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双曲线个人总结知识,知识点及练习题


例 1、已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内 切,求动圆圆心 M 的轨迹方程

例 2、求下列条件下的双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与双曲线 9 -16=1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); x2 y2 (2)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).

/>x2 y2 例 3、 分)双曲线 C:2-b2=1(a>0, (12 b>0)的右顶点为 A, 轴上有一点 Q(2a,0), x a

→ →
若 C 上存在一点 P,使AP· =0,求此双曲线离心率的取值范围. PQ x2 y2 例 4、 【活学活用】 3.(2012 北京期末检测)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两 个焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是________.
练习 1.(2011 安徽高考)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 C.4
2 2

)

B.2 2 D.4 2

x y 2.(2011 山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2- a b 6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( x y A. - =1 5 4
2 2

)

x y B. - =1 4 5

2

2

x y C. - =1 3 6

2

2

x y D. - =1 6 3

2

2

x2 3.(2012 嘉兴测试)如图,P 是双曲线 -y2=1 右支(在第一象限内)上 4 的任意一点,A1,A2 分别是左、右顶点,O 是坐标原点,直线 PA1, PO, 2 的斜率分别为 k1,2,3, PA k k 则斜率之积 k1k2k3 的取值范围是( A.(0,1) 1 B.(0, ) 8 1 C.(0, ) 4 1 D.(0, ) 2 )

1

4.(金榜预测)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-5,0)和 C(5,0),顶点 B x2 y2 sin B 在双曲线 - =1 上,则 为( 16 9 |sin A-sin C| 3 A. 2 2 B. 3 5 C. 4 ) 4 D. 5

x2 y2 5.P 为双曲线 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2 9 16 =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( A.6 B.7 C.8 ) D.9

6.(2012 南宁模拟)已知点 F1,F2 分别是双曲线的两个焦点, P 为该曲线上一点,若△PF1F2 为等腰直角三角形,则该双曲线 率为( ) B. 2+1 D.2 2 的离心

A. 3+1 C.2 3

x2 y2 7.方程 + =1 表示双曲线.那么 m 的取值范围是________. 2-m |m|-3 8. (2012 大连测试)在双曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线上分别取点 A 和 B, 使得|OA|· |OB| =15,其中 O 为双曲线的中心,则 AB 中点的轨迹方程是________. b2+1 x2 y2 9.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率是 2,则 的最小值是________. a b 3a

10(2012 肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(-3,0),一条渐近线的 方程是 5x-2y=0.

(1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的 81 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围. 2

10.(文用)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂 直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围.

2

双曲线 考纲:了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 , 两 焦 点 间 的 距 离 叫 做 双 曲 线 的 . 1.与两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲 线吗? 提示:只有当 2a<|F1F2|时,轨迹才是双曲线.若 2a=|F1F2|,则轨迹是以 F1, F2 为端点的两条射线,若 2a>|F1F2|,则轨迹不存在. 二、双曲线的标准方程及其简单几何性质 1、标准方程,2 图形,3 性质(范围、对称性、定点、渐近线、离心率、实虚轴、 a、b、c 间的关系) 三、等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2-y2=a2,其离心率为 e= ,渐近线方程为 考点 1。双曲线的定义及应用 在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是指整 条双曲线,还是双曲线的哪一支 例 1、已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内 切,求动圆圆心 M 的轨迹方程 【自主解答】设动圆 M 的半径为 r,则由已知 |MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2,

∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又 C1(-4,0),C2(4,0),∴|C1C2|=8,∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知, M 的轨迹是以 C1(-4,0)、 2(4,0)为焦点的双曲线的右支. 点 C ∵

3

x2 y2 a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14,∴点 M 的轨迹方程是: 2 -14=1(x≥ 2). 考点 2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法 1.定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应 a、b、c 即可求得方程. 2.待定系数法 (2)待定系数法求双曲线方程的常用方法 x2 y2 x2 y2 ①与双曲线a2-b2=1 有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2-b2=t(t≠0); b x2 y2 ②若双曲线的渐近线方程是 y=± x,则双曲线的方程可表示为a2-b2=t(t≠0); a x2 y2 x2 y2 ③与双曲线a2-b2=1 共焦点的方程可表示为 2 - 2 =1(-b2<k<a2); a -k b +k x2 y2 ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 + =1(mn<0); m n x2 y2 x2 y2 ⑤与椭圆 a2+b2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 2 + 2 = a -λ b -λ 1(b2<λ<a2). 例 2、求下列条件下的双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); 9 16 x2 y2 (2)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 【自主解答】(1)解法一:经检验知双曲线焦点在 x 轴上,故设双曲线的方

?b=4, ?a 3 x y 程为a2-b2=1,由题意,得? ?-3?2 ?2 3?2 ? a2 - b2 =1, ?
2 2

9 解得 a2=4,b2=4,

x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 9 4 4 x2 y2 (2)解法一:设双曲线方程为a2-b2=1,由题意易求 c=2 5,又双曲线过点 ?3 2?2 4 x2 y2 2 2 2 2 2 (3 2,2),∴ a2 -b2=1.又∵a +b =(2 5) ,∴a =12,b =8. 12- 8 =1. x2 y 2 1 解法二:设所求双曲线方程为 9 -16=λ(λ≠0),将点(-3,2 3)代入得 λ=4.

