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山东省青岛二中2013届高三下学期第二次模拟考试数学(理科)试题


第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x 2 ? 4 ? 0} , B ? { x | 2 ? } ,则 A ? B ? (
x

1 4

) D. { x | x ?

A. {x | x ? 2}

B. {x | x ? ?2}
2

C. {x | x ? 2或x ? ?2}

2.已知复数 z ? (a ? 1) ? (sin A.1 B. ? 1

a? ? 1)i ( a ? R ),若 z 为纯虚数,则实数 a 的值为( 2 C. ? 1 D. ? 1或0


1 } 2



, 3.设随机变量 ? ~ N (11) , P(0 ? ? ? 2) ? p( p ? 0) ,则 P(? ? 2) 的值为 (
A. 1 ? 2 p B. 1 ? p C.

1 ? 2p 2

D.

1 1 ? p 2 2


4.已知某几何体的三视图如下图所示,根据图中的数据可得此几何体的体积为(

A.

5 3

B.2

C.

1 3

D.

7 3


5.已知 cos

?
2

?

4 ,且 sin ? ? 0 ,则 tan ? 的值为( 5

A. ? C. ?

24 25
D.

B. ?

24 7

24 7

24 7

6 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

xf ( x? 2) ? ( x? 2) f (x,则 f ( f (5)) 的值是( )

)w

A.0 B. 5 C.1 D. 3 7.阅读右边的程序框图,若输出 S 的值为 ? 14 ,则判断框内可填写( A. i ? 6 ? C. i ? 5 ? B. i ? 8 ? D. i ? 7 ?



?x ? y ? 1 ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 所表示的平面区域内的面积不小于 2, ?m x ? y ? 1 ? 0 ?
则实数 m 的取值范围是( A. m ? 3或m ? ?1 C. m ? 3或m ? ?1 9.下列命题:①“ 0 ? a ? ) B. m ? 3或m ? ?1 D. m ? 3

1 n 1 ? ”是“存在 n ? N ,使得 ( ) ? a 成立”的充分条件;②“ a ? 0 ” 2 2 1 n 1 1 n ? 是“存在 n ? N ,使得 ( ) ? a 成立”的必要条件;③“ a ? ”是“不等式 ( ) ? a 对一切 2 2 2

n ? N ? 恒成立”的充要条件.其中真命题的序号是(
A.③ B.②③ C.①②

) D.①③

10.曲线 C:

y?

2 2 1 2 x ? ln x 上斜率最小的一条切线与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线平行, 2 a b

则该双曲线的离心率为( A. 3 B. 2

) C. 5 D. 3

11. 一袋内装有大小相同的红色球 6 个, 黄色球 5 个, 蓝色球 4 个, 同色球外部特征完全相同, 从中任取 4 个球,则每种颜色的球至少取到 1 个的概率为( ) A.

8 91

B.

12.当

1 ? ln y 1 y ? x ? y ? 1 时,令 a ? , b ? ,则 a 与 b 的大小关系是( 1 ? ln x e x
B. a ? b C. a ? b D.不能确定

25 91

C.

48 91

D.

60 91



A. a ? b

第Ⅱ卷
13.

(非选择题


共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.

?

2

1

| 3 ? 2 x 2 | dx ?

14.在 ?ABC 中, D 为 BC 中点,若 ?BAC ? 120 ? , AB ? AC ? ?1 ,则 | AD | 的最小值 是 .

15.已知在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是正方形,则 BC1 与平面 ACC1 A1 所 成角的取值范围是 . 16.如果 M 是函数 y ? f (x) 图像上的点, N 是函数 y ? g (x) 图像上的点,且 M、N 两点之 间的距离 MN 能取到最小值 d , 那么将 d 称为函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 之间的距离. 按这个 定义,函数 f ( x) ? x 和 g ( x) ?

? x 2 ? 4 x ? 3 之间的距离是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, A 为锐角,已知向 量 p ? (1,3 cos
2

A A ) , q ? (2 sin ,? cos 2 A) ,且 p // q . 1 2 2
2 2

(Ⅰ)若 a ? c ? b ? m bc,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值,以及面积最大时边 b, c 的大小.

18. (本题满分 12 分)甲、乙二人进行一次乒乓球比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利, 比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0 .6 ,乙获胜的概率为 0 .4 ,各局比赛结果相互独 立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (Ⅰ)求甲获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望.

19. (本题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD, 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? . (Ⅰ)证明: PB ? BC ; (Ⅱ)若平面 PAD ? 底面 ABCD , E 为线段 PD 的中点,求二面角 A ? BE ? C 的余弦 值. 20. (本题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 {an } 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且

1 , an , 2

S n 是等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 若 an ? ( )
2

1 2

bn

, 设 cn ?

bn ? (?1) n an , 求 数 列 {cn } 的 前 n 项 和 an

Tn .
x2 y 2 3 21. (本题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且椭圆过点 a b 2

2 ( 2, ) . 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 m 与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜 率依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.
2 22. (本题满分 14 分)已知 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3 .

( (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [t,t ? 1] t ? 0) 上的最小值;
(Ⅱ)对一切 x ? (1 ? ?) , 2 f ( x) ? x ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; , (Ⅲ)证明:对一切 x ? (0, ?) ,都有 ln x ? ?

1 2 ? 成立. e x ex


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