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2016届天津市河西区高三第三次模拟考试数学(理)试题


天津市河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三)

数 学 试 卷(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 10 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
·棱柱的体积公式 V ·如果事件

? Sh
1 ? Sh 3

A , B 互斥,那么

·棱锥的体积公式 V

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
·如果事件

其中 S 表示棱柱(锥)的底面面积

A , B 相互独立,那么

h 表示棱柱(锥)的高
·球的表面积公式 S

P( AB) ? P( A) ? P( B)

? 4?r 2

其中 r 表示球的半径

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知复数 z ?

2i 3 ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限

(A)第一象限 (C)第三象限

高三数学试卷(理科)

第 1 页 (共 10 页)(三)

(2)已知回归直线的斜率的估计值是 1.2 ,样本点的中心为 ( 4 , 5 ) ,则回归直线方程是 (A) y ? 1.2 x ? 4 (C) y ? 1.2 x ? 0.2
? ?

(B) y ? 1.2 x ? 5 (D) y ? 0.95 x ? 1.2
?

?

(3)如图所示的程序框图,若输入的 A , S 的值分别为 0 , 1 ,则输出的 S 的值为 (A)4 (B) 16 (C) 27 (D) 36

(4)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是 (A)

57 2

(B) 27 (D) 28

(C) 26

高三数学试卷(理科)

第 2 页 (共 10 页)(三)

(5)双曲线

y2 x2 1 ? 2 ? 1 ( a ? 0 ,b ? 0) 与抛物线 y ? x 2 有一个公共焦点 F ,双曲线上过 2 a b 8
2 3 ,则双曲线的离心率为 3 2 3 (B) 3
(D) 3

点 F 且垂直于 y 轴的弦长为 (A) 2 (C)

3 2 2

? x ? 2 ? cos ? (6)已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数且 ? ? [0 , 2? ] ),点 P ( x , y ) 在 ? y ? 1 ? sin?

曲线 C 上,则

y ? x ?1 的最大值是 x
3 2

(A)

3 3

(B)

(C)

2? 3 2

(D)

3? 3 3

(7)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 2 ? cos x ,则三个数 a ? f (1) , b ? f (log 1
2

1 ), 4

c ? f (log 2

2 ) 的大小关系为 2
(B) a ? c ? b (D) c ? a ? b

(A) a ? b ? c (C) b ? a ? c

? 1 ? x ? 1 , x ? [?2,0] (8) 已知函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [ ?2 ,4 ] 内有 3 个 ?2 f ( x ? 2), x ? (0,?? )
不等实根,则实数 a 的取值范围是 (A) {a ? 2 ? a ? 0} (C) {a ? 2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2} (B) {a ? 2 ? a ? 0 或 a ? 1} (D) {a ? 2 ? a ? 0}

高三数学试卷(理科)

第 3 页 (共 10 页)(三)

河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查 (三)

数 学 试 卷(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)某服装设计公司有 1200 名员工,其中老年、中年、青年所占的比例为 1 : 5 : 6 ,公司 十年庆典活动特别邀请了 5 位当地的歌手和公司的 36 名员工同台表演节目,其中员工按 老年、中年、青年进行分层抽样,则参演的中年员工的人数为 (10) 函数 y ? 2 sin(3x ? ? ) (? ? .

?
2

) 图象的一条对称轴为直线 x ?

?
12

, 则? ?

. .

(11)已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,

S3 S 2 ? ? 1 ,则公差 d 等于 3 2
.

(12)设 n ?

?1

16 1 x

dx ,则 ( x ? 3

2 x

) n 的展开式的二项式系数和为

(13)如图,梯形 ABCD 内接于⊙ O , AD ∥ BC ,过点 B 引⊙ O 的切线分别交 DA 、 CA 的延长线于 E 、 F ,已知
BC ? 8 , CD ? 5 , AF ? 6 ,则 EF ?

.

(14)如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形, OD ? 3 ,点 P 为 ?BCD 内(含边界) 的动点,设 OP ? ? OC ? ? OD ( ? , ? ? R ),则 ? ? ? 的最大值为
C B P

.

O

A
高三数学试卷(理科)

D
第 4 页 (共 10 页)(三)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , A ? (Ⅰ)求 C 的值; (Ⅱ)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

?
6

, (1 ? 3 )c ? 2b .

