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昌乐二中版所有函数导学案


高一导学案

编号:

编制人:严 彬

刘 刚

钟 海 昌

审核人:

课时 17

指数与指数幂的运算(1)

【使用说明和学法指导】 1. 先预习课本,然后开始做导学案; 2. 按照学习提纲,通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出 n 次方根的概 念,进而学习根式的性质; 3. 带 ? 号的 C 层同学不做,带(附加)的 B,C 层可以不做。 【重点难点】 :根式概念的理解和根式的运算性质应用 【学习目标】 1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质. 一.自学提纲 1.正方形面积公式为 ;正方体的体积公式为 。 2. (初中根式的概念) 如果一个数的平方等于 a, 那么这个数叫做 a 的 , 记作 ; 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的 ,记作 。 n * 3.一般地,若 x ? a ,那么 x 叫做 ( n th root ),其中 n ? 1 , n ? N 。 a 的 n 次方根 用 n a 表示。 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 。 4.负数没有 次方根;0 的任何次方根都是 ,即 n 0 ? 0 。 试试: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b 3 ? a ,则 a 的 3 次方根为 。 5.像 的式子就叫做根式(radical) ,这里 叫做根指数(radical exponent) 叫做被开方数 , (radicand). 6.从特殊到一般, (n a) n 、 n a n 的意义及结果? 结论: (n a ) n ? a 。当 n 是 时, n a n ? a ;当 n 是 时, n a n ? a ? ?

? a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

二.探究、合作、展示 问题 1:国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国未来 20 年 GDP(国内生产总值)年平均增长 率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍? 问题 2:生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含

1 量 P 与死亡时碳 14 关系为 P ? ( ) 5730 。 探究该式意义? 2

t

方法规律总结: 例 1、求下类各式的值: (1)
3

(?a)3

(2)

4

(?7)4

(3) 6 (3 ? ? )6

(4)

2

(a ? b)2 ( a ? b )

领导签字:

使用时间:

班级:

姓名:

小组:

等级:

变式:计算或化简下列各式. (1) 5 ?32 (2)
2

34

5 2 (3) ( 2 ?b )2 (4) 5 (3 ? ? ) (5) 2 ( a ? b)

方法规律总结: 例 2 、计算下列各式的值:
n (1) (3 a ) 3 (2) n (3 ? ? )

( n ? 1 ,且 n ? N ) (3) 2 n ( x ? y )

?

2n

( n ? 1 ,且 n ? N )

?

方法规律总结: 例 3、化简 (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 (2) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 .

方法规律总结: 当堂练习: 1.
4

(?3)4 的值是(

) 。 D. 81 D. 25

A. 3 B. -3 C. ? 3 2. 625 的 4 次方根是( ) 。 A. 5 B. -5 C. ±5 3. 化简 ( ?b ) 是(
2 2

) 。 C. ? b 。 ; 2 34 。 D.

A. ?b

B. b

1 b

4. 化简 6 (a ? b)6 = 5. 计算: ( 3 ?5)3 = 巩固训练:

4 3 3 4 3 1.计算: (1) 3 (?8) ? 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3) (2) 3 (3a ? 3) ( a ? 1) (3) 4 (3a ? 3)

2. 若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围 。

3. (1)计算: 4 ? 2 3 三.课堂小结 1.知识方面: 2.方法与数学思想:

3 ? 5 (2)化简: x ? 2 x ? 1

高一导学案

编号:

编制人:严 彬

刘 刚

钟 海 昌

审核人:

课时 18

指数与指数幂的运算(2)

【使用说明和学法指导】 1.先预习课本,然后开始做导学案; 2.针对学习提纲,得出分数指数幂的概念,认识根式与分数指数幂实质是相同的。并能熟练应用 有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化; 3.带 ? 号的 C 层同学不做,带(附加)的 B,C 层可以不做。 【重点难点】 :分数指数幂概念的理解;运用有理指数幂性质进行化简、求值。 【学习目标】 1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的互化; 3. 掌握有理数指数幂的运算。 一.自学提纲 1.一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的
n

