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抛物线及其标准方程1


第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程

知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线? 1、初中时我们学过二次函数,它的图象是抛物线; 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛 物线或抛物线的一部分,如投篮时篮球的运动轨迹; 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、 喷泉的纵截面都是抛物线。

赵州桥

椭圆、双曲线的第二定义
平面内与一个定点的距离和一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹. 当0<e<1时,是椭圆; 当e>1时,是双曲线.
当e=1时,它又是什么曲线呢 ?
l M F · F l l

M

·
e> 1

·
M

· F

0< e < 1

e=1

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N l
M

定点 F 叫做抛物线的焦点,
定直线 l 叫做抛物线的准线.

· · F

即: 若

MF MN

? 1, 则点M的轨迹是抛物线.
解析法 代数关系式

几何关系式

2.抛物线的标准方程
建系

求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?

设点

l
N

M

· · F

列式

化简

证明

3.抛物线的标准方程的推导
设一个定点F到一条定直线l的距离为常数p (p>0), 如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢? l N K
M

· · F

解法一:以l为y轴,过点F且垂直于l的直线为x轴 建立直角坐标系,则点F(p ,0). 设动点M(x,y),由抛物线定义得

(x ? p) ? y ? x ,
2 2

y
2

化简得y ? 2 px ? p ( p ? 0).
2

N o

M

· · F

x

解法二:以定点F为原点,过点F且垂直于l的直 线为x轴建立直角坐标系. 则点F(0 ,0), l 的方程为x= - p . 设动点M(x,y),由抛物线定义得

x2 ? y 2 ? x ? p , 化简得 y ? 2 px ? p ( p ? 0).
2 2

l

N K

M

· · F

y

x

p p 则点F( ,0),l的方程为 x ? ? . 2 2
设动点M(x,y),由抛物线定义得

解法三:取过点F且垂直于l 的直线为x轴,x轴 与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角 坐标系,
l

y
M

N K o

p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? , 2 2 化简得y ? 2 px( p ? 0).
2

· · F

x

抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px(p>0)叫做 抛物线的标准方程.
y
N

M

其中 p 为正常数,它的几何 意义是:焦点到准线的距离. K o

· · F

x

y2 = 2px(p>0) 对“标准”的理解
l

N

M

· · F

y N K o

M

· · F

x

一般地,我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上 的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程. 但是,一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置 不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其 它形式.

抛物线标准方程的其他形式
l N
M

· · F
F

y N

M

K o

· · F
y

x

· ·

M

· ·
M

F

l

N

l

o N

x

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向

标准方程

焦点

准线

x

向右 向左

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y ? ?2 px
2

p F ( , 0) 2 p F ( ? , 0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ? ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

o

x

( p ? 0) x 2 ? 2 py ( p ? 0) x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

y

o

x

向上


o

y

x

向下

例题讲解:

2 y ? 6 x ,求它的焦 例1 (1)已知抛物线的标准方程是 点坐标和准线方程; 2 (2)已知抛物线的方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准 线方程; (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程. 解:(1)因为焦点在x轴的正半轴上,p=3,所以焦点坐 3 3 x ? ? ( , 0) 标是 2 ,准线方程是 . 2

1 (2)因为抛物线的标准方程 x ? y,焦点在y轴的正 6 1 1 p ? 半轴上, ,所以焦点坐标是 (0, ) ,准线方程是 12 24 1 是y ? ? . 24 p (3)因为焦点在y轴的负半轴上,并且 ? 2,p=4,所以 2 2
2

所求抛物线的标准方程是 x ? ?8 y.

例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 4


A

y

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

2 得p= 3



练习
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0);
1 (2)准线方程 是x = ? ; 4

y2 =12x y2 =x

(3)焦点到准线的距离是2.

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y或 x2 = -4y.

小结与作业:
1、抛物线的定义和标准方程的推导;
2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准 线方程; 3、数形结合的思想。
形(曲线位置特征) 数(方程形式特征)

定位分析

定量分析


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