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第 5 页 (共 10 页)(三)

(16)(本小题满分 13 分) 美国篮球职业联赛(NBA)的总决赛采用的是七场四胜制,即若有一队先胜四场, 则该队获胜,比赛就此结束.2015 年的总决赛是在金州勇士队和克里夫兰骑士队之间展开 的.假设在一场比赛中, 金州勇士队获胜的概率为 0.6 , 克里夫兰骑士队获胜的概率是 0.4 , 各场比赛结果相互独立.已知在前 4 场比赛中,双方各胜 2 场. (Ⅰ)求金州勇士队获得 NBA 总冠军的概率; (Ⅱ)设两队决出 NBA 总冠军还需要比赛的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

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第 6 页 (共 10 页)(三)

(17)(本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形, AD ∥ BC , ?BAD ? 90? ,四边形 CC1D1D 为矩形, 已知 AB ? BC1 , AD ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 , DD1 ? 2 . (Ⅰ)求证: BC1 ∥平面 ADD1 ; (Ⅱ)求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)设点 P 是线段 C1D 上的一个动点(端点除外),试判断直线 BC1 与直线 CP 能 否垂直?并说明理由.

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第 7 页 (共 10 页)(三)

(18)(本小题满分 13 分)

设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上. a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1 ,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 是椭圆 E 的左、右焦点, P 是椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴于点 Q ,并且 F1P ? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上.

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第 8 页 (共 10 页)(三)

(19)(本小题满分 14 分) 数列 {a n } 满足 a1 ?

an ?1 1 ,且 n ? 2 时, an ? . 2 ? an ?1 3

(Ⅰ)证明数列 {

1 ? 1} 为等比数列,并求数列 {a n } 的通项公式; an

(Ⅱ) 若对任意的 n ? N * , 不等式 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??(1 ? an ) ? ? ? 2n 恒成立, 求? 的 取值范围; (Ⅲ)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求证:对任意的正整数 n 都有 Sn ? (1 ?

2 3

1 ). 2n

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第 9 页 (共 10 页)(三)

(20)(本小题满分 14 分) 已知函数是定义在 [ ? e , 0) ? (0 , e ] 上的奇函数,当 x ? (0 , e ] 时, f ( x) ? ax ? ln x ( a ? R ). (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ?

ln x x

, x ? [?e , 0) ,求证:当 a ? ?1 时, f ( x) ? g ( x) ?

1 恒成立; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使得当 x ? [?e , 0) 时, f ( x) 的最小值是 3 ?如果存在, 求出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由.

高三数学试卷(理科)

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数学试卷(理工类)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. DCDA BDCB

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 15 (10)

?
4

(11) 2

(12) 64

(13)

15 4

(14)

4 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由正弦定理

b c , (1 ? 3 )c ? 2b , ? sin B sin C
sin(? ?

…………2 分

?

3 sin B 1 所以 ,即 ? ? sin C 2 2
解得 tan C ? 1 ,即 C ?

6 sin C

? C)

?

1 3 ? , 2 2
…………6 分 …………8 分 …………10 分

?
4

.

(Ⅱ)解:由 CB ? CA ? 1 ? 3 ,得 ab cos C ? 1 ? 3 , 由(Ⅰ)得 C ?

?
4

,即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? a? 2 2 ? ? ? 则有 ? (1 ? 3 )c ? 2b ,解得 ?b ? 1 ? 3 . ? a c ? c?2 ? ? sin A ? sin C ? ?
(16)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设金州勇士队获得 NBA 总冠军的事件为 A

…………13 分

P( A) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
(Ⅱ)解:随机变量 X 的取值为 2,3,

…………6 分 …………7 分

P( X ? 2) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52 ,
P( X ? 3) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48
高三数学试卷(理科) 第 11 页 (共 10 页)(三)

随机变量 X 的分布列为:

?
P

2

3

0.52

0.48
…………11 分

X 的数学期望是 E ( X ) ? 2 ? 0.52 ? 3 ? 0.48 ? 2.48 .
(17)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:由四边形 CC1D1D 为矩形,得 CC1 ∥ DD1 , 又因为 CC1 ? 平面 ADD1 , DD1 ? 平面 ADD1 ,所以 CC1 ∥平面 ADD1 , 同理 BC ∥平面 ADD1 , BC ? CC1 ? C ,所以平面 BCC1 ∥平面 ADD1 , 又 BC1 ? 平面 BCC1 ,所以 BC1 ∥平面 ADD1 .