,其中 n ? 1 , n ? N 。 简记为:
*

。 ;


n

n

a 的式子就叫做

m n

, 具 有 如 下 运 算 性 质 : ( a) = ; (ab) n = (3) 。

n

n

an =

2. 整数指数幂的运算性质: a ? a ? (1) ; (a m ) n = (2) 3.规定正分数指数幂如下 ;规定负分数指数幂如下 4.① 0 的正分数指数幂为 ;0 的负分数指数幂为 。 ② 3 2 的结果?结合教材 P53 利用逼近的思想理解无理指数幂意义;

.

③无理数指数幂 a? (a ? 0, ?是无理数 是一个确定的实数。 分数指数幂有什么运算性质?有 ) 理数指数幂?无理数指数幂?实数指数幂的运算性质如何? 5.指数幂的运算性质: 二. 探究、合作、展示
2

例 1、 求值: 27 3 , 16

?

3 4

25 ? 2 3 , ( )?3 , ( ) 3 49 5

变式:化为根式

方法规律总结: 例 2 、用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b ? b
2

(2) b 3 ? 5 b 3

(3) 3 b 4 b

例 3 、计算(式中字母均正) : (1) (3a b )(?8a b ) ? (?6a b )
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(2) (m n )

1 4

3 8 16

方法规律总结:

领导签字:

使用时间:

班级:

姓名:

小组:

等级:

例 4 、计算: (1)

a3 a ? 3 a4

(a ? 0)

(2) (2m2 n 5 )10 ? (?m 2 n?3 )6 (m, n ? N ? )

?

3

1

(3) ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64

方法规律总结: 当堂练习: 1. 若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是( A. a m ? a n ? a
3 m n

) 。 D. 1 ? a n ? a 0 ? n

B. a m ? a n ? a mn C. ) 。 D. 125 ) 。
2 2

?a ?

m n

? am?n

2. 化简 25 2 的结果是( A. 5 B. 15 C. 25 3. 计算 ? ? 2 ? ? A. 2 4. 化简 27
? 2 3

?

?

?2

? 2 的结果是( ? ?

?

1

B. ? 2 =

C. 。
3m ? n 2

D. ?

2 2

5. 若 10m ? 2, 10n ? 4 ,则 10 巩固训练: 1. 化简下列各式: (1) (
36 3 )2 49

=



(2)

a2 b

b3 a a b3

1

2.把 ( x 3 ? 3 x ?2 )

?

8 5

化成分数指数幂。

3. 计算:(1) 3 3 ? 4 3 ? 4 27 (2) 6 (

8a 3 4 ) 125b 3

3

(3)
3

a 4 ? 83 ab

a 2 ? 23 ab ? 43 b 2

? (1 ? 23

b ) a

三.课堂小结 1.知识方面: 2.方法与数学思想:

高一导学案

编号:

编制人:严 彬

刘 刚

钟 海 昌

审核人:

课时 19

指数函数及其性质(1)

【使用说明和学法指导】 1.先预习课本,然后开始做导学案; 2.针对学习提纲,借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索指数函数图象特征; 3.带 ? 号的 C 层同学不做,带(附加)的 B,C 层可以不做。 【重点难点】 :指数函数的概念和图象。 【学习目标】 1. 了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; 2. 理解指数函数的概念和意义; 3. 能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质(单调性、特殊点) 。 一.自学提纲 1.零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的?
m

(1)a0 ?