4

x2 y2 1 x2 y2 所以双曲线方程为 9 -16=4,即 9 - 4 =1. 4 解法二:设双曲线方程为 x2 y2 - =1,且 16-k>0,4+k>0. 16-k 4+k

x2 y2 将点(3 2,2)代入得 k=4,且满足上面的不等式,所以双曲线方程为12- 8 =1.
1.在双曲线的标准方程中,若 x2 的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 的系数是正的, 那么焦点在 y 轴上,且对于双曲线,a 不一定大于 b. 2.若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为:mx2+ny2=1(mn<0), 以避免分类讨论. 考点 3、双曲线的几何性质 双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切, 解题时要深刻理解确定双曲 线的形状、大小的几个主要特征量,如 a、b、c、e 的几何意义及它们的相互关系,充分利 用双曲线的渐近线方程,简化解题过程

x2 y2 例 3、 分)双曲线 C:2-b2=1(a>0, (12 b>0)的右顶点为 A, 轴上有一点 Q(2a,0), x a

→ →
若 C 上存在一点 P,使AP· =0,求此双曲线离心率的取值范围. PQ 【规范解答】设 P 点坐标为(x,y),

→ →
则由AP· =0,得 AP⊥PQ, PQ 即 P 点在以 AQ 为直径的圆上, 3a 2 2 a 2 x2 y2 ∴(x- 2 ) +y =(2) .①又 P 点在双曲线上,得a2-b2=1.② (a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0. 即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0.6 分 2a3-ab2 当 x=a 时,P 与 A 重合,不符合题意,舍去当 x= 2 时,满足题意的 a +b2 P 点存在,需 x= 2a3-ab2 c 6 2 2 2 2 2 2 >a,化简得 a >2b ,即 3a >2c , < a 2 .10 分∴离 a +b

c 6 心率 e=a∈(1, 2 ).12 分 x2 y2 例 4、 【活学活用】 3.(2012 北京期末检测)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 的两个焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是________.
5

?|PF1|=3|PF2| 解析:依题意得? , ?|PF1|-|PF2|=2a c 由此解得|PF2|=a≥c-a,即 c≤2a,e=a≤2, 即该双曲线的离心率不超过 2. 又双曲线的离心率大于 1, 因此该双曲线的离心率 e 的取值范围是(1,2].
1.(2011 安徽高考)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 C.4 B.2 2 D.4 2 )

x2 y2 解析:2x2-y2=8 化为标准形式: - =1,∴a2=4.∴a=2.∴实轴长 2a=4. 4 8 x2 y2 2.(2011 山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2- a b 6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 5 4 x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 3 6 x2 y2 D. - =1 6 3 )

x2 y2 b 解析:由题意得, 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x, a b a 即 bx± ay=0,又圆 C 的标准方程为:(x-3)2+y2=4,半径为 2,圆心坐标为(3,0). ∴a2+b2=32=9,且 x2 y2 的方程为 - =1. 5 4 x2 3.(2012 嘉兴测试)如图, 是双曲线 -y2=1 右支(在第一象限内) P 4 上的任意一点,A1,A2 分别是左、右顶点,O 是坐标原点,直线 PA1,PO,PA2 的斜率分别 为 k1,k2,k3,则斜率之积 k1k2k3 的取值范围是( A.(0,1) 1 B.(0, ) 8 1 C.(0, ) 4 ) 1 D.(0, ) 2 |3b| =2,解得 a2=5,b2=4.∴该双曲线 a2+b2

y 1 y3 y 1 解析:设 P(x,y),则 ∈(0, ),且 x2-4=4y2(x>0,y>0),∴k1k2k3= 2 = ∈(0, ). x 2 4x 8 x?x -4? 4.(金榜预测)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-5,0)和 C(5,0),顶点 B x2 y2 sin B 在双曲线 - =1 上,则 为( 16 9 |sin A-sin C| 3 A. 2 2 B. 3 5 C. 4 ) 4 D. 5

解析:由题意得 a=4,b=3,c=5.

