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(人教B版)高中数学必修五:3.3《一元二次不等式及其解法(2)》ppt课件


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
不等式

第三章

不等式

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第三章
3.3 一元二次不等式及其解法

第2课时 含参数的一元二次不等式问题

第三章

不等式

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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

第三章

3.3

第2课时

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课前自主预习

第三章

3.3

第2课时

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一辆汽车总重量为ω,时速为v(km/h),设它从刹车到停车 行走的距离 L 与 ω 、 v 之间的关系式为 L = kv2ω(k 是常数 ) .这辆 汽车空车以 50km/h行驶时,从刹车到停车行进了 10m,求该车

载有等于自身重量的货物行驶时,若要求司机在15m距离内停
车,并且允许司机从得到刹车指令到实施刹车的时间为 1s,汽 车允许的最大时速是多少?(结果精确到1km/h)

第三章

3.3

第2课时

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[解析] 根据已知当 L=10,v=50 时,10=k· 502· ω,∴kω 1 =250. 又司机反应时间 1s 内汽车所走路程与汽车从刹车到停止 所走路程之和为 v×1 000 kv · 2ω+ ×1. 60×60
2 2 v × 1 000 v 5v 2 依题意,得 kv · 2ω+ ×1≤15,即125+18≤15, 60×60

∴18v2+625v-33 750≤0,解得 0<v≤29(近似值). 故汽车允许的最大时速为 29km/h.
第三章 3.3 第2课时

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对于可化为形如ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式,如果式子中 含参数 含有参数,则称此不等式为________ 的一元二次不等式. 解含参数的一元二次不等式时,需根据参数的取值范围进 行分类讨论,引起分类讨论的原因有以下几种: 正负 . 1.二次项系数的________ 0 2.方程ax2+bx+c=0中Δ与________ 的关系. 大小 . 3.方程ax2+bx+c=0两根的________ 我们在解决以上问题时,最优的处理次序是:先看二次项 正负 ,其次考虑_____ Δ ,最后分析两根________ 大小 . 系数的________

第三章

3.3

第2课时

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1.(2013~2014 学年度内蒙古通辽实验中学高二期末测试) x-1 不等式 <0 的解集是( x+2 A.(1,+∞) C.(-2,1)
[答案] C
x-1 [解析] 不等式 <0 可化为(x-1)(x+2)<0, x+2 ∴-2<x<1,故选 C.
第三章 3.3 第2课时

) B.(-∞,--2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

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2.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x +a)<1 对任意实数 x 成立,则( A.-1<a<1 1 3 C.-2<a<2
[答案] C

) B.0<a<2

3 1 D.-2<a<2

第三章

3.3

第2课时

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[解析] 由定义知(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 即( x -a)(1-x-a)<1 对任意实数 x 成立. ∴x2-x-a2+a+1>0 恒成立. ∴Δ=1-4×(-a2+a+1)<0. 1 3 ∴-2<a<2.

第三章

3.3

第2课时

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3.(2013· 重庆文,7)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0) 的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( 5 A.2 15 C. 4 7 B.2 15 D. 2 )

[答案] A

[解析] 本题考查一元二次不等式,根与系数的关系. ?x1+x2=2a ? x2=-8a2 由题意知?x1· ?x -x =15 ? 2 1 5 5 ?a=2或 a=-2(舍去),故选 A.
第三章 3.3 第2课时

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4.若关于x的不等式x2+x+k>0恒成立,则实数k的取值范

围是________.
1 [答案] k>4 1 [解析] 由题意,得 Δ=1-4k<0,∴k>4.

第三章

3.3

第2课时

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5.当a>-1时,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集是 ________. [答案] {x|x<-a或x>1} [解析] 原不等式可化为(x+a)(x-1)>0.

∵a>-1.∴-a<1,
∴不等式的解集为{x|x<-a或x>1}.

第三章

3.3

第2课时

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6 .已知函数 f(x) = mx2 - mx - 6 + m ,若对于 m∈[1,3] ,
f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围. [解析] 设g(m)=f(x)=mx2-mx-6+m=(x2-x+1)m-6. 由题意知,g(m)<0对m∈[1,3]恒成立. ∵x2-x+1>0,

∴g(m)是关于m的一次函数,且在[1,3]上是增函数,
∴g(m)<0对m∈[1,3]恒成立等价于g(m)max<0, 即g(3)<0.