; a (2)

?n

?
m

; an ? (3)
n

; (4) a

?

m n

=

其中 a ? 0, m, n ? N * , n ? 1 。

2. 有理指数幂的运算性质: a ? a ? (1) ; (a m ) n = (2) ; (ab) n = (3) 。 3. 一般地, 叫做指数函数 (exponential function) 其中 x 是自变量, , 函数的定义域为 R。 反思:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会怎样呢?举出几个生活中有关指数模型的例子? 4.在同一坐标系中画出下列函数图象: y ? 2 与y ? ( )
x
x

1 2

x

思考: (1)函数 y ? 2 与y ? ( ) 的图象有什么关系?如何由 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) 的图
x

1 2

1 2

x

象? (2) y ? 2 与y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
x x

1 2

二. 探究、合作、展示
x 例 1、函数 f ( x) ? a ( a ? 0, 且a ? 1 )的图象过点 (2, ? ) ,求 f (0) , f ( ?1) , f (1) 的值。

方法规律总结: 例 2、在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2
x?2

(2) y ? 2

?x

(3) y ? (?2) (4) y ? ?2
x

x

(5) y ? ?

x

(6) y ? x

2

(7) y ? 4 x

2

(8) y ? x

x

(9) y ? (a ?1)

x

( a >1,且 a ? 2 )

方法规律总结: 例 3、在同一坐标系下作出 y ? 5 , y ? 3 , y ? ( ) , y ? ( ) 的图象,从画出的图象中,你能发
x x x x

1 3

1 5

现函数的图象与底数间有什么样的规律?

领导签字:

使用时间:

班级:

姓名:

小组:

等级:

方法规律总结: 例 4、在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数 y= 2 的图象的关系。 ⑴ y= 2
x ?1 x

与 y= 2

x?2

⑵ y= 2

x ?1

与 y= 2

x ?2

方法规律总结: 当堂练习: 1. 函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为( A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 2. 函数 f ( x) ? a x?2 ? 1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点( A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2)

) 。 ) 。 ) 。

3. 指数函数① f ( x) ? m x ,②g ( x) ? n x 满足不等式 0 ? m ? n ? 1 ,则它们的图象是(

4. 比较大小: (?2.5) 3

2

(?2.5) 5 。

4

1 5. 函数 y ? ( ) x ? 1 的定义域为 9 巩固训练:



1. 指出下列函数哪些是指数函数: (1) y ? 4 (5) y ? ?
x

(2) y ? x

4

(3) y ? ?4 x
2

(4) y ? (?4)
x

x

x

(6) y ? 4x

(7) y ? x

(8) y ? (2a ? 1) (a ?
x

1 , 且 a ? 1) 2

2. 探究:在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域?

3.作出函数 y ? 2

1? x

的图象。

三.课堂小结 1.知识方面: 2.方法与数学思想:

高一导学案

编号:

编制人:严 彬

刘 刚

钟 海 昌

审核人:

课时 20 指数函数及其性质(2)
【使用说明和学法指导】 1.先预习课本,然后开始做导学案; 2.针对学习提纲,通过观察指数函数的图象,进而研究指数函数的性质 3.带 ? 号的 C 层同学不做,带(附加)的 B,C 层可以不做。 【重点难点】 :指数函数的概念和性质及其应用。 【学习目标】 1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 2. 掌握指数型函数的定义域、值域,会判断其单调性; 3. 培养数学应用意识. 一.自学提纲 1.指数函数的形式是 。 2.根据图象归纳指数函数的性质,其图象与性质如下 a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)奇偶性 (5) 单调性: (6)范围

性 质

二. 探究、合作、展示 例 1、 求下列函数的定义域、值域,并讨论其单调性: (1) y ? 2 ? 1
x

(2) y ? 0.3

1 x ?1

(3) y ? 3

5 x?1

变式:求函数 y ?

2 ?x ?

1 的定义域和值域,并讨论其单调性。 2

方法规律总结: 例 2、用函数单调性定义证明 a>1 时,y = ax 是增函数。 方法规律总结: 例 3、比较下列各组中两个值的大小:
0.6 0.5 (1) 2 ,2 (2) 0.9?2 ,0.9?1.5 (3) 2.10.5 ,0.52.1 变式 1:已知下列不等式,试比较 m、n 的大小:

(4) ?

