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江西省南昌三中2012-2013学年高一数学下学期期中试题(含解析)新人教A版


2012-2013 学年江西省南昌三中高一(下)期中数学试卷
一、选择题:每小题 3 分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的. 1. 分) (3 A. =( B. ) C. D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 判断数列的是等比数列,利用等比数列求和公式求解即可. 解答: 解:因为 ,所以 是等比数列,首项为 ,公比为



所以

=

=



故选 D. 点评: 本题是基础题,考查等比数列前 n 项和的求法,考查计算能力,高考会考常考题型. 2. 分) (3 (2012?青浦区一模)在边长为 1 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 中, A. B. ﹣ C. D. 的值为( ﹣ )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 连接 A1A5,由正六边形的性质,可证出△A1A3A5 是边长为 计算出 ? 的值.

的正三角形,再用向量数量积的定义,可

解答: 解:连接 A1A5, ∵A1A2A3A4A5A6 是正六边形,∴△A1A2A3 中,∠A1A2A3=120° 又∵A1A2=A2A3=1,∴A1A3= 同理可得 A1A3=A3A5= ∴△A1A3A5 是边长为 =

的等边三角形, = ? cos120°=﹣

由向量数量积的定义,得 故选 B

1

点评: 本题给出正六边形的边长为 1,叫我们求向量的数量积,着重考查了正多边形的性质、余弦定理和 向量数量积的运算等知识,属于基础题.

3. 分)设 , 是两个非零向量,下列说法正确的是( (3 A. C. 若 若 =λ = = ,则 ⊥ ,则存在实数 λ ,使得 B. D.

) = ,则

若 ⊥ ,则

若存在实数 λ ,使得 =λ =

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据选择项知需要判断命题的真假,由数量积运算将 确、A 错、B 错,再对 解答: 两边取模后,代入

两边平方后化简说明 C 正 进行验证 D 错.

解:设非零向量 , 的夹角是 θ , ①将 即 两边平方得, ,得 cosθ =﹣1, ,则 C 正确,A 错; ,显然不成立,故 B 错; ,

则 , 是共线向量,即存在实数 λ , 另:当 时,有 ,代入 时, ,

②存在实数 λ , 则 故



不一定成立,故 D 错.

故选 C. 点评: 本题考查了向量的平方就是向量模的平方应用,以及数量积的运算,考查了分析问题和解决问题的 能力.

2

4. 分) (3 (2011?安徽模拟)在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 考点: 诱导公式的作用. 分析: 利用 cos( ﹣α )=sinα 及正弦函数的单调性解之. 解答: 解:因为 cosA>sinB,所以 sin( 又角 A,B 均为锐角,则 0<B< 且△ABC 中,A+B+C=π ,所以 ﹣A)>sinB, ﹣A< <C<π . ,所以 0<A+B< ,



故选 C. 点评: 本题考查诱导公式及正弦函数的单调性.

5. 分)数列{an}的通项公式 (3 A.1006 B.2012

,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于( C.503 D.0



考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由数列通项公式可求得该数列的周期及其前 4 项,根据数列的周期性及前 4 项和即可求得 S2012. 解答: 解:由 得, 该数列周期为 T= =4,且 ,a2= ﹣1=﹣ ,a3= ,a4= ,

则 a1+a2+a3+a4=

+ + =1,

所以 S2012=503×(a1+a2+a3+a4)=503×1=503. 故选 C. 点评: 本题考查数列的求和及数列的周期性,解决本题的关键是通过观察通项公式求出数列的周期.

6. 分)若 , , 均为单位向量,且 (3 值为( A. ) B.1



,则

的最大

C.

D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 , , 均为单位向量,且 由 解答: =3﹣2 ?(

, )≤3﹣2,从而求得 ,

,求得 的最大值. ,则

?(

)≥1,再

解:∵ , , 均为单位向量,且




3

+ ∴ ?( 而 故

≤0, )≥1. = + + +2 ﹣2 ﹣2 =3﹣2 ?( )≤3﹣2=1,

的最大值为 1,

故选 B. 点评: 本题主要考查平面向量数量积的运算和模的计算问题,特别注意有关模的问题一般采取平方进行解 决,考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力,属于中档题. 7. 分) (3 (2013?奉贤区一模)已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命 题,假命题的是( ) A.公差 d<0 B.在所有 Sn<0 中,S13 最大 C.满足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个 D.a6>a7 考点: 命题的真假判断与应用;等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题: 阅读型. 分析: 根据题设条件可判断数列是递减数列,这样可判断 A 是否正确; 根据 S6 最大,可判断数列从第七项开始变为负的,可判断 D 的正确性: 利用等差数列的前 n 项和公式与等差数列的性质,可判断 S12、S13 的符号,这样就可判断 B、C 是否 正确. 解答: 解:∵等差数列{an}中,S6 最大,且 S6>S7>S5∴a1>0,d<0,A 正确; ∵S6 最大,a6>0,a7<0,∴D 正确; ∵S13= ×13= ×13<0 ×12= ×12>0;
*

∵a6+a7>0,a6>﹣a7,s12=

∴Sn 的值当 n≤6 递增,当 n≥7 递减,前 12 项和为正,当 n=13 时为负. 故 B 正确;满足 sn>0 的 n 的个数有 12 个,故 C 错误; 故选 C 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和的最值.在等差数列中 Sn 存在最大值的条件是:a1>0,d<0. 一般两种解决问题的思路:项分析法与和分析法.

