当前位置:首页 >> 理学 >>

江苏省海门中学2013届高三开学检测数学试题


江苏省海门中学 2013 届开学检测 数学试卷 2012.9
. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ??1,0,1, 2,3? ,则 ? ?U A ? ? B ? 2.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? ? z ? ?i ,则 z 的模为 3.已知
1 1 ? ? 2 ,则 a ? log 2 a log3 a




98 210


8 9
3 37 ?9



4.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中 一个数字被污损,则乙的平均成绩超过甲的概率为 5.若双曲线 x2 ? .

第 4 题图

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是 k



6. 如图所示的 “双塔” 形立体建筑, 已知 P ? ABD 和 Q ? CBD 是两个高相等的正三棱锥, 四 点 A, B, C, D 在 同 一 平 面 内 . 要 使 塔 尖 P, Q 之 间 的 距 离 为 50 m , 则 底 边 AB 的 长 为 m.

P

Q

D A
C

I←2 S←0 While I<m S←S+I I←I+3 End While Print S End (第 7 题图)

B
第 6 题图

7.下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ? ? ? 2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为 8.向量 a ? (cos10? ,sin10? ), b ? (cos70? ,sin 70? ) , a ? 2b = .



9.对于函数 y ? f ( x) ,若存在区间 [a, b] ,当 x ? [ a, b] 时的值域为 [ka, kb] (k ? 0) ,则称
y ? f ( x) 为 k 倍值函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是

10.函数 y ? 1 ? 11.已知半椭圆

sin x ( x ? R) 的最大值与最小值之和为 x ? x2 ? 1
4

y 2 x2 ? ? 1? y ? 0, a ? b ? 0 ? 和半圆 x 2 ? y 2 ? b2 ? y ? 0 ? 组成的曲线 C 如图所 a 2 b2

示.曲线 C 交 x 轴于点 A, B ,交 y 轴于点 G, H ,点 M 是半圆上异于 A, B 的任意一点,当点

M 位于点 (

6 3 , ? ) 时, ?AGM 的面积最大,则半椭圆的方程为 3 3 y



G

D E

A

O
?

B M

x
A B

H 第 11 题图

C 第 12 题图

12.已知 | AB |? 3 ,C 是线段 AB 上异于 A,B 的一点, ?ADC , ?BCE 均为等边三角形,则

?CDE 的外接圆的半径的最小值是



?2 x ? y ? 0 ? 2 2 2 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y ) 恒成立,则实数 a ?y ? 4 ? 0 ?
的最小值是 .

14.设等比数列 ?an ? 满足公比 q ? N *, an ? N * ,且 ?an ? 中的任意两项之积也是该数列中的一 项,若 a1

? 281 ,则 q 的所有可能取值的集合为



二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ?, 且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 . 2 2 2 13 (1)求 cos? 的值; (2)证明: sin ? ? 5 . 13

16. (本题满分 14 分) 如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD , AE ? 平面 CDE ,



B A

AB ? 2 AE .
(1)求证: AB // 平面 CDE ; (2)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ;

C

E

D (第 16 题图)
17. (本小题满分 14 分) 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产
?1,1 ? x ? 20 ? x ? N *? , ? 品期间第 x 个月的利润函数 f ? x ? ? ? 1 (单位:万元) .为了获得更多 ? x, 21 ? x ? 60 ? x ? N *? ?10

的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 x 个月的利润率为
g ? x? ?
f ? 3? 第x个月的利润 ,例如 g ? 3? ? . 81 ? f ?1? ? f ? 2 ? 第x个月的资金总和

(1)求 g ?10 ? ; (2)求第 x 个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且圆 C: a 2 b2 x 2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点.
已知椭圆 (1)求椭圆标准的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为α,直线 PF1 的倾斜角为β,当β-α= 时, 3 证明:点 P 在一定圆上; (3)设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件(2)的情形下证明: PQ ? PF1 + PF2 .

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ( t 为常数,且 t ? 0, t ? 1 ) .

