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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:专题一、二 数学填空题的解题方法


专题提升练(一)
(专题一、二) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2014·绍兴模拟)已知集合 M={x|x≤1},N={x|0≤x≤2},则 M∩N= ( ) B.[0,1] D.[0,2]

A.(-∞,0] C.[1,2] 【解析】选 B.M∩N={x|0≤x≤1}.

2.“φ=0”是“函数 f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

【解析】选 A.当φ=0 时,f(x)=sinx 是奇函数,若 f(x)=sin(x+φ)是奇 函数,则φ=kπ,k∈Z,故选 A. 3.(2014·嘉兴模拟)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递 增的是 ( A.f(x)=sin2x C.f(x)=x3-x B.f(x)=x+tanx D.f(x)=2x+2-x )

【解析】选 B.f(x)是奇函数,则排除 D. A.f(x)=sin2x 在[-1,1]上不是增函数;

-1-

C.f'(x)=3x2-1,f(x)在[-1,1]上不是单调函数,故选 B. 4.(2014·宁波模拟)设 a>1>b>0,则下列不等式中正确的是 ( A.(-a)7<(-a)9 C.lg >lg B.b-9<b-7 D. > )

【解析】选 D.因为 a>1>b>0,所以 lna>0,lnb<0,故选 D. 5.(2014 · 湖 州 模 拟 ) 已 知 a,b,c ∈ R, 函 数 f(x)=ax2+bx+c, 若 f(x)=f(2-x),则下列不等关系不可能成立的是 ( A.f(1)<f(1-a)<f(1-2a) B.f(1)<f(1-a)<f(1+2a) C.f(1-a)<f(1-2a)<f(1) D.f(1+2a)<f(1-a)<f(1) 【解析】 选 C.由 f(x)=f(2-x)可得函数关于 x=1 对称,当 a>0,开口向上 时 , 因 为 f(x) 在 (- ≦ ,1] 上 单 调 递 减 且 1-2a<1-a<1, 所 以 f(1-2a)>f(1-a)>f(1), 故 A 正 确 ; 又 f(x) 关 于 x=1 对 )

称,f(1+2a)=f(1-2a),故 B 正确.当 a<0 时,f(x)在(-≦,1]上单调递增 在 [1,+ ≦ ) 上 单 调 递 减 , 因 为 1-2a>1-a>1, 所 以

f(1)>f(1-a)>f(1-2a)=f(1+2a),故 D 正确,C 不正确. 6. 已 知 向 量 m=( λ +1,1),n=( λ +2,2), 若 (m+n) ⊥ (m-n), 则 λ = ( A.-4 ) B.-3 C.-2 D.-1

【解析】选 B.因为 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2), 所以 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1).

-2-

因为(m+n)⊥(m-n), 所以(m+n)·(m-n)=0, 所以-(2λ+3)-3=0,解得λ=-3. 7.(2014 · 宁 波 模 拟 ) 设 变 量 x,y 满 足 kx-y+2=0 经过该可行域,则 k 的最大值为 A.1 B.3 C.4 ( ) D.5 若直线

【解析】选 A.直线 kx-y+2=0 过定点(0,2),作可行域如 图所示, 由 得 B(2,4), =1,则 k 的最大值为

当定点(0,2)和 B 点连接时,斜率最大,此时 k= 1.

8.已知α :x≥a,β :|x-1|<1.若α 是β 的必要不充分条件,则实数 a 的 取值范围是 ( A.a≥0 C.a≥2 ) B.a≤0 D.a≤2

【解析】选 B.由|x-1|<1 得-1<x-1<1, 即 0<x<2,故β:0<x<2. 若α:x≥a 是β:0<x<2 的必要不充分条件, 所以 a≤0. 9.(2014·诸暨模拟)已知 a,b 是正数,且 a+b=1,则 + A.有最小值 8 B.有最小值 9
-3-

(

)

C.有最大值 8

D.有最大值 9 =5+ + .又 a,b 是正数,

【解析】选 B.由 a+b=1 得, + =(a+b) 所以 + ≥2· 的最小值为 9.

=4,当且仅当 = 时取等号,则 + ≥5+4=9,即 +

10.(2014·温州模拟)某宾馆有 n(n∈N*)间标准相同的客房,客房的定 价影响入住率,经调查分析,得出每间客房的定价与每天的入住率的大 致关系如表: 每间客房的定价 每天的住房率 220 元 50% 200 元 60% 180 元 70% 160 元 75%

对每间客房,若有客住,则成本为 80 元;若空闲,成本为 40 元,要使此宾 馆每天的住房利润最高,则每间客房的定价大致为 ( A.220 元 C.180 元 B.200 元 D.160 元 )

【解析】选 C.A.当每间客房的定价为 220 元时,有客住的房间数为 , 则住房利润为(220-80)× -40× =50n; B.当每间客房的定价为 200 元时,有客住的房间数为 0.6n,则住房利润 为(200-80)×0.6n-40×0.4n=56n; C.当每间客房的定价为 180 元时,有客住的房间数为 0.7n,则住房利润 为(180-80)×0.7n-40×0.3n=58n; D.当每间客房的定价为 160 元时,有客住的房间数为 0.75n,则住房利 润为(160-80)×0.75n-40×0.25n=50n.

