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珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试文数


试卷类型:B

珠海市 2015-2016 学年度第一学期高三摸底考试 文科数学试题和参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设集合 P ? {x| x ? 1} ,那么集合 P 的真子集个数是 (
2

/>
) D.8

A.3 【答案】A

B.4

C.7

【解析】 x 2 ? 1 ? x ? ?1 ,所以 P ? ?1, ?1? .集合 P ? ?1, ?1? 的真子集有 ?, ?1? , ??1? 共 3 个.故 A 正确. 2.在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 DA =( ) A. (2,4) 【答案】C. B. (3,5) C. (1,1) D. (-1,-1)

??? ?

????

??? ?

【解析】 DA ? ? AD ? ?( AC ? AB ) ? (1,1) . 3.设 z ?

??? ?

????

???? ??? ?

2 2 ? ?1 ? i ? ,则 z =( 1? i
B.1

) C.2 D. 2

A. 3 【答案】D

【解析】根据题意得 z ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ,所以 z ?

2.


4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

【答案】D 【解析】所得几何体的轮廓线中,除长方体原有的棱外,有两条是原长方体的面对角线,它 们在侧视图中落在矩形的两条边上,另一条是原长方体的对角线,在侧视图中的矩 形的自左下而右上的一条对角线,因在左侧不可见,故而用虚线,所由上分析知, 应选 D. 5.如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的 较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为 ( ) A.

1 17

B.

2 17

C.

3 17

D.

4 17

【答案】B 【解析】直角三角形的较短边长为 3,则较长边为 5,所以小正方形边长为 2,面积为 4,所 以向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为

4 2 ? , 34 17

故选 B. 6.某商场为了了解毛衣的月销售量 y (件)与月平均气温 x (℃)之间的关系,随机统计了 某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 月平均气温 x(℃) 月销售量 y(件) 17 24 13 33 8 40 2 55

由表中数据算出线性回归方程 $ y ? bx ? a 中的 b ? ?2 ,气象部门预测下个月的平均气温约 为 6℃,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )件. A.46 B.40 C.38 D.58 【答案】A 【解析】由表格得 ( x, y ) 为: (10,38) ,又 ( x, y ) 在回归方程 $ y ? bx ? a 上,且 b ? ?2 ,

$ a ? 58 ,∴ $ ∴ 38 ? 10 ? (?2) ? a , 解得: 当 x=6 时, 故 y ? ?2 x ? 58 , y ? ?2 ? 6 ? 58 ? 46 .
选:A. 7.设 m,n 是两条不同的直线, ?,? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? B.若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 n ∥ m D.若 m ? ? , n ∥ m , n ∥ ? ,则 ? ? ? )

【答案】D 【解析】位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定,故 A 错;分别在两个平行 平面内的两条直线可平行也可以异面,故 B 错;由 m ? ? , n ∥ m 得 n ? ? ,因为 n ∥ ? ,设

n ? ? , ? ? ? ? l ,则 n / / l ,从而 l ? ? ,又 l ? ? ,故 ? ? ? ,D 正确.
考点:空间直线和直线、直线和平面,平面和平面的位置关系. 8.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 说法正确的是( ) A.图象关于点 ( ? C.在区间 [? 【答案】C 【解析】 ∵函数 f (x) =sin2x 向左平移

?
6

个单位后,得到函数 y ? g ( x ) ,下列关于 y ? g ( x ) 的

?
3

, 0) 中心对称

B.图象关于 x ? ? D.在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3

?
6

个单位, 得到函数 y=g (x) =sin2 (x+

?
6

) =sin (2x+

?
3

) ;

∴对于 A:当 x=-

?
3

时,y=g(x)=sin(-

3 2? ? ? 0∴命题 A 错误; + )=2 3 3

对于 B:当 x=-

?
6

时,y=g(x)=sin(-

? ?
3
+

对于 C:当 x∈ [?