(1)求 ?an ? 的通项公式;
2 (2)设 bn ? an ? Sn ? an ,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 t 的值;

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn ? 4an ? 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式
12k ? 2n ? 7 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4 ? n ? Tn

20. (本小题满分 16 分) 己知函数 f ( x) ? (mx ? n)e? x ( m, n ? R , e 是自然对数的底) . (1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ( x) 单调区间; 1 (2)① 当 n ? ?1 , m?R 时,若对于任意 x ? [ , 2] ,都有 f ( x)≥ x 恒成立,求实数 m 的最 2 小值; ② 当 m ? n ? 1时,设函数 g ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e? x (t ? R) ,是否存在实数 a, b, c ?[0,1] , 使得 g (a) ? g (b) ? g (c)? 若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

数学试卷附加题
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 卡指定区域内做答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. B. (选修 4-2:矩阵与变换) 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量;

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. (2)求逆矩阵 M 以及椭圆 4 9
?1

C.(选修 4-4:参数方程) 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为 (1,-5),点 M 的极坐标为(4,

π
2

),若直线 l 过点 P,且倾斜角为

? ,圆 C 以 3

M 为圆心、4 为半径. (1)求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

22.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,通项公式为 an ?

n ? S2 n , ? 1 1 , f ( n) ? ? , n ? S2 n ? S n ?1 ,n ? 2

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f (n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

23. 如图所示, 某城市有南北街道和东西街道各 n ? 1 条, 一邮递员从该城市西北角的邮局 A

出发,送信到东南角 B 地,要求所走路程最短. (1)求该邮递员途径 C 地的概率 f (n) ; (2)求证: 2 ? ? 2 f (n) ?
2 n ?1

? 3 , n? N * ). (

A

?

?C ?B

数学参考答案
1. ??1, 0,1? 【解析】由 ?U A ? ? x | x ? 2? ,得 ? ?U A ? ? B ? ??1, 0,1? .
2 2 【解析】因为 z ? z ,所以两边同时取模可得 z ? . 2 2 1 1 3. 6 【解析】由 ? ? log a 2 ? log a 3 ? log a 6 ? 2 ,知 a 2 ? 6 ,因为 a ? 0 ,所以 log 2 a log3 a

2.

a? 6.

4.

1 【解析】由图示可知,甲的平均成绩为 90,若要符合题意,被污损的数字只能是 9, 10 1 . 10

故所求概率为

5. 8 【解析】显然, k ? 0 ,双曲线的渐近线方程为 y ? ? k x ,焦点坐标是 ? k ? 1, 0 ,

?

?

由距离公式,得 k ? 8 . 6. 50 3 【解析】由正三棱锥的概念知,顶点 P, Q 在底面的射影分别是正三角形 ABD 和正 三角形 BCD 的中心,因为高相等,所以塔尖 P, Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距 离,由平面几何易知,底边 AB 的长为 50 3 . 7. 2015【解析】由伪代码知,这是当型循环结构的算法,由于 m 是正整数,所以最大值 为 2015. 8. 3 9.∵ f ?( x) ?
?ln a ? a ? ka, 1 ? 1 ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ∴ ? x ?ln b ? b ? kb,

即 a, b 是方程 ln x ? x ? kx 的两个不等的正实数根,问题等价于方程 k ? 1 ? 不等的正根. 设 g ( x) ?
ln x 1 1 ,易得 0 ? k ? 1 ? ,∴ (1,1 ? ) . x e e

ln x 有两个 x

10.2【解析】 g ( x) ? 11.
(

sin x 是奇函数,奇函数的最大值与最小值之和为 0, x ? x2 ? 1
4

y2 6 3 ? x2 ? 1? y ? 0? 【解析】由点 ( , ? ) 在半圆上,所以 b ? 1 ,而当点 M 位于点 3 3 2

6 3 ,? ) 3 3

时, ?AGM 的面积最大可知, OM ? AG ,即 kOM ? kAG ? ?1 , a ? 2 ,所以半椭圆的方程为
y2 ? x2 ? 1? y ? 0? . 2

12.设 AC ? m, CB ? n, 则 m ? n ? 3 ,在 ?CDE 中,由余弦定理, 知 DE ? CD ? CE ? 2CD ? CE cos ?DCE
2 2 2

? m2 ? n2 ? mn ? (m ? n)2 ? 3mn ? 9 ? 3mn
又 mn ? (

m?n 2 9 3 3 ,所以 DE ? , ) ? , 当且仅当 m ? n ? 时,取“=” 2 2 4 2
DE DE 3 ? ? . 2sin ?DCE 2 3

又 ?CDE 的外接圆的半径 R ?