2? 3

与1

领导签字:

使用时间:

班级:

姓名:

小组:

等级:

(1) ( )

2 3

m

2 ? ( ) n (2) 1.1m ? 1.1n 3
(2) 10 , 0.4?2.5 , 2 ?0.2 , 2.51.6

变式 2:比较大小: (1) a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8

方法规律总结: 例 4、截止到 1999 年底,我们人口约 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 方法规律总结: 当堂练习: 1. 如果函数 y=ax (a>0,a≠1)的图象与函数 y=bx (b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称,则有( A. a>b B. a<b C. ab=1 D. a 与 b 无确定关系 2. 函数 f(x)=3x-1 的定义域、值域分别是( ) 。 A. R, R ? B. R, (0, ??) C. R, (?1, ??) D.以上都不对 3. 设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数,则下列说法错误的是( ) 。 的图象关于 y 轴对称? B. 函数 f(x)= a (a>1)在 R 上递减 2 ?1 x 2 C. 若 a >a ,则 a>1 ? D. 若 2 >1,则 x ? 1 4. 比较下列各组数的大小: 3 ? 2 ?1 3 0.76 ? (0.4)2 ( ) 2 ( ) ( 3)0.75 5 3 5. 在同一坐标系下,函数 y=ax, y=bx, y=cx, y=dx 的图象如右图,则 a、b、 c、d、1 之间从小到大的顺序是 。 巩固训练: 1. 求指数函数 y ? 2 x
2

) 。

A. y=ax 的图象与 y= a

?x

1? x

?1

的定义域和值域,并讨论其单调性。

2. 已知下列不等式,比较 m, n 的大小。 (1) 3 ? 3
m n

(2) 0.6 ? 0.6
m

n

(3) a ? a (a ? 1) (4) a ? a (0 ? a ? 1) 3. 一片树林中现有木材 30000 m3,如果每年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 y m3,写出 x,y 间的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到 40000m3。
m n m n

三.课堂小结 1.知识方面: 2.方法与数学思想:

高一导学案

编号:

编制人:严 彬

刘 刚

钟 海 昌

审核人:

课时 21

指数函数及其性质(3)

【使用说明和学法指导】 1.先预习课本,然后开始做导学案; 2.针对学习提纲,回顾指数函数概念、图象、性质,总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧, 会运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明。 3.带 ? 号的 C 层同学不做,带(附加)的 B,C 层可以不做。 【重点难点】 :指数形式的函数图象、性质的应用,判断单调性。 【学习目标】 1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质。 2. 掌握指数形式的函数定义域、值域的求法,以及单调性、奇偶性判断; 3. 培养学生数学应用意识。 一.自学提纲 1. 判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是: (1)求出定义域,判断定义域 定义域关于原点不对称, 则该函数是 进而讨论(-x) (x) f 和 f 之间的关系。 若 函数 f(x)是定义域上的奇函数;若 数。 2.证明函数单调性的方法是: (1)在区间 D 上任取 x1<x2; (2)作差判断 f(x1)与 f(x2)的 大小:化成因式的乘积,从 x1<x2 出发去判断; (3)下结论:若 f(x1)<f(x2) ,则函数 f(x) 在区间 D 上是 函数;若 f(x1)>f(x2) ,则函数 f(x)在区间 D 上是 函数。 ; (2)若

; 若所讨论的函数的定义域关于原点对称, (3) 则函数(x) f 是定义域上的偶函数; 若 则

则函数 f(x)在定义域上既是奇函数又是偶函

3.复合函数 y=f[g(x) ]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的, u=g(x)的值域是 y=f(u) 的定义域的子集。在复合函数 y=f[g(x) ]中,x 是自变量,u 是中间变量。当 u=g(x)和 y=f (u)给定区间上增减性相同时, y=f[g(x) ]是 函数;增减性相反时,y=f[g(x) ]是 函 数。 4.指数函数增长模型: 设原有量 N,每次的增长率为 p,则经过 x 次增长后的总量 y= 。我们把形如

y ? ka x (k ? R, a ? 0, 且a ? 1) 的函数称为
二.探究、合作、展示 例题 1、 我国人口问题非常突出, 在耕地面积只占世界 7%的国土上, 却养育着 22%的世界人口. 因 此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增 长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. (1) 按照上述材料中的 1%的增长率, 2000 年起, 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? 从 x (2)从 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少?

