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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题


华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测 数学试题(文科)
考试时限:120 分钟 卷面满分:150 分

第 I 卷(选择题共 60 分)
注意事项:务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内. 1、设全集 U ? R ,集合 ? ? x log 2 x ? 2 , ? ? x ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ,则 ?U? ? ? ? ( A. ? ??, ?1? B. ? ??, ?1? ? ? 0,3? C. ? 0,3? D. ? 0,3? )

?

?

?

?

?

?



2、已知复数 z1 ? 2 ? ai(a ? R) , z2 ? 1 ? 2i ,若 A. 2 B. 3

z1 为纯虚数,则 | z1 |? ( z2
C. 2 (

D. 5 )

3、已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? lg 2 x ,命题 q : ?x ? R, x2 ? 0 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

4、已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) 错误!未找到引用源。 ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 错误!未找到引用源。 夹角为锐角”的 ( ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

?

?

?

?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

5、在 ? ABC 中,已知 A ? 300 , a ? 8, b ? 8 3 ,则三角形的面积为 ( A. 32 3 6、已知 p ? a ? B. 16 C. 32 3 或 16

D. 32 3 或 16 3 )

1 1 2 (a ? 2), q ? ( ) x ? 2 ( x ? R) ,则 p, q 的大小关系为 ( a?2 2

A. p ? q

B. p ? q

C. p ? q

D. p ? q

7、 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象如图所示, 为了得到 g ( x) ? A sin ? x 的图象, 可以将 f ( x ) 的图象 ( A.向右平移 )

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 12

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6
B.向右平移



1第

8、已知函数 f ( x) ? ?

log (2 ? x), x ? 2 ? ? 2 ? ? x
2 3

,x? 2

, 则不等式 f (3x ? 1) ? 4 的解集为 (
5 3 7 3



1 ? x ? 2} 3 ???? ? MD ???? 3 ???? 3 ???? ? ? 9、 M 是 ?ABC 所在平面内一点, MB ? MA ? MC ? 0 , D 为 AC 中点,则 ???? ? 的值为( 2 2 BM
A. {x ?5 ? x ? } B. {x ?3 ? x ? } C. {x ?5 ? x ? } D. {x A.

1 3



1 3

B.

1 2

C. 1

D. 2 )

2 2 2 10、 数列{ a n } 的通项公式为 an ? 2n?1 , 则使不等式 a1 ( ? a2 ? ?? an ? 5? 2n?1 成立的 n 的最大值为

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

11、已知 f ( x) ? x 3 ? 3 x ? m ,在区间 ? 0, 2? 上任取三个数 a, b, c ,均存在以 f (a ), f (b), f (c) 为边长的三 角形,则 m 的取值范围是 A. m ? 8 ( ) C. m ? 4 D. m ? 2

B. m ? 6

12、 定义在 (1,?? ) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: (1) 对任意的 x ? (1,??) 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; (2) 当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 2 ? x .记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的取 值范围是 ( )

?4 ? A. ? , 2 ? ?3 ?

?4 ? B. ? ,2 ? ?3 ?

?4 ? C. ? , 2 ? ?3 ?

D. ?1, 2 ?

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡内相应题号对应的横线上. 13、已知 tan ? ? ?2 ,则 ? sin ? ? cos ? ? ?
2



y
14、 f ?( x ) 为定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数, 而 y ? 3f
?( x )

的图象如图所示, .

1

则 y ? f ( x) 的单调递增区间是______ 15、若数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 16、设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

?1

0

1

3

x

??? ? an ? n2 ? 3n ? 2 ,则数列 {an } 的通项公式为___________.

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围为_______. 1 ? x2



2第

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2sin x cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递减区间. 3 3

18、(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , Sn ? kn(n ? 1) ? n(k ? R) ,公差 d 为 2. (Ⅰ)求 k 与 an ; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2, bn ? bn?1 ? n ? 2 n (n ? 2) ,求 bn .
a

19、(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2 ,向量 m ? (c, 3b),

??

?? ? ? n ? (cos C,sin B) ,且 m ∥ n .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin( A ? B),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差数列,求边 a 的大小.

20、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x , a , b ? R . (Ⅰ)若 a ? 0 且 b ? 2 ? a ,试讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 b ? ?8 ,总存在 x ? ? 0, ? 使得 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围. e

? ?

1? ?



3第

21、(本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? (Ⅰ)证明:数列 ? (Ⅱ)设 bn ?

1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1, 2, L 2

? n ?1 ? Sn ? 是等差数列,并求 Sn ; ? n ?

Sn 5 ,求证: b1 ? b2 ? L ? bn ? . 2 n ? 3n 12
3

22 、 ( 本 小题满分 12 分 ) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ,在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数

g ? x? ? f ? x? ?

1 2 x ? bx . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,记 t ?

13 x1 ,若 b ? , 3 x2

①求 t 的取值范围;②求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值.



4第

华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测 数学试题(文科)答案
一、选择题
题号 答案 二、填空 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 B 12 A

9 13、 5
三、解答题

14、 ? ??,3?

?6 , n ? 1 ? 15、 an ? ? n ? 2 , n ? 2, n ? N ? ? ? n

16、 ? ,1?

?1 ? ?3 ?

17、 (1) f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin(2 x ? (2)∵ x ? [ ?

?
3

)

T ? ? ??????????5 分

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

??

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3
??????????7 分 ??????????10 分

? f ( x) 的值域为 [? 3, 2] .
f ( x) 的递减区间为 ?

?? ? ? , ?. ?12 3 ?