13. ?281 , 227 , 29 , 23 , 2? 【解析】由题意, an ? 281 q n ?1 ,设该数列中的任意两项为 am , al ,它们 的积为 a p ,

81

则 am ? al ? a p ,即 281 q m?1 ? 281 ql ?1 ? 281q p ? 1,? q, m, l , p ? N * ,? q ? 2 p ? m ? l ?1 ,故 p ? m ? l ? 1 必 是 81 的正 约数 ,即 p ? m ? l ? 1 的 可 能取 值为 1,3,9,27,81, 即 1,3,9,27,81,所以
81 p ? m ? l ?1

的 可能 取值 为

q 的所有可能取值的集合为 ?281 , 227 , 29 , 23 , 2? .
2 ? x ? y ? ? ? x 2 ? y 2 ? ? 2 xy ? 1 ? 2 . 9 14. 【解析】则 a ? 2 x y x ? y2 x2 ? y 2 5 ? y x



1 ? 5 17 ? y ,则 ? t (表斜率) t ? ? 2 , 4 ? ,则 t ? ? ? , ? , t ?2 4? x

? ? ? 2 ? 9 9 9 ? ? ,所以 a ? . 即 amin ? . 故 ?1 ? x y? 5 5 5 ? ? ? ? y x ?max ?
15.解:解: (1)将 tan ? ? 1 代入 tan ? ?
2 2

2 tan ? 2 得 tan ? ? 4 (4 分) 2 ? 3 1 ? tan 2

? sin ? ? 4 , ? 所以 ? cos ? 3 又 ? ? 0,π , 2 ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, ?

? ?

解得 cos ? ? 3 . 分) (6 5 (2)易得 π ? ? ? ? ? 3π ,又 sin(? ? ? ) ? 5 , 2 2 13 所以 cos ?? ? ? ? ? ? 12 , 分) (8 13 由(1)可得 sin ? ? 4 , (10 分) 5 所以 sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 3 ? ? 12 ? 4 ? 63 ? 5 . (14 分) ? ? 13 5 13 5 65 13

? ?

16. 证明: (1)正方形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 AB // 平面 CDE. 分) (6 (2)因为 AE ? 平面CDE , 且 CD ? 平面CDE , 所以 AE ? CD , 分) (8

又 正方形ABCD中, ? AD, CD 且 AE ? AD ? A ,
AE、AD ? 平面ADE , 所以 CD ? 平面ADE , (12 分) 又 CD ? 平面ABCD , 所以 平面ABCD ? 平面ADE . (14 分)

17.解: (1)依题意得 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? ? ? f ? 9 ? ? 1 ,
? g ?10 ? ? f ?10 ? ? 1 . 90

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 9 ?

--------------------------

--------4 分 (2)当 x ? 1 时, g ?1? ?
1 . 81

当 1 ? x ? 20 时, f ?1? ? f ? 2? ? ? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,则
g ? x? ? f ? x? ? 1 , 80 ? x

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 1?

而 x ? 1 也符合上式,故当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?

1 . 80 ? x
f ? x?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 20 ? ? f ? 21? ? ? ? f ? x ? 1?
1 x 2x 10 ? , ? x ? 21?? x ? 20 ? x 2 ? x ? 1600 101 ? 20

1 x 10 ? ? 81 ? 20 ? f ? 21? ? ? ? f ? x ? 1?









x



















? 1 ? 80 ? x ,1 ? x ? 20 ? .--------------------------10 分 g ? x? ? ? 2x ? , 21 ? x ? 60 ? x 2 ? x ? 1600 ?

(3)当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?

1 1 是减函数,此时 g ? x ? 的最大值为 g ?1? ? . 80 ? x 81

2x 2 2 , ? ? x ? x ? 1600 x ? 1600 x ? 1 79 x
2

当且仅当 x ?
? 2 1 ? 79 81

2 1600 ,即 x ? 40 ? N * 时, g ? x ? 有最大值为 . 79 x



?



x ? 40





g ? x?











2 79



----------------------------------13 分

即该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,其当月利润率为 分

2 .-------14 79

18.解: (1)圆 x ? y ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴交点坐标为 A(?2 3,0) , F2 ( 3, 0) ,
2 2