…………13 分

…………3 分 …………4 分

(Ⅱ)解:在平面 ABCD 中, AD ∥ BC , ?BAD ? 90? ,所以 AB ? BC , 又因为 AB ? BC1 , BC ? BC1 ? B ,所以 AB ? 平面 BCC1 , 所以 AB ? CC1 , 又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点, 所以 CC1 ? 平面 ABCD ,因为 CC1 ∥ DD1 ,所以 DD1 ? 平面 ABCD , …………6 分

过 D 在底面 ABCD 中作 DM ? AD , 所以 DA ,DM ,DD1 两两垂直, 以 DA ,DM ,DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,如图建立空间直角坐标系, 则 D ( 0 , 0 , 0) , A( 4 , 0 , 0) , B ( 4 , 2 , 0) , C (3 , 2 , 0) , C1 (3 , 2 , 2 ) ,

D1 (0 , 0 , 2 ) ,
则 AC1 ? (?1 , 2 , 2 ) , AD1 ? (?4 , 0 , 2 ) , 设平面 AC1D1 的一个法向量 m ? ( x , y , z ) ,

高三数学试卷(理科)

第 12 页 (共 10 页)(三)

由?

? ?? x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? m ? AC1 ? 0 ,即 ? , ? 4 x ? 2 z ? 0 ? m ? AD ? 0 ? 1 ? 1

取 x ? 2 ,得 m ? ( 2 , ? 3 , 4 ) , 平面 ADD1 的法向量 n ? ( 0 , 1 , 0 ) , 所以 cos ? m, n ??

m?n 3 29 , ?? m?n 29
3 29 . 29
…………9 分

即平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为

(Ⅲ)解:设 DP ? ? DC1 (? ? (0 , 1) ,所以 P (3? , 2? , 2 ? ) , 所以 BC1 ? (?1, 0 , 2) , CP ? (3? ? 3 , 2 ? - 2 , 2 ? ) , 若 BC1 ? CP ,则 BC1 ? CP ? 0 ,解得 ? ? ?3 , 这与 0 ? ? ? 1 矛盾,所以直线 BC1 与直线 CP 不可能垂直. (18)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为椭圆 E 的焦点在 x 轴上且焦距为 1 , …………12 分 …………13 分

5 1 ,解得 a 2 ? , 8 4 2 2 8x 8y ? ?1 . 椭圆 E 的方程为 5 3
所以 2a 2 ? 1 ? (Ⅱ)解:设 P( x0 , y0 ) , F1 ( ?c , 0 ) , F2 (c , 0 ) ,其中 c ? 2a 2 ? 1 , 由题意, x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F1P ?

…………2 分 …………4 分

y0 y0 ,直线 F2 P 的斜率 k F2 P ? , x0 ? c x0 ? c

故直线 F2 P 的方程为 y ?

y0 ( x ? c) , x0 ? c
…………7 分

当 x ? 0 时, y ?

cy 0 cy 0 ), ,即点 Q 的坐标为 ( 0 , c ? x0 c ? x0

高三数学试卷(理科)

第 13 页 (共 10 页)(三)

因此直线 F1Q 的斜率为 k F1Q ?

y0 , c ? x0 y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0

…………8 分

因为 F1P ? F1Q ,所以 k F1P ? k F1Q ? 化简得 y0 ? x0 ? (2a 2 ? 1) ,
2 2

…………10 分

代入椭圆方程,因为点 P 是椭圆 E 上第一象限内的点, 所以 x0 ? a 2 , y0 ? 1 ? a 2 , 即点 P 在定直线 x ? y ? 1 ? 0 上. (19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:由题意, …………12 分 …………13 分

1 2 1 1 ? ? 1 ,所以 ? 1 ? 2( ? 1) , n ? 2 , an an ?1 an an ?1

1 ?1 an 1 1 ? 2 ,而 a1 ? ,则 ? 1 ? 2 , 所以 1 a 3 1 ?1 an ?1
因此数列 {

…………2 分

1 ? 1} 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, an
…………4 分

1 1 ? 1 ? 2 n ,即 an ? . an 1 ? 2n

(Ⅱ)解:由 n ? N * 时,不等式 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??(1 ? an ) ? ? ? 2n 恒成立,