? ? ? 5? ? , ? ] 时,2x+ ∈[- ,0],∴函数 y=g(x)= sin(2x+ ) 3 2 3 12 6
? ?
, ] 时,2x+ ∈[0,π ],∴函数 y=g(x) 3 6 3

3

)=0≠±1,∴命题 B 错误;

是增函数,∴命题 C 正确;对于 D:当 x∈ [? = sin(2x+

?

?
3

) 是先增后减的函数,∴命题 D 错误.

9.阅读上图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( ). A.123 B.38 C.11 D.3 【答案】C 【解析】 试题分析:依此程序框图,变量 a 初始值为 1,满足条件 a<10,执行循 环, 2 a=1 +2=3,满足条件 a<10,执行循环, 2 a=3 +2=11,不满足循环条件 a<10,退出循环, 故输出 11.故选 C.

10.己知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3 x ? y ? 2 ? 0 平行,若
2

数列 ? A.

? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n ,则 S 2015 的值为( ? f ( n) ?
2014 2015
B.



2012 2013

C.

2013 2014
2

D.

2015 2016

【答案】D 【解析】由已知得, f ( x) ? 2 x ? b ,函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线斜
'

率 为

k ? f ' (1) ? 2 ? b ? 3 , 故 b ? 1 , 所 以


f ( x) ? x 2 ? x , 则
所 以

1 1 1 1 ? ? ? f ( n) n( n ? 1) n n ? 1
S n ? (1 ?
11. 椭圆 C :

1 1 1 1 1 1 2015 . )? ( ? )… ? +( ? ) ? 1 ? ,故 S 2015 = 2 2 3 n n? 1 n? 1 2016

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,若 F 关于直线 3 x ? y ? 0 的对称点 A 是 a 2 b2


椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为( A.

1 2

B.

3 ?1 2

C.

3 2

D. 3 ? 1

【答案】D. 【解析】设 F (?c, 0) 关于直线 3 x ? y ? 0 的对称点 A 的坐标为 (m, n) ,则
2 2 ? n c 3c ? ( ? 3) ? ? 1 ? 3c c ?m ? c ,所以 m ? , n ? ,将其代入椭圆方程可得 4 2 ? 42 ? 1 , ? m ? c n a b 2 2 ? 3? ? ?0 ? ? 2 2

化简可得 e 4 ? 8e 2 ? 4 ? 0 ,解得 e ?

3 ? 1 ,故应选 D .

12.若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 x ? 4 ,函数 f ( x) ? ? 则关于 x 的方程 f ( x) ? x 解的个数是( A.1 【答案】C B.2 C.3 )

? x 2 ? (a ? b) x ? 2,x ? 0 , x?0 ? 2,

D.4
y

【解析】由已知得, lg x ? 4 ? x ,10 x ? 4 ? x ,在同一坐标系中 作出 y ? 10 , y ? lg x 以及 y ? 4 ? x 的图象,其中 y ? 10 ,
x x

4 3 2 1

直线 y ? x 与 y ? 4 ? x 的交点为 y ? lg x 的图象关于 y ? x 对称, (2, 2) , 所以 a ? b ? 4 , f ( x) ? ?
2

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

? x ? 4 x ? 2,x ? 0 , 当x?0 x?0 ?2,
2

时, x ? 4 x ? 2 ? x , x ? ?1 或 ?2 ;当 x ? 0 , x ? 2 ,所以方 程 f ( x) ? x 解的个数是 3 个.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

三、 13. 设公比为 q (q ? 0) 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 ? 3a2 ? 2, S 4 ? 3a4 ? 2 , 则q= 【答案】 .