故 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 b ? 3 ,∴椭圆方程是:

x2 y 2 ? ?1 . 12 9

(2)设点 P(x,y) ,因为 F1 (- 3,0) F2 ( 3,0) , , 设点 P(x,y) ,则 k PF1 =tanβ=

y y , k PF =tanα= , x+ 3 x- 3
2

2π 因为β-α= ,所以 tan(β-α)=- 3. 3 tanβ-tanα -2 3y 因为 tan(β-α)= = 2 2 , 1+tanαtanβ x +y -3 -2 3y 2 2 =- 3.化简得 x +y -2y=3. x2+y2-3 2 2 所以点 P 在定圆 x +y -2y=3 上. 2 2 2 2 2 2 2 2 (3)∵PQ =x +(y-3) =x +y -6y+9,因为 x +y =3+2y,所以 PQ =12-4y. 所以 又 PF1 =(x+ 3) +y =2y+6+2 3x,PF2 =(x- 3) +y =2y+6-2 3x, 2 2 2 2 ∴2P F1×P F2=2 4(y+3) -12x =4 (y+3) -3x , 2 2 2 因为 3x =9-3y +6y,所以 2 P F1×P F2=4 4y , 2π 2π 2 2 ∵β=α+ > ,又点 P 在定圆 x +y -2y=3 上,∴y<0, 3 3 所以 2 P F1×P F2=-8y, 2 2 2 2 从而(P F1+P F2) =PF1 +2 P F1×P F2+PF2 =4y+12-8y=12-4y=PQ . 所以 PQ=PF1+PF2.
2 2 2 2 2 2

19





: (

1





n ?1





S1 ?

?

t

1

?S1?

1

?a ,



a1 ? 1 .

-----------------------------------1 分

当 n ? 2 时,由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ,即 ?1 ? t ? Sn ? ?tan ? t ,① 得, ?1 ? t ? Sn?1 ? ?tan?1 ? t ,② ① ? ②,得 ?1 ? t ? an ? ?tan ? tan ?1 ,即 an ? tan ?1 ,?
??an ? ? an ? t n .

an ? t ? n ? 2? , an ?1





















t



-----------------------------------5 分
t ?1 ? t n ? 1? t
? 1 t 2n ? t n ? 2 1? t ? 2n

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , bn ? ? t n ? ?
2

? t n , 即 bn ?

t

1



----------------------7 分
2 若数列 ?bn ? 为等比数列,则有 b2 ? b1 ? b3 ,

而 b1 ? 2t 2 , b2 ? t 3 ? 2t ? 1? , b3 ? t 4 ? 2t 2 ? t ? 1? , 故 ?t 3 ? 2t ? 1? ? ? ? 2t 2 ? ? t 4 ? 2t 2 ? t ? 1? ,解得 t ? ? ?
2

1 , 2

再将 t ? 由
b n ?1 bn

1 1 代入 bn ,得 bn ? ( )n , 2 2 1 ? ,知 ?bn ? 为等比数列, 2

?t ?

1 . 2 1 1 1 ,知 an ? ( )n ,? cn ? 4( )n ? 1 , 2 2 2
? ? ? ?n ? 4?n? 4 , 2n

-------------------------

----------10 分 (3)由 t ?

1? 1 ?1 ? 2 ? 2n ? Tn ? 4 ? 1 1? 2

由 不 等 式

12k ? 2n ? 7 4 ? n ? Tn

恒 成 立 , 得 3k ?

2n ? 7 2n

恒 成 立 ,

-----------------------------------12 分 设 dn ?
2n ? 7 2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ,由 dn ?1 ? dn ? n ?1 ? , ? n 2 2 2n 2n ?1

?



n?4





d n ?1 ? d n





n?4





d n ?1 ? d n



-----------------------------------14 分 而 d4 ?
? 3k ? 1 3 , d5 ? ,? d4 ? d5 , 16 32 3 1 . ,? k ? 32 32

-----------------------

------------16 分
me x ? (mx ? n)e x ?mx ? (m ? n) , ? (e x )2 ex ∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 , 2 1 m ? n 2 ?n 1 ∴ f (1) ? , f ?(1) ? ? ,即 ? , ? ? ,解得 m ? 1, n ? 1 . e e e e e e x ?1 x ∴ f ( x) ? x , f ?( x) ? ? x , e e 当 x ? 0, f ?( x) ? 0 , x ? 0, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,在 (??,0) 单调递增. mx ? 1 1 (2)①由 n ? ?1, m ?R , x ≥ x ,即 m≥e x ? , e x

20. (1)由题意 f ?( x) ?