18、 (1)由题意可得 a1 ? S1 ? 2k ?1 ,

a2 ? S 2 ? S 1? 4k ? 1 ??????????2 分

所以 a2 ? a1 ? 2k ? 2 ,即 k ? 1 故数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列,即 an ? 2n ? 1 (2)由题意 b1 ? 2, bn ? bn?1 ? n ? 2 n (n ? 2)
a

??????????4 分

即 b1 ? 2, bn ? bn?1 ? n ? 22n?1 (n ? 2)

由累加法可得 n ? 2时,bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ???? ? (b2 ? b1 ) ? b1

? 1? 21 ? 2 ? 23 ???? ? (n ?1) ? 22n?3 ? n ? 22n?1 ????6 分
错位相减法 bn ?

2[(3n ? 1)4n ? 1] 9 2[(3n ? 1)4n ? 1] ,n? N? 故 bn ? 9

??????????10 分

显然 n ? 1 ,也成立,

??????????12 分



5第

19、 (1) m ∥ n ,得 c sin B ? 3b cos C ? 0 , 由正弦定理可得 sin C sin B ? 3 sin B cos C ? 0 ??????????2 分

??

?

tan C ? 3 , C ? ? 0, ? ?
C?

?
3

??????????4 分

(2) sin( A ? B),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差, 所以 sin( A ? B) ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A 化简整理得: cos A(sin B ? 2sin A) ? 0 即 cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A 得A? 若 A= ??????????6 分

?
2

或b ? 2 a

??????????8 分

?
2

,由C ?

?
2

,则a ?

c 4 ? 3 sin C 3 2 3. 3

??????????10 分

2 2 若 b ? 2a,由a ? b ? ab ? 4得a ?

??????????12 分

20、 (1)由 b ? 2 ? a

1 1 (ax ? 1)(2 x ? 1) ? 2ax ? 2 ? a ? ? ( x ? 0) ??????2 分 x x x 1 1 1 1 当 ? ? ,即 a ? ?2 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ? , ) , a 2 a 2 f ?( x) ? 2ax ? b ?
单调递减区间为 (0, ? ), ? , ?? ? ??????4 分

1 ?1 a ?2

? ?

1 1 ? ,即 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ??????5 分 a 2 1 1 1 1 当 ? ? ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( , ? ) , a 2 2 a
当? 单调递减区间为 (0, ), ? ? (2) f ( x) ? ax 2 ? 8x ? ln x 由题意总存在 x ? ? 0, ? ,使得 f ( x) ? 0 成立 e

1 ? 1 ? , ?? ? ??????6 分 2 ? a ?

? ?

1? ?

即存在 x ? ? 0, ? ,使 a ? e

? ?

1? ?

8 x ? ln x x2
6第



记 g ( x) ?

8 x ? ln x ? 1? , x ? ? 0, ? ,问题等价于 a小于g ( x)的最大值 。?????????9 分 2 x ? e? 1 ? 8 x ? 2 ln x ? 1? , x ? ? 0, ? 3 x ? e?

求导 g ?( x) ?

1 1 8 ? 3? ? 0 e e e 1 1 ? 8 x ? 2 ln x 8 x ? ln x ? 0 ,即 g ( x) ? 可知 g ?( x) ? 在定义域内单调递增,最大最在 处取得. 3 2 e x x 1 2 故 a ? g ( ) ? 8e ? e ?????????12 分 e
而 1 ? 8 x ? 2 ln x 在定义域内递减,且 1 ? 8 ? 2 ln 21、 (1)由 Sn ? n2an ? n(n ?1) 知,当 n ? 2时Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n(n ?1) 即 n ? 2时(n2 ?1 )Sn ? n2 Sn?1 ? n(n ?1) 所以 n ? 2时, 而 ??????3 分

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 n n ?1

??????5 分

1?1 S1 ? 1 1
??????7 分

故数列 ?

n2 ? n ?1 ? Sn ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,且 Sn ? n ?1 ? n ? Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 n ? 3n (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3
3

(2)因为 bn ?

??????9 分

所以 b1 ? b2 ? ??? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? )? ( ? ? ? ) ??11 分 2 2 4 3 5 n ?1 n ? 3 2 2 3 n ? 2 n ? 3 1 5 5 ? ? ? ????12 分 2 6 12

22、 (1) f ?( x) ? 1 ?

a x
????2 分

由题意知 f ?(1) ? 1 ? a ? 2 ,即 a ? 1 (2)由 g ( x) ? ln x ?

x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 x ? (b ? 1) x , g ?( x) ? 2 x
即 x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1

????4 分

令 g ?( x) ? 0, x2 ? (b ?1) x ? 1 ? 0

????5 分



( x1 ? x2 )2 x1 x 1 100 ? ? 2 ? 2 ? t ? 2 ? ? (b ? 1)2 ? x1 x2 x2 x1 t 9
1 9
7第

由 x1 ? x2 ,即 0 ? t ? 1 ,解上不等式可得: 0 ? t ?


????8 分

而 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 x1 x2 1 1 ? ( ? ) ? ln t ? (t ? ) x2 2 x2 x1 2 t 1 1 ? 1? (t ? ), t ? ? 0, ? 2 t ? 9?

????10 分

构造函数 h(t ) ? ln t ?

由 t ? ? 0, ? , h(t ) ? ? 2t 2 ? 9?

?

1?

(t ? 1)2

?0,
1 9 40 ? 2 ln 3 9
????12 分

故 h(t ) 在定义域内单调递减, h(t ) min ? h( ) ? 所以 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值为

40 ? 2 ln 3 9



8第


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