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广东省东莞实验中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题


2014—2015 学年度第二学期期中考试 高一年级 数学学科 试卷

考试时间:120 分钟

满分:150 分)

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。)
1. sin 330? 等于 A. ? ( B. ? )

>
3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2
( )

2.点 A(sin? , cos? ) 在第二象限,则角 ? 在直角坐标平面上位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知角 ? 终边上一点 P(?4,3) ,则 sina ? A.

( C.



4. 在△ABC 中,若 sinAcosB ? 1 - cosAsinB ,则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形

3 5

B.

4 5

?

4 5

D. ?

4 3
( )

C.钝角三角形

D.无法判定 )

5. 函数 y ? cos x 的图象向左平移 A. ? sin x
2

? 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 则 g ( x) 的解析式为 ( 2
C. ? cos x D. cos x ( B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

B. sin x

6. 函数 y ? (sin x ? cos x) ?1 是 A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数



7. 若向量 a ? (3, m) , b ? (2,?1) , a ? b ? 0 ,则实数 m 的值为 A. ?

?

?

? ?

( D. 6

)

3 2

B.

3 2

C. 2

8. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) ( A ? 0, ? ? 0 ? ? A. y ? sin( x ?

?
2

) 的图像如右图所示,则





?
6

)

B. y ? sin( 2 x ?

?
3

) )
1

C. y ? ? sin( 2 x ?

?
6

)

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

9.已知扇形的周长为 30 ,当扇形的面积最大时,则它的半径 R 和圆心角 ? 的值分别为 A. 5,1 B. 5,2 C.





15 ,2 2 ? ? ? ? 10. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令 a ⊙ b ? mq? np ,
D. 下面说法错误的是 A.若 a 与 b 共线,则 a ⊙ b ? 0 C.对任意的λ ∈R,有 (?a ) ⊙ b ? ? (a ⊙ b ) ( )

15 ,1 2

?

?

?

?

B. a ⊙ b ? b ⊙ a

?

?

?

?
?
? ?

?

?

?

?

2 2 D. (a ⊙ b ) 2 + (a · b ) 2 ? a ? b

?

?

?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。)
11. 若 sin ? ?

4 ,且 ? 是第二象限角,则 tan ? 的值等于 5
.

.

12. sin 75? cos105? ? sin105? sin15? 的值等于

13. 已知平面向量 a ? (1,?3) , b ? (4,?2) ,若 ? a + b 与 a 垂直, ? ?
14. 已知函数 f ( x ) ?

?

?

?

?

?

.

2 3 sin( 2 x ? ? ) ,其中 x ? R ,则下列说法正确的序号为 3



① 函数 f ( x ) 的最小正周期为 ② 函数 f ( x ) 的振幅为 3 ;

? ; 2

③ 函数的图像是由 y ? 3 sin 2x 图像向右平移 ④ 函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为 ?

? ? 7? ? , . ?12 12 ? ?

2? ; 3

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。)
? ? ? ? ? ? ? 15.(本小题满分 12 分)已知 a ? ? 3, ?4? , b ? ? 2, x ? , c ? ? 2, y ? ,且 a // b , a ? c ,求
? ? ⑴b?c ;
? ? ⑵ b 、 c 的夹角;
(3) b ? c .

?

?

16.(本小题满分 12 分)已知过点 A ( 3,1) 和 B (5,12) ,以 x 轴正半轴为始边按照逆时针旋转所形成的最 小正角分别为 ? , ? . (1)求 sin ? 和 cos ? ; (2)求 sin(2? ? ? ) .
2

17. (本小题满分 14 分)已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? (1) sin 2 ? ? sin ? ? cos? ? 2 tan? ;

3 .求: 5

?? ? sin ? ? ? ? 4? ? (2) 的值. cos ? 2? ? 4? ?

18.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=sinx + sin ( (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 的最大值,并指出此时 x 的值; (3)求函数的单调递增区间。

?
2

? x),x ? R.

3

19.(本小题满分14分)已知向量 a ? (sin

?

? x x ? ? ,?1), b ? ( 3 , cos ) ,且函数 f ( x) 满足 f ( x) ? a ? b . 3 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( ? ) 的值;

5 4

(3)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

20. (本小题满分 14 分)函数 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 ? ? 一段图象如图所示. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

?
2

)的

? 个单位,得到 y ? g ( x) 的图象,求直线 y ? 6 与函数 4

y ? f ( x) ? g ( x) 的图象在 (0, ? ) 内所有交点的坐标.

2014—2015 学年度第二学期期中考试
一、选择题:BDABA DDBDB

二、填空题:11. ?

4 3

12. ?

