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【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2


第二章

点、直线、平面之间的位置 关系

§2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

课 前 热 身 1.空间两直线的位置关系.

2.平行公理(公理 4). 平行于同一条直线的两条直线________.可用符号表示为 ________. 3.等角定理. 空间中如果两个角的两边分别对应________,那么这两个 角________.

4.异面直线. 定义:不同在________一个平面内的两条直线叫做异面直 线. 5.异面直线所成的角. 直线 a, b 是异面直线, 经过空间任一点 O 作直线 a′, b′, 使________, ________, 我们把直线 a′与 b′所成的________, 叫做异面直线 a 与 b 所成的角.其范围是________.当异面直 线 a,b 所成角为________时,就说异面直线互相垂直,记作 ________.

1.且只有一个 自 我

无 无

2.互相平行 若 a∥b,b∥c,则 a∥c 3.平行 相等或互补

校 4.任何 对 5.a′∥a b′∥b π (0, ] 2 直角 a⊥b

锐角或直角

名 师 讲 解 1.不要将平面几何定理随意搬用于空间 课本在本节中介绍公理 4 之前引用了平面几何中的相应命 题:“在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那 么这两条直线也互相平行.”这种“平行的传递性”在空间也 是成立的.又如,在平面几何中,顺次连接四边形各边的中点, 可以得到一个平行四边形;同样,顺次连接空间四边形各边的 中点,也可以得到一个平行四边形.从上面的这些例子可以看

出,有些平面几何的定理可以推广到空间图形中来,这种方法 叫类比法,类比法是人类发现真理的一种重要方法.但类比法 稍不注意有时就会出差错.

例如,在平面几何中,两条直线不相交就平行,而在空间 可能是两条异面直线.又如“在平面几何中,垂直于同一直线 的两直线互相平行”,而在空间,垂直于同一条直线的两条直 线或是平行直线,或是相交直线,或是异面直线. 一般来说,要把关于平面图形的结论推广到空间图形,必须 经过证明,绝不能单凭自己的主观猜测.

2.异面直线的画法 画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点,即不共面的特点,常常需要用辅助平面作为衬托,以加 强直观性,如图①所示,若画成如图②的情形,就分不开了, 因此千万不要画成如图②所示的情形,画平面衬托时,除画成 图①所示的情形外,还通常画成图③、④所示的情形.

3.如何求异面直线所成的角 求两异面直线所成角的一般步骤. (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的 角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角的值,常利用解三角形.可用“一作、二证、 三计算”来概括.

平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角, 要注意识别这种情况.在初中只学习了解直角三角形,而两异 面直线所成角一般是放在斜三角形中,因此受到解三角形的限 制,在本章中仅仅知道两异面直线所成角即可,不必在此过多 纠缠,将来会在选修中学习两异面直线所成角的求法.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



平行公理的应用

【例 1】 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1, E, F 分别为 AA1, CC1 的中点,求证:BFD1E 是平行四边形. 【分析】 因为平行四边形是平面图形,只要证明一组对

边平行且相等,或证两组对边分别平行即可.

【证明】 如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE. ∵F为CC1的中点,∴BG綊FC1.

∴四边形BFC1G是平行四边形. ∴BF綊GC1.

又∵EG綊A1B1,A1B1綊C1D1,

∴EG綊C1D1.

∴四边形EGC1D1是平行四边形. ∴ED1綊GC1,∴BF綊ED1.

∴四边形BFD1E是平行四边形.

规律技巧

空间几何问题,常转化为平面几何问题来作

答,正方体作为一种典型的立体几何模型,常是解答立体几何 问题的有效工具.



等角定理的应用
已知E,E1分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱

【例2】

AD,A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.

【分析】

解答本题要先证明角的两边分别平行,然后应

用等角定理得出结论.

【证明】 如图,连接EE1.

∵E1,E分别为A1D1,AD的中点,∴A1E1綊AE.

∴A1E1EA为平行四边形. ∴A1A綊E1E.

又∵A1A綊B1B,∴E1E綊B1B.

∴四边形E1EBB1是平行四边形. ∴E1B1∥EB,同理E1C1∥EC. 又∠C1E1B1与∠CEB方向相同, ∴∠C1E1B1=∠CEB.

规律技巧

证明角相等问题,等角定理及其推论是较常用

的方法.另外,通过证明三角形的相似或全等也可以完成角相 等的证明,如本例还可通过证明△B1C1E1与△BCE全等来证明 角相等.



异面直线所成的角
如图所示,A点是△BCD所在平面外一点,AD

【例3】

2 =BC,E,F分别是AB,CD的中点,当EF= AD时,求异面 2 直线AD和BC所成的角.

【解】

如图,设G为AC的中点,连接EG,FG.

∵E,F分别为AB,CD的中点, 1 1 ∴EG∥BC,且EG=2BC;FG∥AD,且FG=2AD. 1 又AD=BC,∴EG=FG= AD. 2 ∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与CB所成的角.

1 2 在△EFG中,由于EG=FG=2AD,又EF= 2 AD, ∴EG2+FG2=EF2,即EG⊥FG. ∴∠EGF=90° .故AD与BC所成角为90° .

规律技巧

求异面直线所成的角,通常把异面直线平移到

同一个三角形中去,通过解三角形求得,但要注意异面直线所 π 成角的范围是?0, 2].

随堂训练 1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与 l( ) A.平行 C.垂直 B.相交 D.互为异面直线

解析 当l⊥α时,A不成立,当l∥α时,B不成立,当l?α 时,D不成立,因此选C.

答案

C

2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90° ,AB=AC= AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( A.30° C.60° B.45° D.90° )

解析 由原来的直三棱柱补成一个正方体ABCD- A1B1C1D1,如图. ∵AC1∥BD1,

∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角. ∵△A1BD1为正三角形, ∴∠A1BD1=60° .故选C.

答案 C

3.如图,已知在四面体ABCD中,AC⊥BD,E,F,G, H分别是棱 AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是 矩形.

证明 ∵EF是△ABC的中位线, 1 ∴EF∥AC,且EF= AC. 2 1 同理GH∥AC,且 GH= AC. 2 ∴GH∥EF,且GH=EF, ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EF∥AC,FG∥BD,而AC⊥BD. ∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.

4.如图所示,不共面的三条射线OA,OB,OC,点A1, OA1 OB1 OC1 B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且 = = 成立. OA OB OC 求证:△A1B1C1∽△ABC.

OA1 OB1 OC1 证明 ∵ OA = OB = OC , ∴A1B1∥AB,B1C1∥BC,A1C1∥AC. ∴∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC. ∴△A1B1C1∽△ABC.

5.空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30° 角, E,F分别是BC,AD的中点,求EF与AB所成的角.



如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.

∵E,F分别是BC,AD的中点, ∴EG∥CD,GF∥AB, 1 1 且EG=2CD,GF=2AB.

∴∠EGF(或其补角)为直线AB与CD所成的角. ∴∠EGF=30° . 又AB=CD,∴EG=GF. ∴在等腰三角形EGF中,∠EFG=75° 即为EF与AB所成的 角. ∴EF与AB所成角为75° .


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