3 2
2 2

【解析】 由已知可得 S 2 ? 3a2 ? 2 ,S 4 ? 3a2 q ? 2 , 两式相减得 a2 (1 ? q ) ? 3a2 (q ? 1) 即

2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解得 q ?
3

3 3 或 q ? ?1 (舍) ,答案为 . 2 2
2

14.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? ?a ? 6 ?x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 【答案】 a ? ?3或a ? 6 【 解 析 】 因 为 f ? x ? ? x ? ax ? ?a ? 6 ?x ? 1 有 极 大 值 和 极 小 值 , 则 说 明 导 函 数
3 2

f ' ? x ? ? 3x 2 ? 2ax ? ? a ? 6 ? ? 0 有两个不同的实数根,即为 ? ? (2a) 2 ? 4 ? 3 ? (a ? 6) ? 0 解
得为 a ? ?3或a ? 6 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? 15.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y ? 1 的最小值是____________ ?y ? 0 ?
【答案】-14

?x ? y ? 5 ? 0 ? 【解析】作出不等式 ? x ? y ? 0 组表示的平面区域,如图所示的阴影部分 ?y ? 0 ?
由 z=2x+4y+1 可得 y ? ?

1 z x? , 2 4 z 1 z 表示直线 y ? ? x ? 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小, 4 2 4

由题意可得,当 y=-2x+z 经过点 A 时,z 最小 由?

?x ? y ? 5 ? 0 5 5 可得 A( ? , ? ) , 2 2 ? x? y ?0
5 5 ? 4 ? ? 1 ? ?14 .故答案为:-14. 2 2
2

此时 z ? ?2 ?

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 16.若抛物线 y ? 8 x 的焦点 F 与双曲线 3 n
重合,则 n 的值为 【答案】 1 .
2

【解析】试题分析:已知抛物线 y ? 8 x ,则其焦点 F 坐标为 (2, 0)

双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 ( 3 ? n , 0) 所以 3 ? n ? 2 ,解得 n ? 1 ,故答案为1 . 3 n

三、解答题:本大题共 8 小题,考生作答 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤。 17. (本题满分 12 分)

?ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 对 应 的 三 条 边 长 分 别 是 a, b, c , 且 满 足
c sin A ? 3a cos C ? 0
⑴ 求 C 的值; ⑵ 若 cos A ? 【答案】 (1) C ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b 的值. 5

3 3?4 2? ; (2) sin B ? ,b ? 3 3 ? 4 . 10 3

【解析】 (1)因为 c sin A ? 3a cos C ? 0 由正弦定理得:

2 R sin C sin A ? 2 R 3 sin A sin C ? 0
所以 tan C ? ? 3 , C ? (0, ? ) ;? C ? (2)由 cos A ?

2 分由 sin A ? 0 …………………… 3 分

3 ? 4 , A ? (0, ) 则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? , …………………8 分 5 2 5

2? 3

…………………… 6 分

sin B ? sin(? ? A ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?


4 1 3 3 3 3?4 ? (? ) ? ? ? 5 2 5 2 10
b c c sin B ,b ? ? ?3 3?4 sin B sin C sin C

…………………10 分

…………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正 三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. ⑴ 求证: PC ? AD ; ⑵ 求点 D 到平面 PAM 的距离. 【答案】⑴ 详见解析 ⑵

2 15 5

【解析】 ⑴ 方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,

依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, …………………1 分 所以 OC ? AD , OP ? AD , 又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , …… 4 分 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD . ……………6 分 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 分 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 分 又 AM ? DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD , 所以 PC ? 平面 AMD ,又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD . 分
P

…………………1 …………………4

………………… 6

Q

M A O C

D

B

⑵ 点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离,由⑴可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD , 所以 PO ? 平面

ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高.在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 ,
在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ?

6 ,边 PC 上的高 AM ? PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

所以 ?PAC 的面积 S ?PAC ? 分

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

………………… 8

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD ? PAC ? VP ? ACD 得

1 1 1 S ?PAC ? h ? S ?ACD ? PO , 又, S△ACD ? ?2 3 ? 3 3 3 2
分 所以

………………… 10

1 15 1 ? ?h ? ? 3? 3 , 3 2 3

解得 h ?