1 2

13. ? 1

14.②④

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

? 8 ? ? ? 2 ? x ? x ? ? 8 ?b ? ( 2 , ? ) .......2 分 ? a // b 15.解:(1) 3 ?4 3 3

4

3 ? 3 ? ? ? ? ? a ? c ? a ? c ? 0 ? y ? ? c ? (2, ) ........4 分 2 2
? ? 8 3 ?b ? c ? 2 ? 2 ? ? ? 0 3 2
..........6 分

? ? ? ? b ?c ? cos ? b ? c ?? ? ? ? 0 (2) b ?c

? ? ?b 与c的夹角为 90?
? 3 ? 8 )得 b ? (2,? ) , c ? (2, ) (3)由(1 2 3

..........8 分

? ? 8 3 7 ? b ? c ? (2 ? 2,? ? ) ? (4,? ) 3 2 6

..........10 分

? ? 7 25 ? b ? c ? 4 2 ? (? ) 2 ? 6 6
(采用其他方法做对,酌情给分!) 16.解:(1)由三角函数定义知

...........12 分

sin ? ?

1 ( 3) 2 ? 12

?

1 2
?
2

, cos ?

?

5 52 ? 122

?

5 ......4分 13
.......5分

(2)由题意知 0 ? ? , ? ?



cos? ? 1 ? sin 2 ? ?
同理 sin ? ? 12 13

3 2

5

? sin 2? ? 2 sin ? cos? ?
? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 7 8

3 2

........8分

sin(2? ? ? ) ? sin 2? ? cos ? ? cos2? ? sin ?
? 3 5 7 12 5 3 ? 21 ? ? ? ? ......12分 2 13 8 13 26

17. 解:由于 cos ? ?

3 ,且 ? 是第一象限的角,所以有 5

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

4 , 5

????2 分

tan ? ?
从而有

sin ? 4 ? . cos ? 3

????4 分

(1) sin 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 2 tan ? ? ( ) 2 ?

4 5

4 3 4 212 ? ? 2? ? . 5 5 3 75

????8 分

? 2 sin(? ? ) (cos? ? sin ? ) 4 2 (2) = cos(2? ? 4? ) cos 2?
2 (cos? ? sin ? ) 2 1 ? 2 2 ? ? 2 2 cos? ? sin ? cos ? ? sin ?
=

???10 分

2 1 5 2 ? ?? 2 3 4 2 ? 5 5

???14 分

18.解:

f (x)=sinx +sin(

?
2

? x)=sinx +cosx = 2(

2 2 ? sin x+ cosx)= 2 sin (x+ ) 2 2 4
6

.....4 分

(1)最小正周期: T =2? (2) f (x) 的最大值为 2 ,此时 x +

.....6 分

?
4

=

?
2

+2k? ,即 x =

?
4

+2k? ,k ? Z 。

.....10 分

(3)由 ?

?
2

+2k? ? x +

?
4

?

?
2

+2k? 得 ?

3? ? +2k? ? x ? +2k? 4 4
.....14 分

增区间为 ? 2k? ?

? ?

3? ?? ,2k? + ? k ? Z 4 4?

19.解:(1) f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R

1 3

?

6

.....4 分 .....6 分

(2) f ( (3)

; ? 5? 1 5 ? ) ? 2sin( ? ? ? ) ? 2 sin ? 2 4 3 4 6 4

?

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5
2

......10 分

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?

4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

.......12 分

故 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 12 5 4 56 ? ? ? ? . 5 13 13 5 65

.......14 分

20. 解

(1)由题图知 A ? 2, T ? ? , 于是 ? ?

2? ?2, T

将 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移

? 个单位长度, 12
7

得 y ? 2 sin(2 x ? ? ) 的图象. 于是 ? ? 2 ?

?
12

?

?
6

,∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) . .....5 分

(2)依题意得 g ( x) ? 2 sin[ 2( x ?

?
4

)?

?

] ? ?2 cos( 2 x ? ) . 6 6

?

故 y ? f ( x) ? g ( x) ? 2 sin( 2 x ? . 由 2 2 sin( 2 x ?

?

) ? 2 cos( 2 x ? ) 6 6

?

?
12

) ? 6 ,得 sin(2 x ?

?
12

)?

3 . .....8 分 2

?0 ? x ? ?

??

?
12

? 2x ?

?
12

? 2? ?

?
12
? 2? ,.....12 分 3

∴ 2x ?

?
12

?

?
3

或 2x ?

?
12

∴x

?

5? 3? 3 或x ? x=8π, 24 8

∴所求交点坐标为 (

5? 3? , 6 ) 或 ( , 6 ) ......14 分 24 8

8


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