A、C 为双曲线的焦点,∴||BC|-|BA||=8,|AC|=10.
6

sin B |AC| 10 5 由正弦定理得 = = = . |sin A-sin C| ||BC|-|BA|| 8 4 x2 y2 5.P 为双曲线 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2 9 16 =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( A.6 B.7 C.8 ) D.9

解析:易知两圆圆心为 F1(-5,0),F2(5,0).由双曲线方程 知 a=3,b=4,则 c=5,故两圆心恰好为双曲线的两个焦点. |PM|-|PN|的最大值为如图所示的情况, 即 |PM|- |PN|≤|PF1|+ |F1M|- (|PF2|- |NF2|) = |PF1| + 2 - |PF2|+1=2a+3=2×3+3=9. 6.(2012 南宁模拟)已知点 F1,F2 分别是双曲线的两个焦点,P 为该曲线上一点,若△ PF1F2 为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( A. 3+1 C.2 3 解析:不妨设 P 点在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a. ∵△PF1F2 是等腰直角三角形, ∴只能是∠PF2F1=90° ,∴|PF2|=|F1F2|=2c, ∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,∴(2a+2c)2=2· 2, (2c) 即 c2-2ac-a2=0,两边同除以 a2,得 e2-2e-1=0.∵e>1,∴e= 2+1. x2 y2 7.方程 + =1 表示双曲线.那么 m 的取值范围是________. 2-m |m|-3
? ?2-m>0, 解析: 注意分两种情况. 一是实轴在 x 轴上, 二是实轴在 y 轴上. 依题意有? ?|m|-3<0, ? ?2-m<0, ? 或? 得 m>3 或-3<m<2. ? ?|m|-3>0,

)

B. 2+1 D.2 2

8. (2012 大连测试)在双曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线上分别取点 A 和 B, 使得|OA|· |OB| =15,其中 O 为双曲线的中心,则 AB 中点的轨迹方程是________. 解析:双曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线方程为 2x± y=0,设 A(m,2m),B(n,-2n),AB

?x=m+n, 2 中点 M(x,y),则? 2m-2n ?y= 2 ,

?x=m+n, ? 2 即? 所以 4x2-y2=4mn. ?y=m-n, ?

由|OA|· |OB|= m2+?2m?2× n2+?-2n?2= 5|m|× 5|n|=15,得|mn|=3,

7

x2 y2 所以 AB 中点的轨迹方程是 4x2-y2=± 12,即 - =± 1. 3 12 b2+1 x2 y2 9.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率是 2,则 的最小值是________. a b 3a b2+1 3a2+1 c c2 1 解析: =2? 2=4?a2+b2=4a2?3a2=b2,则 = =a+ ≥2 a a 3a 3a 3a 1 3 2 3 当 a= ,即 a= 时取最小值 . 3a 3 3 1 2 3 = , 3 3

10(2012 肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(-3,0),一条渐近线的 方程是 5x-2y=0.

(1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的 81 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围. 2

?a +b =9, ? 2 ? ?a =4, x y 解: (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0, b>0), 由题设得?b 解得? 2 5 a b ?b =5. ? ?a= 2 , ?
2 2

2

2

所以双曲线 C 的方程为: x2 y2 (2)设直线 l 的方程为: - =1. y=kx+m(k≠0), 4 5

?y=kx+m, ① 2 ? x2 ?kx+m? 则点 M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组?x2 y2 得 - =1, 4 5 ? 4 - 5 =1, ② ?
整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等实根,于是 5-4k2≠0, 且 Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)>0,整理得 m2+5-4k2>0.③ x1+x2 4km 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标(x0,y0)满足 x0= = ,y =kx0+ 2 5-4k2 0 5m 5m 1 4km m= ,从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y- =- (x- ). k 5-4k2 5-4k2 5-4k2 此直线与 x 轴,y 轴的交点坐标分别为 9km 9m 1 9km 9m 81 ( ,0),(0, ),由题设可得 | |· | |= , 2 5-4k2 5-4k2 2 5-4k2 5-4k2 ?5-4k2?2 ?5-4k2?2 整理得 m2= ,k≠0.将上式代入③式得 +5-4k2>0, |k| |k| 整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)>0,k≠0,解得 0<|k|< 5 5 或|k|> . 2 4

5 5 5 5 所以 k 的取值范围是(-∞,- )∪(- ,0)∪(0, )∪( ,+∞). 4 2 2 4
8

10.(文用)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂 直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由已知得 a= 3,c=2. a b x2 又 a2+b2=c2,得 b2=1.故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3

?y=kx+m ? (2)联立?x2 2 整理得,(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. -y =1 ?3 ?
2 ? ?1-3k ≠0, ∵直线与双曲线有两个不同的交点,∴? 2 2 ? ?Δ=12?m +1-3k ?>0,

1 可得 m2>3k2-1 且 k2≠ .①设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0), 3 x1+x2 6km 3km m 则 x1+x2= ,x = = ,y =kx0+m= . 2 1-3k2 0 1-3k2 0 1-3k2 m +1 1-3k2 1 由题意,AB⊥MN,∵kAB= =- (k≠0,m≠0). 3km k 1-3k2 整理得 3k2=4m+1.②将②代入①,得 m2-4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 1 又 3k2=4m+1>0(k≠0),即 m>- .∴m 的取值范围是(- ,0)∪(4,+∞). 4 4

9


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