2 15 , 所 以 点 D 到 平 面 PAM 的 距 离 为 5
…………………12 分

2 15 . 5

19. (本小题满分 12 分) 某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试 成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人.抽取 出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人.

(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)求平均成绩; (3)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的概率. 【答案】 (1)22 人,24 人,26 人,28 人;错误!未找到引用源。(2) 98 ; (3)0.75 【解析】 试题解析: (1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为

5 ? 100 人. 0.05

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d ,由 4 ? 22 ? 6d ? 100 ,解得 d ? 2 . ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. 分 ………………… 4

(2) 75 ? 0.05 ? 85 ? 0.20 ? 95 ? 0.35 ? 105 ? 0.25 ? 115 ? 0.10 ? 125 ? 0.05 ? 98 ∴平均成绩为 98 分。 …………………8 分 (3)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于 90 分的概率为

0.35 ? 0.25 ? 0.1 ? 0.05 ? 0.75
分 考点:频率分布直方图及其应用 20. (本小题满分12分) 已知椭圆 C:

…………………12

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆的短半轴长为 2 2 a b

半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. ⑴ 求椭圆 C 的标准方程. ⑵ 若直线 L: y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ?

b2 , a2

2 20 2 22 ? ? 2 2 22 2 2 2 2 2 8km 1 2 2 2 2 2 2 2 2? ? ? y ? kx ? m B A ( x y y ) ) 1 3 4 2 k m ? m 4 k ? 3 3 ? 0 3 m m y 3 ? y 4 ? k ( kx x ? 8 m kmx )( ? 48 m m )212 ? ?12 k 2? x1 0 x km x ?2 x ? (m ? 3 x 4 y 12 4 ? m k 12 ? 12 3kx 4 m km ? m( ? k22)48 3 1 2 ,m ,? 1 2 x y 1 24 3 24 ( 1 m ? ( ? 1 ? k k ) 24 ) ( 1 24 ? k 1 2 2 22 ? 3 1 2 1? 2) 1 12 48 3 ? 4 k 4 k ? m 2 ? 3) 2 S x y y ? x ? ? ? ? ? d x AB x ? ? ? ? k x ?? ? 1 ? ?? km(?? )?m ?

? ? ?1 d? ?

1 1 ?AOB 2 ?2 ( ? ? ?1 2 ? x ) 2 AB ?3 k ??22) (x ? 4 x x ? (1 ? k 2) ? 1 2 2 2 21 2 2 2 2 2 4 2 44 k 22 ? x x 4 4 3 4 3 ? 3 ? 4 k 4 3 k ? 43 k 3 3? ?24 4k k2 1 2 3 ? 4k 4 3 2 3 1 ? 3 ? ? 4 k 4 k 3? ? k k1 1 2 2 ( 3 ? 4 k )22 1 ? k 1 ? k ? y ? kx ? m ?

?

?

(3 ? 4k 2 ) 2

求证: ?AOB 的面积为定值. 【解析】⑴由题意得, b ?

c 1 |0?0? 6 | ? 3 , ? ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 2
椭圆的方程为 . ………………… 5

联立解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 分

⑵ 设



则 A,B 的坐标满足

消去 y 化简得,

, 分





……………… 8

=



3 K OA ? K OB ? ? , 4

,即

即 分

…………………10

=

。O 到直线

的距离 …………………12 分

=

=

=

为定值.

…………………14 分

21. (本小题满分 12 分). 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x 2 ? ax ? 3)e x (a 为实数) . ⑴ 求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值; ⑵ 若存在两不等实根 x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e x f ( x) 成立,求实数 a 的取值 范围. 【答案】⑴当 t ?

1 e

1 1 1 1 时, f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ;当 0 ? t ? 时, f ( x )min ? f ( ) ? ? ; e e e e 3 . e
………………… 1 分

⑵4 ? a ? e?2? 【解析】

试题解析:⑴ f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增

①当 t ?

