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练习


线面平行典型例题和练习
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中,都隐含着直线与直线的平行,它 成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带,成为证明平行问题的关键. 1.运用中点作平行线 例 1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是距形,M、N分别是AD、PB的中点, 求证MN∥平面 PCD. P G D M B 图 2.运用比例作平行线 1 其中 M ? AC , 例

2. 四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形, 且AM=FN, N ? BF ,求证:MN∥平面 BCE C A N C

D

M A

B H N F

E

3. 运用传递性作平行线 例 3.求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线平行
k

?

?
n

m

l

?

?

4.运用特殊位置作平行线 图4 例 4.正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,点E、F分别是C1C、B1 B上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.问当点M在何位置时M B∥平面AEF? C1 A1 N C M A
1

E

B1

F B 图5

课堂强化: 2. (2012?山东)如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD, EC⊥BD. (Ⅰ)求证:BE=DE; (Ⅱ)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC

. 3. .(2012?辽宁)如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC= 2, AA′=1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′;

4. (2011?上城区)如图所示的几何体中,△ABC 为正三角形,AE 和 CD 都垂直 于平面 ABC,且 AE=AB=2,CD=1,F 为 BE 的中点. (1)若点 G 在 AB 上,试确定 G 点位置,使 FG∥平面 ADE,并加以证明;

5. .(2009?宁夏)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是 底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD;

2

6. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平 面 ABCD,E 为 PD 的中点,AB=1,PA=2. (I)证明:直线 CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求三棱锥 E-PAC 的体积. 7. 如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外的一点,则在四 棱锥 P-ABCD 中, M 是 PC 的中点, 在 DM 上取一点 G, 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:AP∥GH.

9. 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长 AA1=2,AB=1,E 是 AA1 的中点. (Ⅰ)求证:A1C∥平面 BDE;

10. 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, 已知 AB=AC=2, PA=1, ∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°, 点 D、E 分别为 AB、PC 的中点. (1)在 AC 上找一点 M,使得 PA∥面 DEM; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.

3

面面平行
11 已知四棱锥 P – ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、 N、 Q 分别在 PA、

BD、PD 的中点处,.求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

. 3. a 是平面 ? 外一条直线,过 a 作平面 ? ,使 ? ∥ ? ,这样的 ? ( )

A.只能作一个 B.至少可以做一个 C.不存在 D.至多可 以作一个 4. 若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个 平面的位置关系是( ) A.一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.以上判断都不 对 5、已知 m、n 表示两条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,下列命题中正确的个数 是( )

①若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 且m // n, 则? // ?
4

②若 m,n 相交且都在 ?、 ?外,m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则? // ? ③若 ? ? ? ? l , m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则m // n ④若 m// ? ,n// ? , 则m // n A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

9.有以下三个命题: ① 两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行; ②经过平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面; ③平面 ? ∥平面 ? ,直线 a ? ? , 直线b ? ? , 那么直线 a,b 的位置关系可能是 平行或异面.其中正确命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

线面垂直
线面垂直的证明中的找线技巧 ? 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1
M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O, 如图 1,在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,

求证: AO ? 平面 MBD. 1 证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC, A1 A

AC ? A ,

∴DB⊥平面 A1 ACC1 ,而 AO ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 . 1 设正方体棱长为 a ,则 A1O 2 ? 在 Rt△ A1C1M 中, A1M 2 ?
3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4

9 2 2 a .∵ AO ? MO2 ? A1M 2 ,∴ 1 4

AO ? OM . ∵OM∩DB=O,∴ AO 1 1 ⊥平面 MBD.
评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计 算来证明. ? 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图 2,P 是△ABC 所在平面外的一点, 且 PA⊥平面 ABC, 平面 PAC ⊥平面 PBC.求证:BC⊥平面 PAC. 证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. 因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC,

5

又 ∵ BC ? 平面 PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC, BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直 线中的一条纳入一个平面中, 使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线 线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本 题可以看到,面面垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直. 一般来说, 线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决, 其关系为:
??? ? 线面垂直 ??? ??? ? 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以 线线垂直 ??? ? ?
判定 性质 判定 性质

AD ? 平面 PAC,且 AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得 AD⊥平面 PBC.

互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们 应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明. 3 如图1所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的平面分别 交 SB,SC,SD 于 E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD .

证明:∵ SA ? 平面 ABCD, ∴ SA ? BC .∵ AB ? BC ,∴ BC ? 平面 SAB.又∵ AE ? 平面 SAB,∴ BC ? AE .∵ SC ? 平面 AEFG,∴ SC ? AE .∴ AE ? 平面 SBC.∴ AE ? SB .同 理可证 AG ? SD . 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的 转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从 而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF
DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF.

∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE
AB ? B ,

∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD
BE ? E ,
6

∴ AH ? 平面 BCD. 评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直; 而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论. 5 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC , E为垂足,F是 PB 上任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC. 证明:∵AB 是圆O的直径,∴ AC ? BC . ∵ PA ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC, ∴ PA ? BC .∴ BC ? 平面 APC. ∵ BC ? 平面 PBC, ∴平面 APC⊥平面 PBC. ∵AE⊥PC,平面 APC∩平面 PBC=PC, ∴AE⊥平面 PBC. ∵ AE ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PBC. 评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线 中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从 已知条件出发寻找线线垂直的关系.

10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 分析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC 又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A ∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM

7

[例 2]如图 9—40,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.

图 9—40 (1)求证:AB⊥BC; (1) 【证明】 作 AH⊥SB 于 H, ∵平面 SAB⊥平面 SBC. 平面 SAB∩平面 SBC=SB, ∴AH⊥平面 SBC, 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB,∴BC⊥SB, 又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. [例 3]如图 9—41,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的中点.

(1)求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小;(2)求证:平面 MND ⊥平面 PCD (1)【解】PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD, ∴PD⊥CD,故∠PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角,在 Rt△ PAD 中,PA=AD, ∴∠PDA=45° 1 2 CD (2)【证明】取 PD 中点 E,连结 EN,EA,则 EN AM,∴四边形 ENMA 是平行四边形,∴EA∥MN. ∵AE⊥PD, AE⊥CD, ∴AE⊥平面 PCD, 从而 MN⊥平面 PCD, ∵MN ? 平面 MND, ∴平面 MND⊥平面 PCD. 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证 MN⊥平面 PCD 较 困难,转化为证明 AE⊥平面 PCD 就较简单了.另外,在本题中,当 AB 的长度变 化时,可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围. [例 4]如图 9—42,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、 C1D1、B1C1 的中点.

8

图 9—42 (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF.(2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切 值. (1)【证明】∵M、N、E 是中点,∴ EB1 ? B1 N ? NC1 ? C1M ∴
?ENB1 ? ?MNC1 ? 45?

∴ ?MNE ? 90? 即 MN⊥EN,又 NF⊥平面 A1C1, MN ? 平面A1C1 ∴MN⊥NF,从 而 MN⊥平面 ENF.∵MN ? 平面 MNF, ∴平面 MNF⊥平面 ENF. (2)【解】过 N 作 NH⊥EF 于 H,连结 MH.∵MN⊥平面 ENF,NH 为 MH 在平 面 ENF 内的射影, ∴由三垂线定理得 MH⊥EF,∴∠MHN 是二面角 M—EF—N 的平面角.在 Rt△ 2 3 MNH 中,求得 MN= 2 a,NH= 3 a,
MN 6 6 ? 2 NH 2 ∴tan∠MHN= ,即二面角 M—EF—N 的平面角的正切值为 .

4. 如图 9—45, 四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形, PA⊥底面 ABCD, E 为 AB 的中点,且 PA=AB.

图 9—45 (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD;(2)求点 A 到平面 PCE 的距离. (1)【证明】PA⊥平面 ABCD,AD 是 PD 在底面上的射影, 又∵四边形 ABCD 为矩形, ∴CD⊥AD, ∴CD⊥PD, ∵AD∩PD=D∴CD⊥面 PAD, ∴∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角, ∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取 Rt△PAD 斜边 PD 的中点 F,则 AF⊥ PD,∵AF ? 面 PAD ∴CD⊥AF,

9

又 PD∩CD=D∴AF⊥平面 PCD,取 PC 的中点 G,连 GF、AG、EG,则 GF 1 2 CD, CD 又 AE

1 2

∴GF AE∴四边形 AGEF 为平行四边形∴AF∥EG, ∴EG⊥平面 PDC 又 EG ? 平面 PEC, ∴平面 PEC⊥平面 PCD. (2)【解】由(1)知 AF∥平面 PEC,平面 PCD⊥平面 PEC,过 F 作 FH⊥PC 于 H,则 FH⊥平面 PEC ∴FH 为 F 到平面 PEC 的距离,即为 A 到平面 PEC 的距离.在△PFH 与 △PCD 中,∠P 为公共角, FH PF ? 而∠FHP=∠CDP=90°, ∴△PFH∽△PCD. ∴ CD PC , 设 AD=2, ∴PF= 2 ,
2 2 PC= PD ? CD ? 8 ? 4 ? 2 3 ,

2 6 6 ?2 ? 3 ∴A 到平面 PEC 的距离为 3 . ∴FH= 2 3

【拓展练习】 一、备选题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互 相垂直的各对平面.

(1)【证明】∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径 ∴BC⊥AC; 又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2) 【解】 平面 PAC⊥平面 ABCD; 平面 PAC⊥平面 PBC; 平面 PAD⊥平面 PBD; 平面 PAB⊥平面 ABCD;平面 PAD⊥平面 ABCD.

10

2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D,E 分别是 BB′,CC′上 1 的一点,BD= 2 a,EC=a. (1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

(1)【证明】分别取 A′C′、AC 的中点 M、N,连结 MN, 则 MN∥A′A∥B′B, ∴B′、 M、 N、 B 共面, ∵M 为 A′C′中点, B′C′=B′A′, ∴B′M⊥A′C′, 又 B′M⊥AA′且 AA′∩A′C′=A′ ∴B′M⊥平面 A′ACC′. 设 MN 交 AE 于 P, a ∵CE=AC,∴PN=NA= 2 .
1 又 DB= 2 a,∴PN=BD. ∵PN∥BD, ∴PNBD 是矩形,于是 PD∥BN,BN∥B′M, ∴PD∥B′M. ∵B′M⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥平面 ACC′A′,而 PD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2)【解】∵PD⊥平面 ACC′A′,

3 ∴PD⊥AE,而 PD=B′M= 2 a, AE= 2 a.
1 ∴S△ADE= 2 ×AE×PD 1 3 6 2 2a ? a? a 2 4 =2× .

11

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定 1、如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 的侧面 PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, 2、 如图, 棱柱 ABC ? A1B1C1

BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

证明:平面 AB1C ? 平 面 A1BC1 ;

(1)求证:CD⊥AE; (2)求证:PD⊥面 ABE. 3、如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形。

?DAB ? 60 , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD ,证
明: PA ? BD

4、如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点

12

(Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

面面垂直的性质
1、 S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC. S

A B

C

2、 在四棱锥中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD

13

V D A B C

3、如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 将
?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD 求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

(第16题图)

14


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