1 1 1 对于任意 x ? [ , 2] , 都有 f ( x)≥ x 恒成立, 等价于 m≥e x ? 对于任意 x ? [ , 2] 恒成立. 2 x 2 1 1 记 ? ( x) ? e x ? , ? ?( x) ? e x ? 2 , x x 1 2 1 1 1 设 h( x) ? e x ? 2 ,∵ h?( x) ? ex ? 3 ? 0 对 x ? [ , 2] 恒成立,∴ h( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 单 x x 2 x 2 调递增. 1 1 1 1 而 h( ) ? e ? 4 ? 0, h(2) ? e2 ? ? 0 ,∴ ? ?( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 上有唯一零点 x0 , 2 4 x 2 1 1 ∴ x ? ( , x0 ) , ? ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , 2) , ? ?( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 ( , x0 ) 单调递减,在 ( x0 , 2) 2 2 上单调递增, 1 ∴ ? ( x) 的最大值是 ? ( ) 和 ? (2) 中的较大的一个, 2 ?m≥ e ? 2, 1 ? 1 1 ?m≥? ( ), ? 2 2 ∴? 2 即? 1 ∴ m≥e ? ,∴m 的最小值为 e ? . 2 2 2 ? m≥ e ? , ?m≥? (2), ? ? 2 ② 假 设 存 在 a、b、c ?[0,1] , 使 得 g (a) ? g (b) ? g (c) , 则 问 题 等 价 于

2( g ( x))min ? ( g ( x)) max .

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) ,∴ g '( x) ? . x e ex ①当 t≥1 时, g ?( x) ≤0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递减, 3?t e ∴ 2 g (1) ? g (0) ,即 2 ? ? 1 ,得 t ? 3 ? ? 1 . e 2 ②当 t≤ 0 时, g ?( x)≥0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 3?t ∴ 2 g (0) ? g (1) ,即 2 ? ,得 t ? 3 ? 2e ? 0 . e ③当 0 ? t ? 1 时, x ? [0, t ) 上,g '( x) ? 0 ,g ( x) 在 [0, t ) 上单调递减, x ? (t ,1] 上, 在 在 g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (t ,1] 上 单 调 递 增 , ∴ 2 g (t ) ? max{g (0), g (1)} , 即 t ?1 3?t (*) 2 ? t ? max{1, }. e e t ?1 t ?1 4 3?t 3 由(1)知 f (t ) ? t 在 t ? [0,1] 上单调递减,故 2 ? t ≥ ,而 ? ,不等式 e e e e e Q g ( x) ?
(*)无解. 综上所述,存在 t ? (??,3 ? 2e) U (3 ? B. (1)由条件得矩阵 M ? ?

e , ??) ,使得命题成立. 2

?2 ?0

0? , 3? ?

?1 ?2 ?1 ? ? 0 ? ?1 它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ; (2) M ? ? ? 0 ? ?1 ? ?0 ? ?

? 0? ?, 1? 3? ?

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 4 9

1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? C 解: (1)直线 l 的参数方程为 ? t, ? y ? ?5 ? 3 ? ? 2 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? .

(2)因为 M(4,

π
2

)对应的直角坐标为(0,4) ,

直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , ∴圆心到直线 l 的距离 d ? 所以直线 l 与圆 C 相离.
| 0 ? 4 ?5 ? 3 | 3 ?1 ? 9? 3 ?5, 2

22 解: (1)由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 3 ? , 2 2 1 1 1 13 f (2) ? S4 ? S1 ? ? ? ? , 2 3 4 12 1 1 1 1 19 ; ??????????3 分 f (3) ? S6 ? S2 ? ? ? ? ? 3 4 5 6 20 (2)由(Ⅰ)知 f (1) ? 1, f (2) ? 1 ;下面用数学归纳法证明: 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . ????????????????4 分 (1)由(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ;???????????????5 分 (2)假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即 1 1 1 ? ??? ? 1 ,那么 k k ?1 2k 1 1 1 1 1 f (k ? 1) ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 f (k ) ?
1 1 1 ? 1 1 1 ?1 ?? ? ? ??? ? ? ?? 2k ? 2k ? 1 2 k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?1? ? ? ??? ? ? ? 2k ? 1 2k ? ? 2k ? 2 2k ? ?1? 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ? 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) 1 1 ? ?1, 2k (2k ? 1) k (2k ? 2)

?1?