第三章

3.3

第2课时

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∴(x2-x+1)· 3-6<0,即 x2-x-1<0, 1- 5 1+ 5 解得 2 <x< 2 , 1- 5 1+ 5 ∴x 的取值范围为{x| 2 <x< 2 }.

第三章

3.3

第2课时

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课堂典例讲练

第三章

3.3

第2课时

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含参数的一元二次不等式的解法 解关于x的不等式:x2-(2m+1)x+m2+m<0.

[ 分析 ]
[解析 ]

在上述不等式中含有参数 m ,因此需要先判断参
解法一: ∵方程x2 -(2m+1)x +m2 + m= 0 的解为

数m对方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解的影响,然后求解.

x1=m,x2=m+1,且知m<m+1.
∴二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上,且 与x轴有两个交点. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.

第三章

3.3

第2课时

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解法二:注意到 m2 + m = m(m + 1) ,及 m + (m + 1) = 2m + 1, 可先因式分解,化为(x-m)(x-m-1)<0, ∵m<m+1,∴m<x<m+1.

∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.

第三章

3.3

第2课时

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[点评] 含参数的不等式的解题步骤为

(1)将二次项系数转化为正数;
(2) 判断相应方程是否有根 ( 如果可以直接分解因式,可省 去此步);

(3) 根据根的情况写出相应的解集 ( 若方程有相异根,为了
写出解集还要分析根的大小). 另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为 0,这决定不等式是否为二次不等式.

第三章

3.3

第2课时

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当a>0时,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
[ 解析 ] 1)<0, 1 ∵a>0,∴不等式(ax-1)(x-1)<0,可化为(x-a)(x-1)<0, 当 a=1 时,不等式无解; 不等式 ax2 - (a + 1)x + 1<0 可化为 (ax - 1)(x -

第三章

3.3

第2课时

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1 当 0<a<1 时,1<x<a; 1 当 a>1 时,a<x<1. 1 综上可知,当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|1<x<a};当 a=1 时,原不等式的解集为空集;当 a>1 时,原不等式的解集 1 为{x|a<x<1}.

第三章

3.3

第2课时

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分式不等式的解法
x-1 (1)不等式 x ≥2 的解集为( A.[-1,0) C.(-∞,-1] B.[-1,+∞) D.(-∞,-1]∪(0,+∞) )

2x-1 (2)不等式 >1 的解集为__________. 3-4x

[ 分析 ]

f ? x? 此类不等式求解,要先移项通分化为 > 0( 或 g?x?

f ? x? <0)的形式再化为整式不等式.转化必须保持等价. g?x?
第三章 3.3 第2课时

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x -1 -x-1 [解析] (1)原不等式化为 x -2≥0,∴ x ≥0,
? ?x?x+1?≤0 ∴? ? ?x≠0

,∴-1≤x<0,故选 A.

6x-4 (2)原不等式化为: <0, 4x-3 2 3 ∴(6x-4)(4x-3)<0,∴3<x<4, 2 3 ∴原不等式的解集为{x|3<x<4}. 2 3 [答案] (1)A (2){x|3<x<4}
第三章 3.3 第2课时

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3x-1 不等式 ≥1 的解集是( 2-x 3 A.{x|4≤x≤2} 3 C.{x|4≤x<2}

)

3 B.{x|x≤4或 x>2} D.{x|x<2}

[答案] C

3x-1 4x-3 [解析] 不等式 ≥1,化为: ≥0, 2-x 2-x 3 ∴4≤x<2.
第三章 3.3 第2课时

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简单高次不等式的解法
x?x+2? 不等式 <0 的解集为( x-3 A.{x|x<-2,或 0<x<3} B.{x|-2<x<2,或 x>3} C.{x|x<-2,或 x>0} D.{x|x<0,或 x<3} )

第三章

3.3

第2课时

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A [分析] 原不等式左端是分式,右端为 0,属于B<0 型,可 等价转化为 AB<0,即 x(x+2)(x-3)<0,依次令 x=0,x+2=0, x-3=0 得,x1=0,x2=-2,x3=3,将数轴按此三数对应点分 成四段,令 y=x(x+2)(x-3)列出 x 与 y 的对应值如表: x y (-∞,- 2) - -2 (-2,0) 0 + 0 0 (0,3) - 3 (3,+∞) 0 +

故不等式 x(x+2)(x-3)<0 的解集为(-∞,-2)∪(0,3).