1 时,在区间 [t , t ? 2] 上 f ( x ) 为增函数, e
…………………4 分

所以 f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( 1 , t ? 2] 上 f ( x ) 为增函数, e e e
…………………6 分

1 1 所以 f ( x )min ? f ( ) ? ? e e

⑵由 g ( x ) ? 2e x f ( x ) ,可得: 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,

a ? x ? 2 ln x ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 3 , 令 h( x) ? x ? 2 ln x ? , h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2 x …………………8 分

x
h ?( x)

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?

0

?

a

h( x)

单调递减

极小值(最小值)

单调递增

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e
? 结合图象可知实数 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

…………………10 分

3 . e

…………………12 分

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , 在 ?ABC 中 , CD 是 ?ACB 的 角 平 分 线 , ?ADC 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC . ⑴ 求证: BE ? 2 AD ; ⑵ 当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长.
C E

A

D

B

【解析】 ⑴ 连接错误!未找到引用源。 ,因为错误!未找到引用源。是圆内接四边形,所以 错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。∽错误!未找到引用 源。 ,即有

错误!未找到引用源。又因为 AB ? 2 AC 错误!未找到引用源。 ,可得 BE ? 2 DE 错误!未 找到引用源。因为 CD 是 ?ACB 的平分线, 所 以 AD ? DE 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 从 而 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 …………………5 分 ⑵ 由条件知错误!未找到引用源。 ,设错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 ,根据割线定理得错误!未找到引用源。 , …………………8 分 即错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。 , 解得 t ?

BE DE , ? BA CA

…………………3 分

3 3 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 (舍去) ,则 AD ? .错误!未找 2 2

到引用源。 …………………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? (?为参数) ,M 是曲线 C1 上的动点,且 M 是线段 y ? 2 ? 2 sin ? ?

? OP 的中点, P 点的轨迹为曲线 C 2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 ,直线 l 4

与曲线 C 2 交于 A , B 两点。 ⑴ 求曲线 C 2 的普通方程; ⑵ 求线段 AB 的长。 【答案】 ⑴ x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 ⑵ 2 14

【 解 析 】 解 : ⑴ 设 P ( x, y ) , 则 由 条 件 知 M ( , ) 。 因 为 点 M 在 曲 线 C1 上 , 所 以

x y 2 2

?x ? 2 cos ? ? ? x ? 4 cos ? ?2 ,即 ? 。 ? y y ? 4 ? 4 sin ? ? ? ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
化为普通方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 ,即为曲线 C 2 的普通方程。 ⑵ 直线 l 的方程为 ? sin( x ?

…………………3 分

…………………5 分

?
4

) ? 2 ,化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 。
…………………7 分

由⑴知曲线 C 2 是圆心为 (0,4) ,半径为 4 的圆,因为圆 C 2 的圆心到直线 l 的距离

d?

4?2 2

? 2 ,所以 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 14 。

…………………10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . ⑴ 证明: ?3 ? f ( x) ? 3 ; ⑵ 求不等式: f ( x) ? x ? 8 x ? 14 的解集.
2

【答案】⑴ 见解析 ⑵ [3, 4 ? 5] 【解析】⑴ | f ( x) |? | x ? 2 | ? | x ? 5 | ? ( x ? 2) ? ( x ? 5) ? 3 ∴ ?3 ? f ( x) ? 3 ⑵ ①当 x ? 2 时, f ( x) ? ?3 ,而 x ? 8 x ? 14 ? ( x ? 4) ? 2 ? ?2
2 2

…………………3 分

∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 14 无解
2

…………………5 分

②当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? 2 x ? 7 ,原不等式等价于:

?2 x ? 7 ? x 2 ? 8 x ? 14 ? 3? x ?5 ? ?2 ? x ? 5

…………………7 分

? x 2 ? 8 x ? 14 ? 3 ③当 x ? 5 时, f ( x) ? 3 ,原不等式等价于: ? ? 5? x ? 4? 5 ?x ? 5
综上,不等式的解集为 [3, 4 ? 5] . …………………10 分


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