-4-

综上,当每间客房的定价为 180 元时,宾馆每天的住房利润最高.

二、 填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请把正确答案填在 题中横线上) 11.(2014 ·新课标全国卷Ⅱ ) 偶函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=2 对 称,f(3)=3,则 f(-1)= .

【解析】因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x), 则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 答案:3 12.(2014· 浙江高考)设函数 f(x)= 则 a= 【解析】 f(a)=-2, 所以 答案: 13.(2014·浙江高考)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则 a 的 最大值是 . 或 解得 a= . . 或 解得 f(a)=0(无解)或 若 f(f(a))=2,

【解析】因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b), 所以 a2+b2+ =1,
-5-

2b2+2ab+2a2-1=0, 把它看成是关于 b 的一元二次方程,有实数根, 所以Δ=(2a)2-8(2a2-1)≥0,即 a2≤ , 所以 a≤ ,故 a 的最大值是 . 答案: 14.若函数 f(x)= 的图象如图,则 m 的取值范围是 .

【解析】因为函数的定义域为 R, 所以 x2+m 恒不等于零,所以 m>0. 由图象知,当 x>0 时,f(x)>0, 所以 2-m>0 ?m<2. 又 因 为 在 (0,+ ≦ ) 上 函 数 f(x) 在 x=x0(x0>1) 处 取 得 最 大 值 , 而 f(x)= , >1 ?m>1.

所以当且仅当 x= =x0 时取最值,即 x0= 综上,1<m<2. 答案:(1,2) 15.(2014· 浙江高考)当实数 x,y,满足 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【解析】作出不等式组

时,1≤ax+y≤4 . 所表示的区域,由 1≤ax+y≤4

-6-

得,由图可知,

a≥0 且在

点取得最小值,在 .

点取得最大值,所以 a≥1,2a+1≤

4,故 a 的取值范围为 答案:

16. 设 函 数 f(x)=logax(a>0, 且 a ≠ 1), 若 f(x1x2 ? x2015)=8, 则 f( )+f( )+?+f( )= .

【解析】f(x1x2…x2015)=loga(x1x2…x2015)=8, f( )+f( )+…+f( +…+loga )

=loga

+loga

=loga(x1x2…x2015)2=2loga(x1x2…x2015)=16. 答案:16 17. 已 知 函 数 f(x)= 若关于 x 的方程

f2(x)-af(x)=0 有 四 个 不 同 的 实 数 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 的图象如图所示,

【解析】函数 f(x)=

-7-

关于 x 的方程 f2(x)=af(x)可转化为: f(x)=0 或 f(x)=a, 若关于 x 的方程 f2(x)=af(x)恰有四个不同的实数解; 则 f(x)=a 恰有三个不同的实数解, 由图可知:1<a<2. 答案:(1,2) 三、 解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 18.(14 分)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有 一个实数 x0 满足不等式 的取值范围. 【解析】由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, 所以 x= 或 x=-a, 所以当命题 p 为真命题时 ≤1 或|-a|≤1,所以|a|≤2. +2ax0+2a≤0”, +2ax0+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a

又“只有一个实数 x0 满足不等式

即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, 所以Δ=4a2-8a=0,所以 a=0 或 a=2. 所以当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. 所以命题“p 或 q”为真命题时,|a|≤2.

-8-

因为命题“p 或 q”为假命题, 所以 a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}. 19.(14 分)已知函数 f(x)= (1)求实数 m 的值. (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增. 结合 f(x)的图象知 所以 1<a≤3, 故实数 a 的取值范围是(1,3]. 20.(14 分)已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cosα ,sin α ),其中α ∈ (1)若| (2)若 |=| · . |,求α 的值. =-1,求 tan 的值. 是奇函数.

-9-

【解析】(1)因为 所以| | 由| |= |=| |=

=(cosα-3,sinα), = .

=(cosα,sinα-3), ,

|得 sinα=cosα, ,所以α= π.

又α∈ (2)由 ·

=-1,

得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1, 所以 sinα+cos= , 所以 sin = >0.

由于 <α< ,所以 <α+ < , 所以 cos 故 tan =- . =. (x≠a).

21.(15 分)已知 f(x)=

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 【解析】(1)任取 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= = . -

因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(-≦,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = .

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因为 a>0,x2-x1>0, 所以要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立, 所以 a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 22.(15 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件, 需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万 元);当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+ -1450(万元).通过市

场分析,若每件售价为 500 元时,该厂一年内生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式. (2)该厂生产商品的年产量为多少千件时获得利润最大? 【解析】(1)当 0<x<80,x∈N*时, L(x)= - x2-10x-250=- x2+40x-250.

当 x≥80,x∈N*时, L(x)= 所以 L(x)= (2)当 0<x<80,x∈N*时, L(x)=- (x-60)2+950, 所以当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950, 当 x≥80,x∈N*时, 因为 L(x)=1200-51x+1450-250=1200,

- 11 -

≤1200-2 =1200-200=1000, 所以当 x= ,即 x=100 时,

L(x)取得最大值 L(100)=1000>950. 综上所述,当 x=100 时,L(x)取得最大值 1000, 即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.

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