8. 分) (3 如图在矩形 ABCD 中, AB= 的值是( )

, BC=4, E 为 BC 的中点, F 在 CD 上, 点 点 若

, 则

A.

B.

C.

D.
4

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意得选择基向量 和 ,求出它们的长度和 入式子 解答: 解:选基向量 ∴ ∴ 即 = cos0= 和 由数量积运算求出 ,由题意得 , = ,解得 =1, , )?( =5+ , ) + =1, = , ,同理求出 , =

,由向量加法的三角形法则求出 和 , ,代入 =4, 进行化简求值.

,代

∵点 E 为 BC 的中点, ∴ ∴ = =( ,

故选 B. 点评: 本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用,以及向量加法的三角形法则,关键是根据 题意选基向量,其他向量都用基向量来表示. 9. 分) (3 (2012?南充模拟)在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是( A.14 B.16 C.18 D.20 )

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质可知,从第 1 到第 4 项的和,以后每四项的和都成等比数列,由前 8 项的和减 前 4 项的和得到第 5 项加到第 8 项的和为 2,然后利用第 5 项到第 8 项的和除以前 4 项的和即可得 到此等比数列的公比为 2,首项为前 4 项的和即为 1,而所求的式子(a17+a18+a19+a20)为此数列的第 5 项,根据等比数列的通项公式即可求出值. 解答: 解:∵S4=1,S8=3, ∴S8﹣S4=2, 而等比数列依次 K 项和为等比数列, 5﹣1 则 a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4)?2 =16. 故选 B. 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一道中档题.

5

10. 分) (3 (2012?天津)已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足 λ ∈R.若 A. =﹣ ,则 λ =( B. ) C.





D.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据向量加法的三角形法则求出 据数量级的定义求出 解答: 解:∵ ∴ ∵△ABC 为等边三角形,AB=2 ∴ = +λ +(1﹣λ ) , , 再根据 =﹣ 即可求出 λ . ,λ ∈R



进而根

=2×2×cos60°+λ ×2×2×cos180°+(1﹣λ )×2×2×cos180°+λ (1﹣λ )×2×2×cos60° 2 =﹣2λ +2λ +2 ∵
2

=﹣

∴4λ ﹣4λ +1=0 2 ∴(2λ ﹣1) =0 ∴ 故选 A 点评: 本题主要考查了平面向量数量级的计算,属常考题,较难.解题的关键是根据向量加法的三角形法 则求出 然后再结合数量级的定义和条件△ABC 为等边三角形, AB=2, =﹣ 即可求解!

二、填空题: (每小题 4 分) 11. 分) (4 (2008?江苏)已知向量 和 的夹角为 120°, ,则 = 7 .

考点: 向量的模. 专题: 计算题. 分析: 根据向量的数量积运算公式得 解答: 解:由题意得, = ,

,化简后把已知条件代入求值.

6



=7.

故答案为:7. 点评: 本小题考查向量模的求法,即利用数量积运算公式“ ”进行求解.

12. 分)正项等比数列中 (4

,则

=

9 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等比数列通项的性质可得 解答: 解:由题意,∵

,再利用各项为正数,可得答案.

∴ ∵正项等比数列 ∴ 故答案为 9 点评: 本题以等式为载体,考查等比数列通项的性质,从而得解.

13. 分) (4 (2009?重庆)设 a1=2,

,bn=

,n∈N ,则数列{bn}的通项公式 bn= 2

+

n+1



考点: 数列递推式. 专题: 压轴题;创新题型. 分析: 由题设条件得 = ,由此能够导出数列{bn}的通项公

式 bn. 解答: 解:由条件得 =

且 b1=4 所以数列{bn}是首项为 4,公比为 2 的等比数列, n﹣1 n+1 则 bn=4?2 =2 . n+1 故答案为:2 .
7

点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意递推公式的合理运用.

14. 分) (4 在△ABC 所在的平面上有一点 P, 满足

+

+

=

, 则△PBC 与△ABC 的面积之比是 2: . 3

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 解题突破口是从已知条件所给的关系式化简, 确定出 2 由此问题可解. 解答: 解:由 + + = ,得 + + ﹣ =0,即 + = .

=

, 即点 P 是 CA 边上的第二个三等分点,

+

+

=0,得

+

+

=0,即 2

=



所以点 P 是 CA 边上的第二个三等分点,故

故答案为:2:3 点评: 本题考查向量在几何中的应用,解答的关键是从已知条件所给的关系式化简,确定点 P 的位置. 15. 分)如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N) (4 个点,每个图形总的点数记为 an,则 a6= 15 ; = .

