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2016届高考数学一轮复习 4.3平面向量的数量积练习 理


第三节

平面向量的数量积

基础回 顾K 一、平面向量的数量积的定义 → → 1. 向量 a, b 的夹角: 已知两个非零向量 a, b, 过 O 点作OA=a, OB=b, 则∠AOB=θ (0° ≤θ ≤180°)叫做向量 a,b 的夹角.

当且仅当两个非零向量 a,b 同方向时,θ =0°,当且仅当 a,b 反

方向时,θ =180°, 同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的. 2.a 与 b 垂直:如果 a,b 的夹角为 90°,则称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 3.a 与 b 的数量 积:两个非零向量 a,b,它们的夹角为 θ ,则|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ ,规定 0?a=0,非零向量 a 与 b 当且仅当 a⊥b 时,θ =90°,这时 a?b=0.

? a?b? 4.b 在 a 方向上的投影:|OP|=|b|cos θ ?= |a| ?∈R(注意|OP|是射影). ? ?
5.a?b 的几何意义:a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积. 二、平面向量数量积的性质 设 a,b 是两个非零向量,e 是单位向量,于是有: 1.e?a=a?e=|a|cos θ . 2.a⊥b?a?b=0 . 3. 当 a 与 b 同向时, a?b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时, a?b=-|a||b|, 特别地, a?a 2 2 2 =a =|a| ,即|a|= a .
1

4.cos θ =

a?b . |a||b|

5.|a?b|≤|a||b|. 三、平面向量数量积的运算律 1.交换律成立:a?b=b?a. 2.对实数的结合律成立:(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b)(λ ∈R). 3.分配律成立:(a±b)?c=a?c±b?c=c?(a±b). 四、平面向量数量积的坐标表示 1.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a?b=x1x2+y1y2. 2.若 a=(x,y),则|a| =a?a=x +y ,|a|= x +y .
2 2 2 2 2

3.若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → AB =

| |

(x2-x1)

2

2 +(y2-y1) .

4.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 5.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. x1 x2 + y1 y2 6.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 cos θ = . 2 2 2 2 x1 + y1 x2 + y2

基础自 测K 1.已知向量 a=(1,2),b=(-2,1),则(λ a+b)⊥(a-λ b)的充要条件是(A) A.λ ∈R B.λ =0 C.λ =2 D.λ =±1 解析: 先求(λ a+b), (a-λ b)的坐标, 再由两向量垂直则数量积为零, 列等式求 λ .(λ a +b)=(λ -2,2λ +1),(a-λ b)=(1+2λ ,2-λ ),因为(λ a+b)⊥(a-λ b),所以(λ -2)(1+2λ )+(2λ +1)(2-λ )=0,得 λ ∈R,故选 A. 2.已知 a=(1,2),b=(0,1),c=(k,-2),若(a+2b)⊥c,则 k=(C) A.2 B.-2 C.8 D.-8 解析:∵a=(1,2),b=(0,1),∴a+2b=(1,4), 又因为(a+2b)⊥c,所以(a+2b)?c=k-8=0, 解得 k=8,故选 C. → → → → → 3.在△ABC 中,已知AB?AC=4,AB?BC=-12,则|AB|=4. b +c -a → → 2 2 2 解析:∵AB?AC=4,∴bccos A= =4,得 b +c -a =8, 2 同理 a +c -b =24,两式相加得 c =16,∴c=4.
2 2 2 2 2 2 2

|α 4. 已知平面向量 α , β ,

|=1, |β |=2, α

⊥(α -2β ), 则|2α +β

|的值是

10.

2

高考方向 1.数量积的运算、投影、模与夹角是近几年高考命题的热点. 2.常与三角函数 、三角恒等变换、解析几何等相结合考查. 3.题型主要以选择题、填空题为主,属中档题.

品 味 高 考 1.(2013?陕西卷)设 a,b 为向量,则“|a?b|=|a||b|”是“a∥b”的(C) A.充分不必要条件 B.必要 不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a?b=|a|?|b|?cos θ . 若|a?b|=|a|?|b|? cos θ =±1,则向量 a 与 b 的夹角为 0 或π ,即 a∥b 为真; 相反,若 a∥b,则向量 a 与 b 的夹角为 0 或π ,即|a?b|=|a|?|b|. → → → → → → 2. (2013?山东卷)已知向量AB与AC的夹角为 120°, 且|AB|=3, |AC|=2.若AP=λ AB+ 7 → → → AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为 . 12 → → → → 解析:由AP⊥BC知AP?BC=0, → → → → → → 即AP?BC=(λ AB+AC)?(AC-AB) 7 → → →2 →2 ? 1? =(λ -1)AB?AC-λ AB +AC =(λ -1)?3?2??- ?-λ ?9+4=0,解得 λ = . 12 ? 2? 高 考 测 验 1.已知两个非零向量 a 与 b,定义|a?b|=|a||b|sin θ ,其中 θ 为 a 与 b 的夹角.若 a=(-3,4),b=(0,2),则|a?b|的值为(D) A.-8 B.-6 C.8 D.6 a?b (-3)?0+4?2 4 解析: 由已知可得|a|=5, |b|=2, 则 cos θ = = = .∴sin θ |a||b| 5?2 5 3 3 = .∴|a?b|=|a||b|sin θ =5?2? =6.故选 D. 5 5 → → → → 2. (2014?南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知OA=(3, -1), OB=(0, 2), 若OC? AB → → =0,AC=λ OB,则实数 λ 的值为 2.