领导签字:

使用时间:

班级:

姓名:

小组:

等级:

方法规律总结:

例题 2、当 a>1 时,判断函数 y=

ax ?1 是奇函数。 ax ?1

方法规律总结: 例题 3、求函数 y=(

1 x 2 ?2 x ) 的单调区间,并证明之。 2

变式 1:求函数 y=3 ? x

2

? 2 x ?3

的单调区间和值域。

变式 2:设 f ( x) ? a ?

2 ( x ? R ) 试证明对于任意实数 a, f (x) 为增函数。 2 ?1
x

方法规律总结: 当堂练习: 1.函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2
?2 x 2 ?8 x ?1

C、 a ?

2

D、 1 ? a ? 2

?1? 2.函数 y ? ? ? ?3?

(?3 ≤ x ≤1) 的值域是



3.设 a ? R , f ( x) ? 巩固训练:

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 2x ? 1

1.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,讨论 f ( x) ? a ? x 2. 求函数 y ?

2

?3 x ? 2

的单调性。

2x ?1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性。 2x ?1

三.课堂小结 1.知识方面: 2.方法与数学思想:

高一导学案

编号:

编制人:严 彬

刘 刚

钟 海 昌

审核人:

课时 22

指数函数限时训练

【使用说明和学法指导】 1.限时 35 分钟完成 2.通过限时练习,巩固指数函数的知识,深化认识。 3.带 ? 号的 C 层同学不做,带(附加)的 B,C 层可以不做。 1、 ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( ? ? ? ? ? ? ?
16

4

4



A、 a

B、 a

8

C、 a
b ?b

4

D、 a

2

2、若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a A、 6 B、 ?2

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(
C、 ?2 D、2



2 2 3、已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3)
a b

1 1 1 1 ? ;(4) a 3 ? b 3 ; a b

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ? 3? ? 3?
A、1 个 4、函数 y ? A、 ? ??,1?
x

a

b

) C、3 个 ) C、 ? ?1, ?? ? ) D、 (??, ?1) ? ? 0, ??? D、4 个

B、2 个

1 的值域是( 2 ?1
x

B、 ? ??,0? ? ? 0, ???

5、若方程 a -x-a=0 有两个根,则 a 的取值范围是( A、 (1,+ ? )B、 (0,1) C、 (0,+ ? ) D、 ?

6、已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过(
x



A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

7、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备的价 值为( ) A、 na(1 ? b%)
x-1

B、 a(1 ? nb%)

C、 a[1 ? (b%) ]
n

D、 a(1 ? b%)

n

8、若函数 y=3+2 的图像经过 P 点,则 P 点坐标是( A、 (5,2) B、 (3,1) C、 (2,5) D、 (1,3)



领导签字:

使用时间:

班级:

姓名:

小组:

等级:

9、直线 x=a(a>0)与函数 y=( 点从上到下的排列次序是

1 x 1 x x x ) ,y=( ) ,y=2 ,y=10 的图像依次交于 A、B、C、D 四点,则这四 3 2
。 。 。
2

10、函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是
2

11、若 f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ? 12、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a2 x
?3 x ? 2

? a2 x

2

?2 x ?3



13、已知 x ?? ?3,2? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

14、已知函数 f(x)=

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f(x)是 R 上的增函数。


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昌乐二中版所有函数导学案 (22)
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昌乐二中版所有函数导学案 (24)
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