考点: 等差数列与等比数列的综合;归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 根据图象的规律可得出通项公式 an,进而求出 a6,根据数列{ 项和的公式,而

}的特点可用列项法求其前 n

又是前 2010 项的和,代入前 n 项和公式即

可得到答案. 解答: 解:每个边有 n 个点,把每个边的点数相加得 3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故第 n 个图 形的点数为 3n﹣3,即 an=3n﹣3 ∴a6=3×6﹣3=15 令 Sn= = =1﹣ + =1﹣ =
8

? ?

∴ 故答案为:15, .

=S2010=

点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题.属基础题. 三、解答题(共 50 分) 16. 分)已知向量 (8 (1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;向量法. 分析: (1)根据三点构成三角形的条件,即只要三点不共线,根据共线的条件确定出 m 的值,从而解出 A、 B、C 能构成三角形时,实数 m 满足的条件; (2)将几何中的角为直角转化为向量的语言,通过向量的数量积为零列出关于实数 m 的方程,求解 出实数 m. 解答: 解: (1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线, ∵ ∴实数 时,满足条件. , ,故知 3(1﹣m)≠2﹣m .

(2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 ∴3(2﹣m)+(1﹣m)=0 解得 .

点评: 本题考查向量的坐标形式的运算,考查向量共线与向量垂直的等价条件.关键要将几何问题通过向 量工具解决出来,体现了转化与化归的思想. 17. (10 分) (2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等 比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (I) 求数列{bn}的通项公式; (II) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列.

考点: 等比关系的确定;等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 证明题;综合题. 分析: (I) 利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5﹣d, 5+d, 代入等比数列中可求 d, 进一步可求数列{bn}的通项公式

(II)根据(I)及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn,要证数列{Sn+ }是等比数列?

即可.
9

解答: 解: (I)设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d 依题意,得 a﹣d+a+a+d=15,解得 a=5 所以{bn}中的依次为 7﹣d,10,18+d 依题意,有(7﹣d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=﹣13(舍去) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2 由 b3=b1?2 ,即 5=4b1,解得 所以{bn}是以 首项,2 为公比的等比数列,通项公式为
2

(II)数列{bn}的前和



,所以



因此{

}是以 为首项,公比为 2 的等比数列

点评: 本题主要考查了等差数列、等比数列及前 n 和公式等基础知识,同时考查基本运算能力 18. (10 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+sinC 的取值范围. 考 正弦定理;正弦函数的定义域和值域. 点: 专 计算题. 题: 分 (1)先利用正弦定理求得 sinB 的值,进而求得 B. 析:(2)把(1)中求得 B 代入 cosA+sinC 中利用两角和公式化简整理,进而根据 A 的范围和正弦函数的性 质求得 cosA+sinC 的取值范围. 解 解: (Ⅰ)由 a=2bsinA,根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,所以 , 答: 由△ABC 为锐角三角形得 (Ⅱ) = . 由△ABC 为锐角三角形知, 所以 由此有 <A< . , . , = = .

10

所以,cosA+sinC 的取值范围为



点 本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用.涉及了正弦函数的性质,考查了学生 评:对三角函数知识的把握. 19. (10 分)已知数列{an}的通项为 an,前 n 项的和为 Sn,且有 Sn=2﹣3an. (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: (1)n=1 时,由 s1=2﹣3a1 可求 a1,n≥2 时由 an=sn﹣sn﹣1 可得 an 与 an﹣1 之间的递推关系,进而结合 等比数列的通项公式可求 (2)结合(1)可求 nan,然后结合错位相减求和即可求解 解答: 解: (1)n=1 时,s1=2﹣3a1 ∴a1= 当 n≥2 时 3an=2﹣Sn① 3an﹣1=2﹣Sn﹣1② ①﹣②得 3(an﹣an﹣1)=﹣an, ∴

∵{an}是公比为 ,首项为 的等比数列, (2)∵

①﹣②得



= 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及等比数列的通项公式、错位相减求和方 法的应用,属于数列知识的综合应用. 20. (12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 ,证明:{bn}是等差数列;
11
*

(3)证明:



考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 证明题. n 分析: (1)由题设知 an+1+1=2(an+1) ,所以数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 an=2 ﹣1. (2) 由题设知
﹣1

, 由此能推导出 nbn﹣2= (n﹣1) n+1, b 从而得到 2bn+1=bn+bn

,所以数列{bn}是等差数列. ,则 . = ,由此能够证明

(3)设 出

解答: 解: (1)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1) 分) (2 故数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 分) (3 n n ∴an+1=2 ,an=2 ﹣1(4 分)

(2)∵ ∴ (5 分)



2(b1+b2++bn)﹣2n=nbn①2(b1+b2++bn+bn+1)﹣2(n+1)=(n+1)bn+1② ②﹣①得 2bn+1﹣2=(n+1)bn+1﹣nbn, 即 nbn﹣2=(n﹣1)bn+1③(8 分) ∴(n+1)bn+1﹣2=nbn+2④ ④﹣③得 2nbn+1=nbn+nbn﹣1,即 2bn+1=bn+bn﹣1(9 分) 所以数列{bn}是等差数列.

(3)∵

(11 分)

设 则 =



(13 分) (14 分)

点评: 本题考查数列和不等式的综合应用题,具有一定的难度,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐 含条件.

12


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