第三章

3.3

第2课时

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[解析] 原不等式等价于x(x+2)(x-3)<0. 结合数轴穿根法(如图)可知:

x<-2或0<x<3.
[答案] A

第三章

3.3

第2课时

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解不等式:x(x-1)2(x+1)3(x-2)>0.
[解析]
? ?x?x+1??x-2?>0 原不等式可化为? ? ?x-1≠0

? ?-1<x<0,或x>2 ?? ? ?x≠1

?-1<x<0,或 x>2.

∴原不等式的解集为{x|-1<x<0,或 x>2}.
第三章 3.3 第2课时

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不等式恒成立的问题 关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R 恒成立,求实数m的取值范围.

[分析]
解.

首先考虑二次项系数是否为零,化简后,需要对

m 对进行讨论. m≠0 时,可利用三个“二次”之间的关系求

第三章

3.3

第2课时

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[解析] 原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0 对 x∈R 恒成 立, 当 m=0 时,0· x2+0· x-1<0 对 x∈R 恒成立. 当 m≠0 时,由题意,得
? ?m<0 ? 2 ? Δ = m -4m?m-1?<0 ? ? ?m<0 ?? 2 ? ?3m -4m>0

m<0 ? ? 4 ?? m<0,或m>3 ? ?

?m<0. 综上,m 的取值范围为 m≤0.

第三章

3.3

第2课时

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[点评] 一元二次不等式恒成立时满足条件 (1)ax +bx+c>0 恒成立(或解集为
2 2

? ?a>0 R)时,满足? ? ?Δ<0

; ;

(2)ax +bx+c≥0 恒成立(或解集为 (3)ax +bx+c<0 恒成立(或解集为
2 2

? ?a>0 R)时,满足? ? ?Δ≤0

? ?a<0 R)时,满足? ? ?Δ<0

; .

(4)ax +bx+c≤0 恒成立(或解集为

? ?a<0 R)时,满足? ? ?Δ≤0

第三章

3.3

第2课时

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已知不等式 ax2 + (a - 1)x + a - 1<0 对于所有的实数 x 都成 立,求a的取值范围.

[解析] 若a=0,则原不等式为-x-1<0,
即x>-1,不合题意.故a≠0. 令f(x)=ax2+(a-1)x+a-1, ∵原不等式对任意x∈R都成立.

第三章

3.3

第2课时

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∴二次函数 f(x)的图象在 x 轴的下方. ∴a<0 且 Δ=(a-1)2-4a(a-1)<0.
? ?a<0 即? ? ??a-1??3a+1?>0

1 ,∴a<-3.

1 故 a 的取值范围为(-∞,-3).

第三章

3.3

第2课时

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易错疑难辨析

第三章

3.3

第2课时

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若函数 y= kx2-6kx+?k+8?的定义域为 R,则 k 的取值范围是________.
[错解] 0<k≤1 由题意知 kx2-6kx+(k+8)≥0 恒成立,
? ?k>0 ∴? 2 ? ?Δ=36k -4k?k+8?≤0

,∴0<k≤1,

即 k 的取值范围是 0<k≤1.

[辨析]

错解忽视了k=0时,kx2-6kx+(k+8)≥0也成立,

考虑问题不全面导致错误.
第三章 3.3 第2课时

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[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2-6kx+(k+8)≥0 恒成立.当 k=0 时满足,当 k≠0
? ?k>0 时? 2 ? ?△=36k -4k?k+8?≤0



∴0<k≤1,综上得 0≤k≤1.

第三章

3.3

第2课时

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课时作业
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第三章

3.3

第2课时


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