1 ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??(1 ? an ) ? ? , 2n 1 令 bn ? n ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?? (1 ? an ) , 2
得 则

…………5 分

bn ?1 1 1 6 1 1 1 ? (1 ? ) ,又 1 ? 单调递减,得 1 ? ? , ?1? n ?1 n ?1 n ?1 2 bn 2 1? 2 5 1? 2 1? 2 1? 2 bn ?1 1 1 3 ? (1 ? ) ? ? 1 ,即 bn ? bn ?1 , n ?1 bn 2 1? 2 5
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所以

所以数列 {bn } 单调递减,有 (bn ) max ? b1 ?

2 2 1 1 ? (1 ? ) ? ,则 ? ? , 1 3 3 2 1? 2
…………9 分

2 因此 ? 的取值范围是 [ , ? ? ) . 3
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知 an ?

1 1 1 ? ,得 ? n n 2(1 ? 2 n ?1 ) 1? 2 2?2
…………12 分

1 1 1 an ? an?1 ? 2 an?2 ? ? ? n?1 a1 , 2 2 2
1 1 1 1 1 2 n ? 2 (1 ? 1 ) , 所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? (1 ? ? ? ? n?1 ) ? ? 3 1? 1 3 2 3 2 2n 2 1?
所以 Sn ? (1 ?

2 3

1 ). 2n

…………14 分

(20)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 x ? [?e, 0) ,则 ? x ? (0, e] ,所以 f (? x) ? ? ax ? ln(? x) , 又因为 f ( x) 是定义在 [?e, 0) ? (0, e] 上的奇函数,所以 f ( x) ? ? f ( ? x) ? ax ? ln(? x) ,

?ax ? ln(? x) x ? [ ?e,0) 故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? . ? ax ? ln x x ? (0, e]
(Ⅱ)证明:当 x ? [?e, 0) 且 a ? ?1 时,

…………3 分

f ( x) ? ? x ? ln(? x) , g ( x) ?
因为 f ?( x) ? ?1 ?

1 x ?1 , ?? x x

ln(? x) 1 ln(? x) ,设 h( x) ? ? , ?x ?x 2

所以当 ?e ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减; 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增, 所以 f ( x) min ? f ( ?1) ? 1 ? 0 , 又因为 h?( x) ?

ln(? x) ? 1 , x2

所以当 ?e ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 单调递减,
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所以 h( x) max ? h(?e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x) min , e 2 2 2

所以当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) ? h( x), 即 f ( x) ? g ( x) ?

1 . 2

…………8 分

(Ⅲ)解:假设存在实数 a ,使得当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) ? ax ? ln(? x) 有最小值是 3 , 则 f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 , ? x x

…………9 分

(ⅰ)当 a ? 0 , x ? [?e, 0) 时, f ?( x) ? ?

1 ? 0 . f ( x) 在区间 [?e, 0) 上单调递增, x

f ( x) min ? f (?e) ? ?1 ,不满足最小值是 3 ,
(ⅱ)当 a ? 0 , x ? [?e, 0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [?e, 0) 上单调递增,

f ( x) min ? f (?e) ? ? ae ? 1 ? 0 ,也不满足最小值是 3 ,
(ⅲ) 当?

1 1 ? a ? 0 ,由于 x ? [?e, 0) ,则 f ?( x) ? a ? ? 0 ,故函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) e x

是 [?e, 0) 上的增函数,

4 1 ? ? (舍去), e e 1 1 1 (ⅳ) 当 a ? ? 时, 则当 ?e ? x ? 时,f ?( x) ? a ? ? 0 , 此时函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) e a x 1 1 是减函数;当 ? x ? 0 时, f ?( x) ? a ? ? 0 ,此时函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是增函数, a x
所以 f ( x) min ? f (?e) ? ? ae ? 1 ? 3 ,解得 a ? ? 所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln(? ) ? 3 ,解得 a ? ?e 2 , 综上可知,存在实数 a ? ?e 2 ,使得当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) 有最小值 3 .

1 a

1 a

…………13 分 …………14 分

高三数学试卷(理科)

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