、、F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 60 ,且
?

F1 ? F2 ? F3 ? 200kg .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个
力至少为多大时,才能提起这块钢板?

F2
O

F1
F3

G
(凭直觉)举出一个“似乎是空间中的向量”的例子.

(三)学习空间向量 1、空间向量的基本概念
(自主学习):请同学们阅读教材,类比平面向量的知识完成下面表格. 内容 概念 画法及其 表示 平面向量 在平面上,既有大小又有方向的量 用有向线段 AB 画出来; 表示方式: AB 或 a 长度为零的向量叫做零向量, 零向量 零向量的方向是任意的 单位向量 相反向量 相等向量 平面中模为 1 的向量 长度相等,方向相反的两个向量 平面中方向相同且模相等的向量
2

空间向量

2、空间向量的加法和减法运算法则 (1)回顾:平面向量的加、减法运算法则.

b
a
加法平行四边形法则

a?b

b
a
加法三角形法则

b
a

a ?b

减法三角形法则

(2)请同学们用自己的语言分别说一下这三种运算法则。 (3)空间向量的加减运算和平面有什么联系? 思考 1:在平面中,一个向量经过平移后和原向量相等,在空间向量中呢? 思考 2:空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的两个向量吗? 思考 3:空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向量的运算?
结论:空间任意两个向量的运算都可转化为共面向量的运算.

3、空间向量的加法运算律 (1)回顾:平面向量的加法运算律 加法交换律: a ? b ? b ? a
? ? ?
? ? ? ?

加法结合律: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) (2)思考:空间任意两个向量可都转化为共面向量,那么空间任意三个向量也都能转化
为共面向量吗?上面两个运算律在空间向量中还成立吗?

?

?

?

4、找一找、说一说 例: 如图,在平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,设 AA1 ? 2, AD ? 1, AB ? 1 ,
回答下列问题:
? ?

(1)写出与 AB 相等的向量;(2)写出 AB 的相反向量;(3)写出图中的单位向量.

3

D1 A1 B1

C1

D A
5、做一做、想一想
在上例中继续化简:(1)

C B
AB ? AD ? AA1 ? ? AA ? AD ? AB ? ? 1

(2)

思考: 始点相同的两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的以公共 始点为始点的对角线所表示的向量. 你能将这一结论推广到空间向量吗?

6、课堂巩固练习 教材课后练习题 2、3 五、【学习小结】 (1)知识上的收获; (2)学法上的收获; (3)情感上的收获. 六、【课后作业】 探究题:尝试解决本节课的导入问题.

4


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