3

课时作业 1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a?b=0,则实数 m 的值为(D) 3 3 A.- B. 2 2 C.2 D.6 解析:由 a?b=3?2+m?(-1)=0,解得 m=6.故选 D. 2.已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是(D) 1 A.x=- 2 B.x=-1

C.x=5 D.x=0 解析:因为向量 a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b,所以 2(x-1)+2=0,解得 x=0.故 选 D. 3.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)?c=30,则 x=(C) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:8a-b =(8,8)-(2,5)=(6,3), (8a-b)?c=6?3+3x=30? x=4.故选 C. → → → → 4. 若圆 O 的半径为 3, 直径 AB 上一点 D 使AB=3AD, E, F 为另一直径的两个端点, 则DE? DF =(D) A.-3 B.-4 C.-6 D.-8 → → → → → → → → → → 解析:DE?DF=(DO+OE)?(DO+OF)=(DO+OE)?(DO-OE)=1-9=-8.故选 D. 5.已知向量 a=(4,3),b=(-2,1),如果向量 a+λ b 与 b 垂直,则|2a-λ b|的值 为(D) A.1 B. 5 C.5 D.5 5 解析:由题知,a+λ b=(4,3)+λ (-2,1)=(4-2λ ,3+λ ). ∵(a+λ b)⊥b, ∴(4-2λ ,3+λ )?(-2,1)=0,解得 λ =1. ∴2a-λ b=(8,6)-(-2,1)=(10 ,5). ∴|2a-λ b|= 10 +5 =5 5.故选 D. 6.定义运算|a b|=|a||b|sin θ ,其中 θ 是向量 a,b 的夹角.若|x|=2,|y|=5, x?y=-6,则|x y|=(A) A.8 B.-8 C.8 或 -8 D.6 解析:∵|x|=2,|y|=5,x?y=-6, x?y -6 3 ∴cos θ = = =- . 5 |x||y| 2?5 又 θ 是向量 a,b 的夹角, 4 ∴sin θ = . 5
4
2 2

4 ∴|x?y|=|x||y|sin θ =2?5? =8.故选 A. 5 π 7.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 3,且(3a-2b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 . 6 解析: 利用向量数量积的定义和性质求解, 由(3a-2b)⊥a 得(3a-2b)?a=3|a| -2a?b 3 3 3 3 π 2 =0? a?b= |a| = =|a|?|b|cos ? a, b ?, cos ? a, b ?= = ? ? a, b ?= . 2 2 2 6 2 3 8.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 65 . 5
2

→ → ? ?0≤OP?OB≤2, 9. 直角坐标系 xOy 中, 已知两定点 A(1, 0), B(1, 1). 动点 P(x, y)满足? → → ? ?0≤OP?OA≤1, 则点 M(x+y,x-y)构成的区域的面积等于 4. → → ? ?0≤x+y≤2, ?s=x+y, ?0≤OP?OB≤2, ? ? 解析:由? 得? 设 M(s , t) , 则 ? 解得 ?0≤x≤1, ?t=x-y, → → ? ? ? ?0≤OP?OA≤1, 1 ? ?x=2(s+t), ? ?0≤x+y≤2, ? ?0≤s+t≤2, 由? 得? 作出不等式组对应的平面区域为如图所 ? 1 ?0≤x≤1 ?0≤s≤2. ? ? ? ?y=2(s-t), 示的平行四边形 OCDE,且 E(0,2),D(2,0),C(2,-2),所以平行四边形的面积为 2?2= 4.

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)?OC =0,求 t 的值. → → 解析:(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则 → → → → AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC| =2 10,|AB-AC|=4 2.

5

故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)?OC=0, 得(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- . 5 3 ? → → ? → → 11.已知向量OP=(cos x,sin x),OQ=?- sin x,sin x?,定义函数 f(x)=OP?OQ. 3 ? ? (1)求函 数 f(x)的单调递增区间; → → (2)当OP⊥OQ时,求锐角 x 的值. 解析:(1)由题意知,f(x)=- - π? 3 ? sin?2x+ ?, 3? 3 ? π? π π 3π ? f(x)的单调递增区间为 sin?2x+ ?的单调递减区间, 即 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 3? 2 3 2 ? π 7π (k∈Z),即 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 12 12 π 7π 故 f(x)的单调递增区间为[kπ + ,kπ + ](k∈Z). 12 12 → → (2)当OP⊥OQ时,f(x)=0, π? 1 3 ? 即 - sin?2x+ ?=0, 3? 2 3 ? π? 3 ? sin?2x+ ?= . 3 ? ? 2 π π 4π 又 x 为锐角,所以 <2x+ < . 3 3 3 π 2π π 故 2x+ = .故 x= . 3 3 6 3 1 3 ?1 3 ? 1 2 sin xcos x +sin x= - ? sin 2x+ cos 2x?= 3 2 3 ?2 2 ? 2

6


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