所以当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立. ???????????????8 分 由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . ??????????????9 分 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 .???????10 分

n ?1 23. (1) 解: 邮递员从该城市西北角的邮局 A 到达东南角 B 地, 要求所走路程最短共有 C2 n ? 2

n 种不同的走法,其中途径 C 地的走法有 2C 2 n 种走法,

所以邮递员途径 C 地的概率 f (n) ?

n 2C 2 n n ?1 C 2n?2

(2n)! ? (n ? 1)!? n ?1 ?2 ? ? ;???3 分 2 (n !) (2n ? 2)! 2n ? 1
2

1 ? 2(n ? 1) (2 n ?1) ?1 1 2 n ?1 ? ? ?1 ? (2)由 2 f (n) ? ,得 ? 2 f (n) ? ? ?1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2 n ?1 ? 2n ? 1 ?
要证 n? N * 时, 2 ? ? 2 f (n) ?
2 n ?1

2 n ?1



?3 ,
2 n ?1

1 ? ? 只要证 n? N * 时, 2 ? ?1 ? ? ? 2n ? 1 ?

?3,

?????????4 分

因为 n? N * 时, (2n ? 1) ? N * ,且 2n ? 1 ? 3 ,

? 1? 所以只要证 n? N ,且 n ? 3 时, 2 ? ?1 ? ? ? 3 . ? n?
*

n

?????????5 分

由于 n ? 3 时

? 1? 0 1 1 2 1 0 1 1 ?1 ? ? ? C n ? C n ? C n 2 ? ? ? C n ? C n ? 2 ,且 n n n ? n? ? 1? 0 1 1 2 1 3 1 n 1 ?1 ? ? ? C n ? C n ? C n 2 ? C n 3 ? ? ? C n n , n n n n ? n?
n

n

?????????6 分

?2?

n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(n ? 2) 1 n(n ? 1)?2 ?1 1 ? 2? ? 3 ??? ? n, 2! n 3! n 3! n 1 n n ? 1 1 n n ? 1 (n ? 2) 1 n n ?1 2 1 ?2? ? ? 2 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? , 2! n n 3! n n n n! n n n n
1 1 1 1 1 1 1 , ? ??? ? 2 ? ? ? ?? 2! 3! n! 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

?2?

1? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 .??????9 分 n ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ?
所以 2 ? ? g ( n) ? ? 3 成立,所以 2 ? ? 2 f (n) ?
n 2 n ?1

?3 .

?????????10 分


相关文章:
0173数学-江苏省海门中学2013届高三开学检测数学试题
0173数学-江苏省海门中学2013届高三开学检测数学试题 隐藏>> 江苏省海门中学 2013 届开学检测数学试卷 1.设全集 U ? R 2012.9 . 一.填空题:本大题共 14 小...
江苏省海门中学2013届高三开学检测数学试题
江苏省海门中学2013届高三开学检测数学试题_数学_高中教育_教育专区。江苏省海门中学 2013 届开学检测数学试卷 1.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2?...
数学-海门中学2013届开学检测数学试题-
数学-海门中学2013届开学检测数学试题-_高中教育_教育专区。江苏省海门中学 2013 届开学检测数学试卷 ? ? 2012.9 .一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 ...
江苏省南菁高级中学2013届高三下学期开学质量检测数学...
江苏省海门中学2013届高三... 14页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...江苏省南菁高级中学2013届高三下学期开学质量检测数学试题 隐藏>> 江苏省南菁高级...
江苏省海门中学2013届高三5月月考数学试卷
江苏省海门中学2013届高三5月月考数学试卷_数学_高中教育_教育专区。高考前名校三模江苏省海门中学 2013 届高三 5 月月考数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题...
江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷...
江苏省南通市海门中学 2013 届高三下学期 5 月月考数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ...上...
江苏省海门中学2013届高三数学高考考前指导
江苏省海门中学高三数学考前指导(二)——考前讲话 2013.06.04 江苏省海门中学 2013 届高三数学高考考前指导 2013.06.03 高考是以学生解题能力的高低为标准的一次...
江苏省海门中学2013届高三下学期4月调研考试数学
江苏省海门中学2013届高三下学期4月调研考试数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省海门中学高三数学调研考试 数学 I 1.设 a, b ? R , 2013.04.27 ...
江苏省南京九中2013届高三10月月考数学试卷
江苏省海门中学2013届开学... 14页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...南京九中 2013 届高三十月月考数学试卷说明:本卷考试时间 120 分钟,满分 160 ...
江苏省海门中学2013届高三下学期4月调研考试数学I2013....
江苏省海门中学2013届高三下学期4月调研考试数学I2013.04.27_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省海门中学高三数学调研考试 数学 I 1.设 a, b ? R , ...
更多相关标签: