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宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考试题 数学(文)试题


宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考试题 数学(文)试 题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 M ? { x | 2 x ? 4}, N ? { x | x(1 ? x ) ? 0} ,则 C M N = A. (??, 0) ? [1, ??]
2

B. (??, 0) ? [1, 2]
3 2015

C. (??, 0] ? [1, 2]

D. (??,0] ?[1, ??]

2.已知复数 z ? 1 ? i ? i ? i ? ... ? i A.0 B. ?1

,则复数 z = D. 1 ? i

C.1

3. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? A.

27 2

B. 27

C. 54

D. 108 a 的最小值是 x1x2

4. 已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则 x1+x2+ 6 A. 3 2 B. 3 3 2 C. 3 6 4 D. 3 3

5.在 ?ABC 中, C ? 90 ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2MA, 则CM ? CB 等于 A.3 6. 下列说法正确 的是 ..
x x A.命题“ ?x ? R , e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e ? 0 ”

B.2

C.4

D.6

B.命题 “已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C.“ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立” ? “ ( x 2 ? 2 x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立”

D.命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2x ?1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

7.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, an ?1 ? an ? 项和为 A.

bn?1 ? 2, n ? N ? , ,则数列 ban 的前 10 bn
1 9 4 ?1 3

? ?

1 10 4 ?1 3

?

?

B.

4 9 4 ?1 3

?

?

C.

?

?

D.

4 10 4 ?1 3

?

?

8.关于函数 f ( x ) ? 2(sin x ? cos x ) cos x 的四个结论 P1 最大值为 2 ; P2 最小正周期为 ? ; P3 单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

3 ? , k? ? ? ? , k ? Z; 8 8 ?

P4 函数 y ? f ( x) 的一条对称轴是 x ? 其中正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个

7? 8
D.4 个 )

9.下列三个不等式中,恒成立的个数有( ①x? A.3 10.已知 x>1,y>1,且

1 ? 2( x ? 0) x

② B. 2

c c a? m a ? (a ? b ? c ? 0 ) ③ ? (a , b , m? 0 ,a? b . ) a b b? m b
C. 1 D. 0

1 1 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy 的最小值是 4 4
1 e
C. e D. 2

A. 1

B.

11. 能够把圆 O x 2 ? y 2 ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐 函数”,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是 .. A. f ( x) ? 4x3 ? x B. f ( x) ? 1n

5? x 5? x

C. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? e x ? e? x

?2 x 2 ? 4 x ? 1( x ? 0) ? 12.函数 f ( x) ? ? 的图像上关于原点对称的点有( 2 ( x ? 0) ? x ? e
A. 0 B. 2 C. 3 D. 无数个

)对

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. x+y-7≤0, ? ? 13.设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值为 ? ?3x-y-5≥0, 14.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

.

2an , (n ? N ? ) ,则 a5 ? __________. an ? 2

15.已知函数 f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x, f ?( x)是f ( x) 的导函数,则 f ( ) ?

?

?

4

4

. 。

16.在 ?ABC 中,BC= 2 5 ,AC=2, ?ABC 的面积为 4,则 AB 的长为 三、解答题本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)

已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a 2 ? 1, a 3 2 ? 9a 2 a 6 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ? log3 a 1 ? log3 a 2 ? ? ? log3 a n ,求数列 { 18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?
1 } 的前 n 项和. bn

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) . 其图象的

最高点与相邻对称中心的两点间 距离为 1 ? ... (1)求函数 f ( x) 的表达式;

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为锐角.且满足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:数列 {

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3,...... . 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)求数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 2 .( a ? R ).
3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若对 x ? 0, 有f ?( x) ? x ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值; (2)对函数 f ( x) 定义域内的任一个实数 x , f ( x) ?

4 成立,求实数 a 的取值范围. 3

a ? b ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 2 . x ?1

m 恒成立,求实数 m 的取值范围. x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题 做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 .... 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. A E O M

22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB
2

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 y ? 3sin ? ?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的极坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R) (1)当 a=1 时求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)如果函数 y ? f ( x) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.
2 2 2 2

?
3

)

宁夏银川一中 2015 届高三第三次月考数学(文科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 C A B D A B A C 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 13.8 14. 15.1 16.4 或 4 2 3 三、解答题: 9 B 10 C 11 D 12 B

3 2 a2 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 17.解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 3 所以

q2 ?

1 9.

q?
由条件可知 c>0,故

1 3.
a1 ?

1 1 2a ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 3 .故数列{an}的通项式为 an= 3n . 由 1 ? ?(1 ? 2 ? ... ? n)
(Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

??

n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) b n(n ? 1) n n ?1 故 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 .
2 2 6 2

∵ 最高点与相邻对称中

2? T ? ? ? 0 ,∴ ? ? 2 , 又 f ( x) 过 点 ? ? ,∵ ? ,即 T ? ? , ∴ 4 4 |? | 16 ? 2? ? 1 ( ,1) ,∴ sin( ? ? ? ) ? ? 1, 3 3 6 2 ? 1 1 ? ? ? 1 即 sin( ? ? ) ? ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴f ( x) ? sin(2 x ? ) ? . (6 分) 2 2 2 2 3 6 2 5 2 ? (Ⅱ ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? , ∵ , cos C ? 0 ? C ? ,∴ 3 3 2 b ? 6 ,由余弦定理得 又 a ? 5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴
心的距离为 1? ,则

?2

c ? 21 . c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ?

(12 分)

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1 1 1 1 2 1 1 ? ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列.……… 6 分 2 2 an 1 1 1 1 n n 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2 1 2 3 n 1 1 2 n ?1 n 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? … ? n , ①则 Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 2 由① ? ②得 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? . ? 2 2 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 12 分 ? ? n 2 2 2 2 ……… an ?
3 2 2

20. 解(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ? 2 , f '( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 = ( x ? 1)(3 x ? 1) , 令

1 1 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? ? , x2 ? 1 . 当 f '( x) ? 0 时,得 x ? 1 或 x ? ? ; 当 f '( x) ? 0 时,得 3 3 1 ? ? x ? 1 . 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表 3 x 1 (1, ??) 1 1 1 (??, ? ) ? (? ,1) 3 3 3

f '( x) f ( x)

+ 单调递增

0 极大

?
单调递减

0 极小

+ 单调递增

b ( x ? 1) ? (a ? b ln x) a ? b ln x x ? f ?( x) ? 21 . 解 (Ⅰ)由 f ( x) ? 而点 (1, f (1)) 在直 线 x ?1 ( x ? 1) 2 ,
x ? y ? 2 上 ? f (1) ? 1 , 又 直 线 x ? y ? 2 的 斜 率 为 ?1 ? f ?(1) ? ?1
,故有

? a ? 2 ?1 ?a?2 ?? 6? ? 2b ? a b ? ? 1 ? ? ? ?1 ? 4 2 ? ln x m 2 x ? x ln x (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ( x ? 0) 由 f ( x) ? 及 x ? 0 ? ?m x ?1 x x ?1 , 2 x ? x ln x (1 ? ln x)( x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x 令 g ( x) ? ? g / ( x) ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 1 令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ? h?( x) ? ?1 ? ? 0( x ? 0) ,故 h( x) 在区间 (0,??) 上是减函数, x 故 当 0 ? x ? 1 时 , h( x) ? h(1) ? 0 , 当 x ? 1 时 , h( x) ? h(1) ? 0 , 从 而 当 0 ? x ? 1
/ 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ( x) ? 0

? g ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 ,要使 2 x ? x ln x ? m 成立,只需 x ?1
22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB 所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 。 。 。 。 。 。5 分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H . 因为 。 。 。 。 。 。7 分 DE2 ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .。 1 1 2 2 所以 DE ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) 所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。10 分 2 2 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程选讲.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲


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